例談菱形的判定方法

趙志川

菱形不僅是特殊的四邊形，還是特殊的 平行四邊形.判定菱形的方法多種多樣，既可 以借助基本定義進(jìn)行判定，也可以利用其重 要性質(zhì)進(jìn)行判定.對(duì)此，筆者就菱形的判定方 法進(jìn)行了梳理，以期同學(xué)們能夠熟練掌握和 靈活運(yùn)用.

一、利用“一組鄰邊相等+平行四邊形”判定

在同一平面內(nèi)，有一組鄰邊相等的平行 四邊形被稱為菱形.根據(jù)這一定義，在判定一 個(gè)四邊形是否為菱形時(shí)，同學(xué)們可以“一組鄰 邊相等+平行四邊形”為判定依據(jù)，即考慮：這 個(gè)四邊形的一組鄰邊是否相等；這個(gè)四邊形 是否為平行四邊形.若有一組鄰邊相等，且為 平行四邊形，那么該四邊形為菱形.

例1

分析：由已知條件中的△GNP 為等邊三 角形，易知 NP = PG，因此只需要再證明四邊形 MNPG 為平行四邊形，即可得出它為菱形.根據(jù)△EFG 也為等邊三角形，可知∠1=∠2=∠3=∠4=60° ， 進(jìn)而易推出 MN ∥ GP，NP ∥ MG，這樣四邊形 MNPG 為平行四邊形也就得證了.

證明：∵△EFG 與△GNP均為等邊三角形，∴ NG =PG，∠1=∠2=∠3=∠4=60°.

∴ EF ∥ GP， NP ∥ MG.

又 MN ∥ EF，∴ MN ∥ GP，

∴四邊形 MNPG 為平行四邊形.∴四邊形 MNPG 為菱形.

評(píng)注：菱形的定義，既是菱形的一個(gè)性質(zhì)定理，也是菱形的判定定理之一.

二、利用“對(duì)角線互相垂直+平行四邊形”判定

對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形.因此，在判定一個(gè)四邊形是否為菱形時(shí)，同學(xué)們要注意思考如下情況：一是它的對(duì)角線是否互相垂直；二是該四邊形是否為平行四邊形.若它的對(duì)角線互相垂直，且為平行四邊形，則該四邊形為菱形.

例2如圖2，在平行四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，MP ⊥ NQ 于 O.求證：四邊形 MNPQ 為菱形.

分 析 ：本 題 已 知 條 件 中 明 確 給 出 了 MP ⊥ NQ，因此要證明四邊形 MNPQ 為菱形， 只要證明該四邊形為平行四邊形即可.結(jié)合 題意，易知 AO = CO，BO = DO， 再借助∠1= ∠2，∠3=∠4，很 容 易 證 得 △AOM ≌ △COP， MO = PO. 同理，就不難得出 QO = NO，這樣證 明四邊形 MNPQ 為平行四邊形也就完成了.

證明：

評(píng)注：在判定一個(gè)四邊形為菱形時(shí)，若題 目中涉及對(duì)角線，同學(xué)們要注意考慮“對(duì)角線 互相垂直+平行四邊形”這一方法.

三、利用“四條邊相等+四邊形”判定

菱形的四條邊都是相等的.根據(jù)這一重 要性質(zhì)，在判定一個(gè)四邊形為菱形時(shí)，同學(xué)們 要注意從該四邊形的四條邊入手.若題目中 蘊(yùn)含了幾組邊相等，同學(xué)們就要注意通過證 明四邊形的四條邊都相等，從而得出該四邊 形為菱形.

例3 如圖3，已知四邊形 ABCD 為平行四 邊形，對(duì)角線 BD 的垂直平分線與 AD、BC、BD分別相交于E、F、G，求證：四邊形 BEDF 為菱形.

分析：本題由題意可知 EF 是 BD 的垂直 平分線，這樣可知 BE = DE，BF = DF，這樣要 證明四邊形 BEDF 為菱形，只需再證明 DE = DF 即可.欲證明 DE = DF，只需要利用等角對(duì) 等邊性質(zhì)，證明 ∠DEF = ∠EFD.

證明：

評(píng)注：利用“四條邊相等+四邊形”這一方 法判定菱形時(shí)，可以不必再證這個(gè)四邊形為 平行四邊形.

總之，在判定一個(gè)四邊形為菱形時(shí)，同學(xué) 們要注意判定的起點(diǎn)，若是判定某個(gè)平行四 邊形為菱形，只需考慮一組鄰邊相等或?qū)?線互相垂直即可；若是判定某個(gè)四邊形為菱 形，則需要考慮從四條邊都相等或?qū)蔷€垂 直平分兩方面去判定.在具體解題過程中，同 學(xué)們應(yīng)根據(jù)題目的已知條件選擇相應(yīng)的判定 方法.