怎樣利用軸對(duì)稱知識(shí)解答最短路徑問(wèn)題

魏樂(lè)

最短路徑問(wèn)題是生活中常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn) 題，如在修路、修管道、建水泵站等方面都有 著廣泛的應(yīng)用.學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)后， 同學(xué)們就可以利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決生活中 的最短路徑問(wèn)題.下面列舉幾類(lèi)最短路徑問(wèn) 題，舉例予以說(shuō)明.

一、兩點(diǎn)一軸型

兩點(diǎn)一軸型，即已知一條直線及在直線 同側(cè)或異側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)，使 個(gè)這點(diǎn)到所給兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和最短.解 答這類(lèi)問(wèn)題，一般利用“三角形任意兩邊之和 大于第三邊”來(lái)確定最短路徑. 當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)位 于直線異側(cè)時(shí)，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為 所求路線最短的點(diǎn)；當(dāng)兩點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)， 可通過(guò)軸對(duì)稱變換，作一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱 點(diǎn)，把同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)來(lái)求解.

例1 某供電部門(mén)準(zhǔn)備在輸電主干線l上 連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向新落 成的 A、B 兩個(gè)居民小區(qū)送電.已知居民小區(qū) A、B 分別到主干線 l 的距離 AA1＝2km，BB1＝ 1km，且A1B1＝4km.

（1）如果居民小區(qū) A、B 在主干線 l 的兩 旁，如圖1所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí) 總線路最短？最短線路的長(zhǎng)度是多少千米？

（2）如果居民小區(qū) A、B 在主干線 l 的同 旁，如圖2所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？此時(shí)分支點(diǎn)M與A2的距離是多 少千米？

分析：（1）連接 AB，構(gòu)造直角三角形，由 勾股定理求得 AB 的值；（2）作 B 點(diǎn)關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) B2，連接 AB2 交直線 l 于點(diǎn) M，此 處即為分支點(diǎn).

解：

二、一點(diǎn)兩軸型

一點(diǎn)兩軸型，即已知兩條直線及在這兩 條直線之間的一個(gè)定點(diǎn)，在每條直線上各求 一點(diǎn)，使所得三角形的周長(zhǎng)最短.解答這一類(lèi) 型問(wèn)題，一般是分別作出這個(gè)定點(diǎn)關(guān)于兩條 直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接所作的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)， 所得線段與直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).

例2

分析：（1）利用軸對(duì)稱變換得出 P 點(diǎn)關(guān)于 OA，OB 的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而得出行走路線；（2）利 用等邊三角形的判定方法以及其性質(zhì)得出此 人行走的最短路線長(zhǎng)為 P′P ″ 進(jìn)而得出答案.

解：

答：

三、兩點(diǎn)兩軸型

兩點(diǎn)兩軸型，即已知兩條直線及兩個(gè)定點(diǎn)，在每條直線上各求一點(diǎn)，使所得折線的長(zhǎng)度最短.解答這類(lèi)問(wèn)題依然是利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)確定所要求的點(diǎn)及路線，通過(guò)軸對(duì)稱變換，把幾個(gè)線段和的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一條線段來(lái)求解.即分別作兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于兩條線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，所得線段與兩直線的交點(diǎn)為最短路徑的兩個(gè)點(diǎn).

例3我區(qū)有很多美麗的自然風(fēng)光，最著名的是青龍大峽谷（A）和文佛奇峰山（B），它們位于筆直的高速公路X 同側(cè)，AB＝50km，A、 B 到直線 x 的距離分別為10km 和40km，另一條省級(jí)公路 Y 與高速公路 X 垂直，B 到直線 Y 的距離為30km，請(qǐng)你在 X 旁和 Y 旁各修建一服務(wù)區(qū) P、Q，使 P、A、B、Q 組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這個(gè)最小值.

分析：

解：

以上三種類(lèi)型的最短路徑問(wèn)題的解法， 都是作定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后依 據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”等結(jié) 論確定所要求的點(diǎn)或路線，只不過(guò)在作對(duì)稱 點(diǎn)的方法上有所區(qū)別.同學(xué)們只要準(zhǔn)確識(shí)別 了問(wèn)題模型，解題就會(huì)變得簡(jiǎn)單易行.