《數(shù)學通報》2562問題的多解探究及變式推廣

貴州師范大學數(shù)學科學學院 (550025) 劉遠桃 唐明坤 陳明萬

1.問題呈現(xiàn)

這是《數(shù)學通報》2020年第9期數(shù)學問題解答2562問題給出的一道不等式證明題，該不等式的條件和結論結構對稱、形式優(yōu)美，文[1]主要是通過綜合分析得到證明，讀后深受啟發(fā).本文擬對該不等式做進一步的探究，得到了不同證法，并對其進行變式和推廣，與大家一起探討.

2.問題解析

評注：此證法通過配湊先將式子中各項的分子代數(shù)式有理化，利用基本不等式將式子中各項的分母代數(shù)式有理化，再利用權方和不等式進行放縮，湊出“a+b+c”項，將條件式子a+b+c=3代入得到證明.

評注：此證法通過配湊先將式子中各項的分子代數(shù)式有理化，利用基本不等式將式子中各項的分母代數(shù)式有理化，將條件式子a+b+c=3代入得到一個新的放縮不等式，再利用函數(shù)凹凸性和琴生不等式求出放縮后的最小值，從而得到證明.

由三元柯西不等式得

評注：此證法通過配湊先將式子中各項的分子代數(shù)式有理化，利用柯西不等式將原不等式進行轉化，得到一個新的放縮不等式，再利用三元基本不等式求出放縮后的最小值，從而得到證明.

3.問題變式

分析：此變式是通過證法2得到的，限定t≥3，其目的是為了使所設函數(shù)在(0,3)上為凸函數(shù)，證明方法也是利用函數(shù)凹凸性與琴生不等式.

分析：此變式是通過證法3得到的，證明方法同上述證法3.

分析：此變式是在變式2的基礎上得到的，證明方法同上述證法3.

分析：此變式是在變式3的基礎上得到的，證明方法同上述證法3.

4.問題推廣

分析：將問題中條件式子的結果從“3”推廣到“t”，推廣形式不變.

分析：在推廣1的基礎上將未知數(shù)個數(shù)從“3”元推廣到“n”元，推廣形式不變.

分析：在推廣2的基礎上將各項式子中分子分母的系數(shù)“1,-1,1,1”推廣到“α,β,λ,μ”，推廣形式不變.

分析：在推廣2的基礎上將各項式子的分子分母中含有未知數(shù)的式子的未知數(shù)個數(shù)從“2”元推廣到“n-1”元，推廣形式改變.

分析：在推廣4的基礎上將各項式子中分子分母的系數(shù)“1,-1,1,1”推廣到“α,β,λ,μ”，推廣形式不變.此外，還可以在推廣2的基礎上將各項式子的分子分母中含有未知數(shù)的式子的未知數(shù)個數(shù)“2”進行推廣，得到更多的推廣不等式.

推廣1到推廣5的證明方法是一樣的，這里給出推廣5的證明，推廣1到推廣4的證明不再敘述.