基于啤酒發(fā)酵過(guò)程的時(shí)變軌跡輸出反饋魯棒模糊預(yù)測(cè)控制

俞宏磊，姜冠杰，王守亞

(1.遼寧科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114000;2.淮南師范學(xué)院， 電子工程學(xué)院，安徽 淮南 232000)

0 引言

啤酒作為世界三大古酒之一，由于其平順甘醇等特點(diǎn)，深受人們的喜歡，近年來(lái)啤酒產(chǎn)量占比均高于70%。隨著工業(yè)技術(shù)的不斷升級(jí)，在啤酒生產(chǎn)領(lǐng)域，自動(dòng)化生產(chǎn)逐漸取代了傳統(tǒng)的手工生產(chǎn)，大大增加了酒廠(chǎng)的生產(chǎn)效率。由于啤酒生產(chǎn)主要依靠酵母菌的發(fā)酵，而酵母菌的發(fā)酵往往需要嚴(yán)格的溫度限制，因此如何對(duì)啤酒發(fā)酵溫度進(jìn)行高精度控制成為啤酒生產(chǎn)的關(guān)鍵，受到眾多科研人員和工程師的關(guān)注[1-2]。

在啤酒發(fā)酵生產(chǎn)過(guò)程中需要保證系統(tǒng)安全可靠的運(yùn)行，但是實(shí)際對(duì)象通常具有不確定性、強(qiáng)非線(xiàn)性、強(qiáng)干擾等特性，傳統(tǒng)控制方法對(duì)高精度控制要求存在一定的局限性。因此，先進(jìn)過(guò)程控制(APC，advanced process control )技術(shù)被越來(lái)越多的科研人員所關(guān)注[3-5]。其中，模型預(yù)測(cè)控制(MPC，model predictive control)被認(rèn)為是最有效的先進(jìn)控制方法之一，它已經(jīng)存在大量成功的工業(yè)應(yīng)用案例[6-7]。MPC算法結(jié)合最優(yōu)控制理論[8]、李雅普諾夫穩(wěn)定性理論[9]、線(xiàn)性矩陣不等式技術(shù)(LMI，linear matrix inequation )[10]等理論，在系統(tǒng)穩(wěn)定前提下對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，具有滾動(dòng)優(yōu)化等特點(diǎn)，增加控制器的控制精度的同時(shí)給予系統(tǒng)狀態(tài)更多的自由度和可控性，在理論研究層面取得了眾多較為豐富的成果。但是MPC對(duì)模型精度要求較高，在實(shí)際生產(chǎn)中，由于溫度、濃度、流量等實(shí)物理量參數(shù)會(huì)隨著生產(chǎn)要求不斷變化，導(dǎo)致啤酒發(fā)酵過(guò)程的模型參數(shù)往往是在變化的，這種變化引起的不確定性，會(huì)降低MPC方法的控制效果。因此，魯棒模型預(yù)測(cè)控制(RMPC，robust model predictive control )逐漸走入科研人員的視線(xiàn)[11-13]。RMPC充分考慮到模型的不確定性影響，采用“min-max”來(lái)降低不確定性對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，從而有效改善系統(tǒng)的控制性能。因此，結(jié)合RMPC的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)控制器減少不確定性在啤酒發(fā)酵過(guò)程溫度控制系統(tǒng)產(chǎn)生的不利影響，增加產(chǎn)品的合格率是十分重要的。

眾所周知，在實(shí)際的生產(chǎn)過(guò)程中，線(xiàn)性系統(tǒng)是極為特殊的情況，工業(yè)過(guò)程通常具有非線(xiàn)性特性。由于這類(lèi)系統(tǒng)不適用疊加原理，并且分析復(fù)雜，給控制器的設(shè)計(jì)帶了極大的困難。在以往的研究中，科研人員通常采用單點(diǎn)線(xiàn)性化的方法將非線(xiàn)性系統(tǒng)在工作點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性化建立線(xiàn)性模型，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)線(xiàn)性控制器[14-15]。隨著生產(chǎn)精度的不斷提高，這種方法的局限性也不斷體現(xiàn)，為了保證系統(tǒng)高精度的運(yùn)行，當(dāng)工作點(diǎn)發(fā)生變化時(shí)，通常需要現(xiàn)場(chǎng)工程師根據(jù)新的工作點(diǎn)建立新的模型，增加了現(xiàn)場(chǎng)工作人員的負(fù)擔(dān)，并且建立新的模型通常需要大量的時(shí)間，也為企業(yè)的高效生產(chǎn)帶來(lái)不利影響。因此，文獻(xiàn)[16-18]在單點(diǎn)線(xiàn)性化的基礎(chǔ)上，將模型的變化當(dāng)作不確定性考慮，建立具有不確定性的模型，并設(shè)計(jì)魯棒控制器來(lái)保證控制系統(tǒng)的控制效果?？上У氖巧鲜龇椒ㄡ槍?duì)非線(xiàn)性較弱的系統(tǒng)具有較好的控制效果，對(duì)強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng)的控制效果不盡人意。因此，為了得到較好的控制效果，在多點(diǎn)線(xiàn)性化的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入加權(quán)因子建立T-S模糊模型可以較好地逼近被控對(duì)象的非線(xiàn)性特性[19-20]，為具有非線(xiàn)性特性的啤酒發(fā)酵過(guò)程溫度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)高性能非線(xiàn)性控制器提供新思路。

目前，先進(jìn)控制方法在工業(yè)控制領(lǐng)域的研究取得了豐富的成果[21]，甚至有些已經(jīng)應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中[22-23]。但目前常見(jiàn)的先進(jìn)控制方法均使用狀態(tài)空間模型來(lái)設(shè)計(jì)控制器，導(dǎo)致控制器都是在假設(shè)狀態(tài)已知的情況下設(shè)計(jì)的。在建模時(shí)一旦選取作為狀態(tài)變量的物理量不易測(cè)量，甚至不能測(cè)量時(shí)，所設(shè)計(jì)的控制器只能停留在理論層面，并不能在實(shí)際工業(yè)過(guò)程上應(yīng)用。如果想將這些方法應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)，需要大大增加建模工程師的工作量。因此，文獻(xiàn)[24]在設(shè)計(jì)控制器的同時(shí)引入狀態(tài)觀(guān)測(cè)器，而狀態(tài)觀(guān)測(cè)器通常只能估計(jì)出當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)，如果估計(jì)值與實(shí)際值偏差較大，輕則降低產(chǎn)品合格率，重則造成生產(chǎn)事故。因此，為了控制器的可實(shí)施性，在以往研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，針對(duì)啤酒發(fā)酵過(guò)程溫度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)輸出反饋魯棒預(yù)測(cè)控制是十分必要的。

啤酒發(fā)酵過(guò)程的溫度對(duì)酵母菌的活性起到至關(guān)重要的作用，而外界環(huán)境等因素變化造成的干擾普遍存在于控制系統(tǒng)中，對(duì)系統(tǒng)的輸出會(huì)產(chǎn)生一定影響，如果不合理處置可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[25-26]為了使系統(tǒng)具有更強(qiáng)的抗干擾能力，在傳統(tǒng)性能指標(biāo)的基礎(chǔ)上引入性能指標(biāo)，從而增加系統(tǒng)的抗干擾能力。然而，隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及以及大數(shù)據(jù)技術(shù)的加持，企業(yè)每天的生產(chǎn)通常會(huì)隨著產(chǎn)品價(jià)格、原材料價(jià)格、倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存、能源消耗、環(huán)境因素等眾多因素綜合調(diào)控，從而與以往固定設(shè)定值生產(chǎn)的情況不同，控制系統(tǒng)的設(shè)定值可能會(huì)根據(jù)企業(yè)生產(chǎn)調(diào)控進(jìn)行變化。因此，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)如何保證系統(tǒng)受到外界干擾的情況下依舊穩(wěn)定運(yùn)行的同時(shí)保證系統(tǒng)輸出快速跟蹤變化的設(shè)定值也是提高生產(chǎn)效率，增加企業(yè)利潤(rùn)的關(guān)鍵。

為此，本文針對(duì)具有時(shí)變軌跡、不確定性和未知干擾的啤酒發(fā)酵過(guò)程，設(shè)計(jì)T-S模糊動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，提出一種時(shí)變軌跡輸出反饋魯棒模糊預(yù)測(cè)控制方法。該方法的主要貢獻(xiàn)為：

1)利用具有不確定性的新型擴(kuò)展T-S模糊狀態(tài)空間模型來(lái)描述啤酒發(fā)酵罐溫度系統(tǒng)，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的模糊控制器，提高系統(tǒng)的控制精度。

2)設(shè)計(jì)輸出反饋控制器，有效避免由于狀態(tài)不可測(cè)導(dǎo)致的控制方法實(shí)施困難的不足。

3)將設(shè)定值的變化量看作有界擾動(dòng)，通過(guò)引入性能指標(biāo)，增加系統(tǒng)對(duì)變化設(shè)定值的跟蹤能力。

1 啤酒發(fā)酵罐溫度系統(tǒng)模型建立

1.1 過(guò)程描述

啤酒發(fā)酵罐溫度系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線(xiàn)性系統(tǒng)，常見(jiàn)錐形啤酒發(fā)酵罐結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。其主要工作原理為通過(guò)上、中、下部的溫度傳感器測(cè)量相應(yīng)部分的溫度，通過(guò)調(diào)節(jié)冷媒水的流量改變發(fā)酵罐中的溫度，從而保證酵母菌的活性，從而實(shí)現(xiàn)高品質(zhì)、高效率的啤酒生產(chǎn)，增加啤酒生產(chǎn)企業(yè)的利潤(rùn)。

圖1 錐形啤酒發(fā)酵罐結(jié)構(gòu)圖

首先，在文獻(xiàn)[27]的基礎(chǔ)上，通過(guò)理論推導(dǎo)構(gòu)建如下機(jī)理模型：

(1)

(2)

其中:CA為物料濃度；T為發(fā)酵溫度；Tc為冷卻液溫度；V是反應(yīng)器容積，單位為L(zhǎng)；q為流量，單位為L(zhǎng)/min；ρ為密度，單位為g/L；CP為熱容,單位為J/gK；Tc為冷卻液溫度,單位為K；k0為速率常數(shù)，單位為min-1；E/R為指數(shù)因子,單位為K；-ΔH為反應(yīng)熱，單位為J/mol；UA為熱傳遞項(xiàng)，單位為J/minK；V=100 L,ρ=1 000 g/L,Cp=1 J/gK,q=100 L/min,ΔH=-2×105J/mol,E/R=1 000 K,UA=1×105J/minK,k0=4.71×108min-1。

1.2 T-S模糊模型建立

(3)

在此基礎(chǔ)上，考慮到啤酒發(fā)酵過(guò)程的非線(xiàn)性特性，通過(guò)模糊規(guī)則，建立T-S模糊狀態(tài)空間模型。

具體模糊規(guī)則Ri為：

(4)

(5)

其中:ΔiT(k)Δi(k)≤I,Ni,Hai,Hbi是適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，Δi(k)是與離散時(shí)間k有關(guān)不確定攝動(dòng)。

然后，分別賦予子模型不同的權(quán)值hi(x(k))，該權(quán)值由推理模糊集μi(x)歸一化后的得到，推理模糊集的定義如下：

(6)

(7)

(8)

因此，將非線(xiàn)性工業(yè)過(guò)程去模糊化后可以表示為如下的加權(quán)狀態(tài)空間模型形式：

(9)

根據(jù)T-S模型中隸屬度函數(shù)的3個(gè)規(guī)則，選擇3個(gè)溫度穩(wěn)態(tài)點(diǎn)：0.5 ℃、5 ℃、12 ℃進(jìn)行多點(diǎn)離散化，獲得對(duì)應(yīng)的T-S模糊子模型的狀態(tài)空間參數(shù)分別為：

w(k)=(0.4Δ30.4Δ4)T,Δ1,Δ2,Δ3,Δ4

為在(-1,1)之間隨時(shí)間變化的隨機(jī)數(shù)。

注釋1：該模型的優(yōu)點(diǎn)是降低了傳統(tǒng)單點(diǎn)線(xiàn)性化出現(xiàn)的模型失配問(wèn)題對(duì)控制效果的影響。但是由于其需要進(jìn)行多點(diǎn)線(xiàn)性化，并對(duì)多個(gè)線(xiàn)性化后的模型設(shè)計(jì)多個(gè)控制器，此外還需求解各個(gè)子系統(tǒng)的權(quán)值系數(shù)，會(huì)大大增加了計(jì)算復(fù)雜度。

1.3 新型多自由度狀態(tài)空間模型建立

為了降低后期設(shè)計(jì)控制器的計(jì)算量，在式(9)基礎(chǔ)上，利用k+1時(shí)刻的狀態(tài)空間和k時(shí)刻的狀態(tài)空間求差值，可以建立系統(tǒng)的增量式狀態(tài)空間模型為：

(10)

系統(tǒng)期望的設(shè)定值為yr(k)，定義系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差為：

e(k)=y(k)-yr(k)

(11)

通過(guò)式(10)和式(11)，考慮到設(shè)定值變化的情況，可得到離散k+1時(shí)刻的系統(tǒng)輸出跟蹤誤差如下：

e(k+1)=e(k)+Δe(k+1)=

(12)

式中，Δr(k+1)=yr(k+1)-yr(k)為了提高系統(tǒng)的跟蹤設(shè)定值的能力并增加控制器的自由度，在增量狀態(tài)空間模型的基礎(chǔ)上引入輸出跟蹤誤差，構(gòu)成新的多自由度狀態(tài)空間模型如下：

(13)

注釋2：傳統(tǒng)狀態(tài)空間模型是針對(duì)被控對(duì)象的特性或者針對(duì)被控對(duì)象的輸入輸出方程進(jìn)行設(shè)計(jì)的。基于這種模型設(shè)計(jì)出來(lái)的控制器通常的目的為保證被控對(duì)象的穩(wěn)定，因此，大多數(shù)使用狀態(tài)空間模型設(shè)計(jì)的控制器，最終的仿真曲線(xiàn)是使得被控對(duì)象的狀態(tài)趨于0，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。但設(shè)計(jì)控制器最終的目標(biāo)是在實(shí)際生產(chǎn)中進(jìn)行應(yīng)用，而基于傳統(tǒng)狀態(tài)空間模型的控制器不具有使被控對(duì)象的輸出跟蹤設(shè)定值的能力，大大降低了控制器在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用的可能。為了增加控制器在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用能力，本文在設(shè)計(jì)控制器時(shí)構(gòu)建新型多自由度狀態(tài)空間模型。該模型的優(yōu)點(diǎn)為在傳統(tǒng)狀態(tài)空間模型的基礎(chǔ)上引入輸出跟蹤誤差作為擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，使得設(shè)計(jì)的控制器在調(diào)節(jié)模型本身狀態(tài)的同時(shí)，通過(guò)對(duì)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)(輸出跟蹤誤差)的調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)被控對(duì)象的輸出跟蹤設(shè)定值的效果。從而大大提高控制器在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用的可能。

2 輸出反饋魯棒模糊預(yù)測(cè)模型控制器設(shè)計(jì)

2.1 輸出反饋魯棒模糊預(yù)測(cè)控制律

本部分的目的主要是設(shè)計(jì)輸出反饋魯棒預(yù)測(cè)控制器，引入新的控制器內(nèi)部狀態(tài)xc(k)，并針對(duì)每個(gè)閉環(huán)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制律，通過(guò)將求解出的控制律進(jìn)行加權(quán)求和來(lái)確定系統(tǒng)最終的控制律，以確保非線(xiàn)性閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，系統(tǒng)的控制律設(shè)計(jì)為如下形式：

(14)

其中:xc(k)是控制器內(nèi)部狀態(tài)，y(k)是控制器輸入Aci,Bci,Cci,Dci是需要確定的第i個(gè)子控制器參數(shù)，通過(guò)將控制律(14)代入新型多自由度狀態(tài)空間模型(13)中，可得到具有權(quán)值系數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型如下：

(15)

注釋3：針對(duì)狀態(tài)空間模型設(shè)計(jì)的控制器通常采用狀態(tài)反饋的形式，即假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)為可測(cè)的已知量，但在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，由于狀態(tài)空間模型選擇的系統(tǒng)狀態(tài)通常與被控對(duì)象的特性或模型有關(guān)，導(dǎo)致在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中系統(tǒng)狀態(tài)并不是容易得到的，以往的設(shè)計(jì)是增加狀態(tài)觀(guān)測(cè)器來(lái)估計(jì)控制器所需的系統(tǒng)狀態(tài)，但這會(huì)在一定程度上增加系統(tǒng)的復(fù)雜程度，并且狀態(tài)觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性對(duì)控制效果的好壞起到?jīng)Q定性因素。本文設(shè)計(jì)的控制器采用輸出反饋進(jìn)行設(shè)計(jì)，從根本上避免了狀態(tài)不可測(cè)問(wèn)題，增加了控制器在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用的可能性。

2.2 主要定義與引理

在推導(dǎo)主要定理前，首先給出后續(xù)推導(dǎo)過(guò)程中需要的定義和引理。

定義1：基于上述具有不確定性集的閉環(huán)模糊系統(tǒng)(15)，為了達(dá)到非線(xiàn)性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測(cè)控制目標(biāo)，引入如下性能指標(biāo)：

(16)

引理1[28]：設(shè)W,L和V是適當(dāng)維數(shù)的矩陣，其中W,V是實(shí)數(shù)矩陣，則對(duì)于:

LTVL-W<0

可以寫(xiě)成如下形式:

(17)

引理2[29]：假設(shè)D,F,E和M是滿(mǎn)足M=MT的適當(dāng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣，當(dāng)FTF≤I，對(duì)于

M+DFE+ETFTDT<0

(18)

當(dāng)僅存在標(biāo)量ε>0時(shí)，使得如下不等式成立

M+ε-1DDT+εETE<0

(19)

2.3 主要定理

在此部分，根據(jù)是否存在外部干擾的情況，分別給出兩種情況下控制律的設(shè)計(jì)方法。其中定理1是在沒(méi)有外界干擾的情況下設(shè)計(jì)的，定理2是在有外界干擾的情況下設(shè)計(jì)的。

(20a)

(20b)

則可以保證非線(xiàn)性閉環(huán)系統(tǒng)(15)中的每個(gè)子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并且根據(jù)求解出的參數(shù)可以獲得對(duì)應(yīng)的控制律。其中，*為關(guān)于主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的元素的轉(zhuǎn)置。

(21)

(22)

為了獲取對(duì)應(yīng)時(shí)刻的能量，選擇構(gòu)造如下李雅普諾夫能量函數(shù)：

(23)

(24)

將式(21)不等式兩邊同時(shí)乘以θ-1，可得：

(25)

將(23)～(25)相結(jié)合，可得：

(26)

(27)

(28a)

(28b)

在此基礎(chǔ)上，考慮到設(shè)定值變化對(duì)系統(tǒng)的影響，將設(shè)定值的變化量看作有界干擾，定義如下H∞性能指標(biāo)：

(29)

(30)

在式(30)的基礎(chǔ)上，可得：

(31)

為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定需要式(31)小于0，由于式(31)為二次型形式，因此只要保證式(31)中大括號(hào)內(nèi)的部分小于0即可，因此:

(32)

至此，利用引理1對(duì)式(32)進(jìn)行LMI轉(zhuǎn)化，并分別考慮到i=j和i≠j兩種情況，即可或者式(20a)和式(20b)，定理1證畢。

注釋4：在性能指標(biāo)設(shè)計(jì)時(shí)，先假設(shè)沒(méi)有設(shè)定值變化的情況，通過(guò)設(shè)計(jì)魯棒模型預(yù)測(cè)性能指標(biāo)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。之后將設(shè)定值的變化量看作外界有界干擾，引入H無(wú)窮性能指標(biāo)增加控制系統(tǒng)對(duì)設(shè)定值變化量的控制能力，從而實(shí)現(xiàn)在設(shè)定值發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)輸出具有較快跟蹤變化設(shè)定值的能力。

則可以保證非線(xiàn)性閉環(huán)系統(tǒng)(15)中的每個(gè)子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并且根據(jù)求解出的參數(shù)可以獲得對(duì)應(yīng)的控制律。其中，*為關(guān)于主對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的元素的轉(zhuǎn)置。式中，

η2ΔrT(k+1)Δr(k+1)]

(34)

(35)

在定理1證明的基礎(chǔ)上，結(jié)合式(30)，可得：

(36)

根據(jù)定理1的證明和式(28a)、(28b)，可得:

(37)

在此基礎(chǔ)上，分別考慮子模型與子控制器的對(duì)照關(guān)系，利用引理1則可以得到式(33a)和式(33b)。定理2證畢。

注釋5：在同時(shí)考慮到設(shè)定值變化和外界干擾對(duì)系統(tǒng)影響時(shí)，可以有兩種處理手段。一種是將外界干擾和設(shè)定值的變化量看作一個(gè)整體的范圍較大的有界干擾，通過(guò)在魯棒預(yù)測(cè)性能指標(biāo)的基礎(chǔ)上引入一個(gè)H無(wú)窮性能指標(biāo)，從而降低控制系統(tǒng)對(duì)這個(gè)范圍較大的有界干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)外界干擾和設(shè)定值變化的處理能力。第二種方式是將設(shè)定值的變化量和外界干擾分別看作兩個(gè)獨(dú)立的有界干擾，通過(guò)分別設(shè)計(jì)H無(wú)窮性能指標(biāo)，分別實(shí)現(xiàn)控制器對(duì)外界干擾和設(shè)定值變化量的有效控制。因?yàn)榈诙N方法為分別考慮設(shè)定值變化量和外界干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，并沒(méi)有將兩者看作一個(gè)范圍較大的有界干擾，從而實(shí)現(xiàn)降低保守性的目的，因此，在定理2中，選擇第二種方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

3 仿真研究

為了驗(yàn)證提出方法的可行性，根據(jù)所建立的啤酒發(fā)酵罐溫度系統(tǒng)模型分別對(duì)定理1和定理2進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并將定理2與文獻(xiàn)[21]中提到的方法進(jìn)行對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證系統(tǒng)快速跟蹤變化設(shè)定值的能力。

3.1 定理1仿真結(jié)果

圖2 采用定理1方法仿真驗(yàn)證的輸出響應(yīng)曲線(xiàn)

圖3 采用定理1方法仿真驗(yàn)證的控制輸入曲線(xiàn)

圖4 采用定理1方法仿真驗(yàn)證的跟蹤性能曲線(xiàn)

由圖2可知，提出的輸出反饋方法在啤酒發(fā)酵罐溫度系統(tǒng)在受到不確定性影響時(shí)，可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的同時(shí)增加系統(tǒng)跟蹤設(shè)定值的能力。由于在設(shè)計(jì)控制器時(shí)充分考慮到設(shè)定值變化對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，將設(shè)定值變化的增量看作外界有界干擾，并基于此引入H無(wú)窮性能指標(biāo)增加系統(tǒng)抗設(shè)定值變化的能力。因此，當(dāng)設(shè)定值發(fā)生變化時(shí)，在提出方法的作用下，系統(tǒng)輸出也能快速地跟蹤期望的設(shè)定值，并隨著設(shè)定值的波動(dòng)有效變化，滿(mǎn)足由于生產(chǎn)工藝需要對(duì)溫度變化的控制要求，曲線(xiàn)波動(dòng)也較平緩，因此可以看出采用定理1設(shè)計(jì)的控制器可以對(duì)啤酒發(fā)酵過(guò)程溫度控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有效的控制。

因?yàn)樵O(shè)計(jì)控制器時(shí)，采用魯棒模型預(yù)測(cè)控制思想，通過(guò)引入魯棒預(yù)測(cè)性能指標(biāo)，將控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為無(wú)窮時(shí)域的優(yōu)化問(wèn)題，所以所設(shè)計(jì)的控制器具有預(yù)測(cè)控制的預(yù)測(cè)特性，正是預(yù)測(cè)特性的存在，使得在被控對(duì)象的輸出在跟蹤上設(shè)定值的同時(shí)，控制輸入具有較小的波動(dòng)。由圖3可以看出，當(dāng)存在不確定性因素時(shí)，雖然在設(shè)定值改變時(shí)出現(xiàn)較大的變化，但當(dāng)系統(tǒng)跟蹤上設(shè)定值后，系統(tǒng)控制輸入的波動(dòng)幅度較小。這種情況一方面降低了執(zhí)行器運(yùn)行時(shí)的能源消耗，另一方面避免了執(zhí)行器大范圍頻繁波動(dòng)造成的損耗，從而增加執(zhí)行器的使用壽命，降低了企業(yè)的生產(chǎn)成本。

眾所周知，基于狀態(tài)空間模型設(shè)計(jì)的控制器，通常只是保證系統(tǒng)穩(wěn)定，也就是使系統(tǒng)的狀態(tài)輸出趨于0，并不能使得系統(tǒng)輸出跟蹤目標(biāo)的設(shè)定值，大大降低了控制器在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用的可能。而提出方法在設(shè)計(jì)控制器時(shí)充分考慮到實(shí)際生產(chǎn)需要使系統(tǒng)輸出跟蹤目標(biāo)設(shè)定值的情況。在傳統(tǒng)狀態(tài)空間模型中引入輸出跟蹤誤差作為擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，使得設(shè)計(jì)的控制器具有同時(shí)調(diào)節(jié)系統(tǒng)狀態(tài)和輸出跟蹤誤差的能力。也就是說(shuō)將輸出跟蹤誤差作為一個(gè)新的狀態(tài)變量，控制器通過(guò)將新的狀態(tài)變量輸出控制為0，從而保證被控對(duì)象的輸出具有良好的跟蹤設(shè)定值變化的能力。因此，由圖4可知，定理1中給出的方法在控制系統(tǒng)受到不確定性影響的情況下，保證系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能，從而使啤酒發(fā)酵罐的溫度有效跟蹤酵母菌活性最佳的溫度，提高企業(yè)的生產(chǎn)效率。

3.2 定理2對(duì)比仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證定理2的可行性，在定理1仿真控制器參數(shù)的基礎(chǔ)上，增加外界干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，并與文獻(xiàn)[21]中提到的方法進(jìn)行對(duì)比來(lái)驗(yàn)證提出方法的優(yōu)勢(shì)。兩種方法的控制效果對(duì)比曲線(xiàn)分別如圖5～7所示，其中圖5為輸出響應(yīng)對(duì)比，圖6為控制輸入對(duì)比，圖7為跟蹤性能對(duì)比。

圖5 兩種方法輸出響應(yīng)對(duì)比

圖6 兩種方法控制輸入對(duì)比

圖7 兩種方法跟蹤性能對(duì)比

由圖5可知，在相同的影響因素情況下，由于提出方法增加了控制器在設(shè)定值變化情況下的調(diào)節(jié)能力，因此無(wú)論設(shè)定值是跳變?cè)龃蠡驕p少，還是慢速均勻增大或減小，提出方法輸出響應(yīng)跟蹤設(shè)定值的速度都要優(yōu)于對(duì)比文獻(xiàn)方法。產(chǎn)生這種效果的原因在于，在設(shè)計(jì)控制器前充分考慮到實(shí)際生產(chǎn)中，控制系統(tǒng)的設(shè)定值會(huì)隨著生產(chǎn)條件的變化發(fā)生改變的情況。通過(guò)將設(shè)定值變化的增量與H無(wú)窮性能指標(biāo)相結(jié)合，構(gòu)建包括設(shè)定值變化和外界干擾的復(fù)合性能指標(biāo)。因?yàn)樵谛阅苤笜?biāo)中并沒(méi)有將設(shè)定值變化和外界干擾看作整體干擾，而是分別構(gòu)建H無(wú)窮性能指標(biāo)，降低控制器設(shè)計(jì)中保守性的同時(shí)增加了控制器對(duì)外界干擾和變化設(shè)定值的處理能力。因此，在系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)增加外界干擾，定理2方法和文獻(xiàn)[21]方法都能保證系統(tǒng)輸出具有較小波動(dòng)的情況下跟蹤設(shè)定值。但當(dāng)設(shè)定值根據(jù)生產(chǎn)要求發(fā)生變化時(shí)，定理2方法對(duì)設(shè)定值變化的影響更加靈敏，具有更強(qiáng)的跟蹤設(shè)定值變化的能力。

因?yàn)槎ɡ?中控制器設(shè)計(jì)時(shí)構(gòu)建的性能指標(biāo)比文獻(xiàn)[21]多了對(duì)變化設(shè)定值的處理能力，因此，求解出的控制量會(huì)有更加快速的調(diào)節(jié)，從而保證系統(tǒng)輸出快速跟蹤變化的設(shè)定值。由圖6可知，在設(shè)定值變化的情況下，提出方法的控制輸入反應(yīng)更加靈敏，意味著提出方法可以在較短時(shí)間內(nèi)對(duì)執(zhí)行器進(jìn)行有效操作，從而達(dá)到理想的控制效果。

由于定理2控制器設(shè)計(jì)時(shí)使用了擴(kuò)展輸出誤差的新型多自由度狀態(tài)空間模型，并在性能指標(biāo)選擇中使用了包括設(shè)定值變化量的性能指標(biāo)。因此，定理2中設(shè)計(jì)的控制器比文獻(xiàn)[21]中設(shè)計(jì)的控制器在保證系統(tǒng)輸出跟蹤設(shè)定值能力的同時(shí)具有較強(qiáng)的跟蹤變化設(shè)定值的能力。由圖7可知，定理2給出的方法會(huì)大大提高啤酒發(fā)酵罐溫度控制系統(tǒng)跟蹤設(shè)定值的速度，尤其是在設(shè)定值發(fā)生跳變的情況下。這說(shuō)明提出的方法具有較強(qiáng)的跟蹤設(shè)定值能力。

兩種方法的誤差平均值與方差如表1所示。由表可以看出，提出方法的誤差平均值與方差均小于對(duì)比文獻(xiàn)方法，從而體現(xiàn)出提出方法的優(yōu)勢(shì)。

表1 兩種方法誤差數(shù)據(jù)對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)啤酒發(fā)酵罐穩(wěn)定控制系統(tǒng)在考慮系統(tǒng)的非線(xiàn)性特性、參數(shù)不確定性和外界未知干擾的情況下，結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)中狀態(tài)不可測(cè)以及設(shè)定值會(huì)隨著生產(chǎn)要求進(jìn)行調(diào)整的情況，提出一種動(dòng)態(tài)輸出反饋魯棒模糊預(yù)測(cè)控制方法。該方法給出了構(gòu)造非線(xiàn)性輸出反饋控制器的方法以及需要滿(mǎn)足的充分條件，有效地降低了由于單點(diǎn)線(xiàn)性化造成的模型不匹配問(wèn)題的影響，并在系統(tǒng)受到干擾和設(shè)定值變化的情況，引入性能指標(biāo)，保證系統(tǒng)對(duì)時(shí)變軌跡的跟蹤能力，實(shí)現(xiàn)被控變量的高精度控制。對(duì)啤酒生產(chǎn)工業(yè)的發(fā)展具有重要意義。