“百分數(shù)”教學的新要求與新探索

文|顧志能

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》），將百分數(shù)從原來的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域移到了“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，教學目標從“數(shù)的認識”轉(zhuǎn)變成了“統(tǒng)計量的認識”。調(diào)整的原因，是為了“適應信息時代、大數(shù)據(jù)時代的要求”。

《課標》在相應章節(jié)，還提出了詳細的教學建議：百分數(shù)教學要引導學生知道百分數(shù)是兩個數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達。既可以表達確定數(shù)據(jù)，如飲料中果汁的含量，稅率、利息和折扣等，也可以表達隨機數(shù)據(jù)，如某籃球運動員罰球命中率、某城市霧霾天數(shù)所占比例等。建議利用現(xiàn)實問題中的隨機數(shù)據(jù)引入百分數(shù)的學習，幫助學生了解百分數(shù)的統(tǒng)計意義，了解利用百分數(shù)可以認識現(xiàn)實世界中的隨機現(xiàn)象，進而作出判斷、制訂標準。

可見，凸顯百分數(shù)的統(tǒng)計意義，就是百分數(shù)教學的新要求。

一

《課標》對百分數(shù)教學的上述要求，有些實際上早已存在于當前的教材或教師的教學中了。如既要表達確定數(shù)據(jù)，又要表達隨機數(shù)據(jù)，事實上現(xiàn)行人教版教材的編排體系正是如此。在人教版六年級上冊教材中，“百分數(shù)的意義”一課，所用素材都是體現(xiàn)確定數(shù)據(jù)的百分數(shù)；而緊接著的“求百分率”一課，以投籃命中率為情境材料，則是隨機數(shù)據(jù)的體現(xiàn)。

至于“利用現(xiàn)實問題中的隨機數(shù)據(jù)引入百分數(shù)的學習”，更是近些年來很常見的一種教學思路。北師大版教材當前的例題就是這么編制的———比較三名同學罰點球的水平。（《課標》例45 就相當于此題）

所以，《課標》中關(guān)于百分數(shù)教學的要求，真正的新意是明確了百分數(shù)是表達統(tǒng)計量的一種形式，強調(diào)了利用百分數(shù)可以對事物作出判斷、制訂標準。

二

百分數(shù)是因?qū)κ挛镞M行分析比較、調(diào)查統(tǒng)計而產(chǎn)生的，在當前的應用更是越來越廣泛。因此，教學時凸顯它的統(tǒng)計屬性，應當是正確的方向。但是，這樣的理念在具體推行時會遇到什么問題？我們又該如何審視并應對這些問題呢？下面，筆者就這個話題，結(jié)合自身的教學實踐，談幾點粗淺的思考。

思考一：百分數(shù)的學習從隨機數(shù)據(jù)引入，存在一些“麻煩”

以《課標》提供的“例45：誰的套圈水平高”為例，該情境就是典型的從隨機數(shù)據(jù)引入（詳見《課標》）。這個情境的缺陷是顯見的——數(shù)據(jù)太過特殊，正好都能通分到100。盡管這是為了“教學”的需要，但如此“編造”數(shù)據(jù)，是與統(tǒng)計學的基本要求相悖的。愛思考的學生，倘若學習過程中問一句：“假如3 號同學套中的是7個，怎么通分到100 呢？”教師想必會尷尬且無措。

綜上，從隨機數(shù)據(jù)引入百分數(shù)進行教學存在“麻煩”：若數(shù)據(jù)太過虛擬，學生難以真正體會到百分數(shù)的統(tǒng)計意義；若用了真實的數(shù)據(jù)（即使是相對真實的數(shù)據(jù)），學習要求和難度就會顯著增加，需要考慮如何與“求百分率”的例題進行重組，包括課時目標的調(diào)整。

思考二：從確定數(shù)據(jù)引入，可能更加符合學生的認知基礎

從隨機數(shù)據(jù)引入百分數(shù)教學，會遭遇“麻煩”，而若換作從確定數(shù)據(jù)引入，則會順暢自然。為什么這樣說？我們來看看學生的學習經(jīng)歷和生活經(jīng)驗。

百分數(shù)是兩個數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達，所以它本質(zhì)上與學生之前學過的倍、分數(shù)、比是一致的。學生之前所學的倍、分數(shù)、比，所表達的一般都是確定數(shù)據(jù)。可以說，對表達確定數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系的認識，學生有著堅實的基礎。那么，沿著學生原有基礎，以表達確定數(shù)據(jù)的百分數(shù)順勢引入教學，不就顯得很順理成章嗎？

另外，學生在生活中接觸過很多的百分數(shù)，但這些百分數(shù)大都是表達確定數(shù)據(jù)的，如電池的剩余電量、播放的進度條、果汁含量、折扣率等。學生在理解這些百分數(shù)時，會借助生活經(jīng)驗，調(diào)用之前對分數(shù)意義的認識，作出樸素而準確的表達。既然生活經(jīng)驗能為學生理解百分數(shù)的意義提供如此有力的支撐，那這些經(jīng)驗我們怎么能棄之不用呢？

所以，從學生認知基礎來看，從表達確定數(shù)據(jù)引入百分數(shù)的教學，銜接上可能更加自然，素材的選用和研究也會更有功效。

思考三：扎實理解百分數(shù)的意義，是非常重要的學習目標

眾所周知，學習百分數(shù)之后，教材中有類型豐富、數(shù)量眾多的“百分數(shù)解決問題”，這些內(nèi)容是六年級數(shù)學的“重頭戲”，有利于培養(yǎng)學生解決問題的能力，發(fā)展應用意識。因此，從現(xiàn)實的角度來說，百分數(shù)的教學中，引導學生理解各種具體情境中百分數(shù)的意義，突破百分數(shù)認識上的一些障礙，打通百分數(shù)與分數(shù)間的關(guān)聯(lián)，能清楚準確地表達任意一個百分數(shù)的意義，服務于后續(xù)的“百分數(shù)解決問題”，那是非常重要的教學目標。

具體而言，以下知識點應成為百分數(shù)教學時的重點。

如，“一部電影，已經(jīng)下載了28%”，要引導學生從已有經(jīng)驗“把一部電影看成單位‘1’，平均分成100 份，已經(jīng)下載了28 份”，轉(zhuǎn)而表達成“已下載的是整部電影的”——掌握這種“標準”的表達方式，是后續(xù)分析、解決各種百分數(shù)問題的重要基礎。

再如，百分數(shù)怎么會大于100%？百分號前有小數(shù)是怎么回事？要想辦法引導學生主動質(zhì)疑，深入思考，有效釋疑——這些疑問解決了，對百分數(shù)的意義也就真正理解了。

還有，百分數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，怎樣的分數(shù)可以化成百分數(shù)，這也是后續(xù)面對較為綜合的“分數(shù)百分數(shù)解決問題”時的必備認識。

思考四：利用百分數(shù)作出判斷、制訂標準，學生要有深刻感悟是不容易的

在信息時代，百分數(shù)越來越多地應用于隨機現(xiàn)象的處理；利用百分數(shù)可以作出判斷、制訂標準……這些說法毫無疑問都是對的，然而，對于小學生來說，限于年齡特征和知識水平，他們還很難真正領(lǐng)悟百分數(shù)的這些內(nèi)涵。

以《課標》推薦的“例46：確定五年級學生跳繩達標線”為例。該題的教學，按《課標》設想，應有如下過程：數(shù)學課上制定計劃→體育課上收集數(shù)據(jù)→數(shù)學課上整理數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計圖，分析數(shù)據(jù)，利用百分數(shù)確定達標線→語文課上撰寫小論文。以上過程，知識指向不明顯，卻需要耗費師生極大精力。

三

筆者根據(jù)對百分數(shù)教學的研究經(jīng)驗，結(jié)合《課標》的新要求和上述思考，近期又開展了多輪的教學設計及實踐。實踐之后，對“百分數(shù)的意義”教學形成了新的思路。該思路既聚焦了百分數(shù)的概念建構(gòu)，又凸顯了百分數(shù)的統(tǒng)計屬性。

第一課時：從表達確定數(shù)據(jù)的百分數(shù)引入并開展教學，建構(gòu)百分數(shù)的概念。

（一）教學導入

1.直接揭題，教學讀寫法

2.學生介紹見到過的百分數(shù)，教師補充呈現(xiàn)

（二）新授展開

1.初步感知百分數(shù)

借助學習資源，引導學生表達各個百分數(shù)的含義，板書記錄，初步得出概念：一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。

2.深度理解百分數(shù)

（1）體會百分數(shù)的價值。

引導學生提問：相關(guān)信息明明都可以用分數(shù)表示，為什么還要用百分數(shù)？

學生探究，反饋，體會百分數(shù)的“好處”：直觀明了，便于比較。

（2）深化百分數(shù)的認識。

①引導學生再提問，生成學習任務。

為什么有超過100%的百分數(shù)？百分號前是小數(shù)是怎么回事？百分數(shù)的來歷？百分數(shù)能不能計算？……

②探究超過100%的百分數(shù)。

學生自己舉例，教師引導，突破思維定勢，完善對百分數(shù)概念的理解。

③探究百分號前是小數(shù)。

組織學生開展合作探究活動，借助反饋，引導學生理解百分號前是小數(shù)的百分數(shù)的產(chǎn)生及意義。

（3）拓展百分數(shù)的知識。

課件介紹百分號的來歷，其他問題懸疑，激發(fā)學習興趣。

（三）知識運用

練習（作業(yè)本習題一組），反饋時點明分數(shù)與百分數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。

第二課時：以恰當?shù)那榫辰虒W百分數(shù)表達隨機數(shù)據(jù)，凸顯百分數(shù)的統(tǒng)計意義。

（一）情境引入

了解該班近視人數(shù)，現(xiàn)場舉手，統(tǒng)計人數(shù)（32 人）。

（二）新知探究

1.創(chuàng)設沖突

告知B 校某班近視人數(shù)為28人，問哪個班的近視情況好一些？學生意見不一，一致認為需要知道各自總?cè)藬?shù)才能比較。

2.學生探究

（1）給出兩個班的總?cè)藬?shù)45人和40 人，引導學生計算出兩個班的近視率（告知近視率的含義）。

（2）學生自主探索，教師巡視，了解情況。

3.反饋交流

（1）學生展示，方法呈現(xiàn)。

?六1 班六2 班六3 班六4 班六5 班近視人數(shù) 2820272931總?cè)藬?shù)4042414241近視率 70.0%

32÷45≈0.711=71.1%

（2）教師引領(lǐng)，歸納方法。

比較后，歸納得出小數(shù)化百分數(shù)的方法和分數(shù)化百分數(shù)的方法。（細節(jié)略）

（3）解決問題，體悟價值。

4.方法鞏固

（1）告知B 校該年級還有另外四個班，學生猜測近視率。

（2）給出相關(guān)信息，學生分組計算。（下表為課前收集到的真實數(shù)據(jù)）

（3）校對答案，講解訂正，鞏固技能。

（4）解讀數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)近視率都在70%左右，呼應猜測。

5.數(shù)據(jù)分析

（1）推測全國六年級學生的近視率，學生說理由。

（2）給出“官方數(shù)據(jù)”： 2020年，國家衛(wèi)健委在全國范圍內(nèi)開展了調(diào)查，得到的結(jié)果是我國六年級學生的近視率為59.6%。

（3） 分析數(shù)據(jù)差異的原因。（鼓勵學生從不同角度開展分析）

（三）知識運用（略）

如上兩個課時，有對百分數(shù)傳統(tǒng)教學經(jīng)驗的充分繼承，也有對《課標》新要求的積極回應，還有對現(xiàn)行教材內(nèi)容整合的努力嘗試，總體效果較好。