小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的“三個(gè)關(guān)鍵”
——以“平行四邊形的面積”為例

黃蘇萍

（福建省廈門(mén)市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

在小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中，學(xué)生參與具體到抽象、數(shù)的運(yùn)算、邏輯與推理、幾何與直觀、統(tǒng)計(jì)與分析、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)，可以掌握數(shù)學(xué)核心知識(shí)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的本質(zhì)，構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深入理解和整體認(rèn)知。因此，教師在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要把握好“緊抓核心、凸顯本質(zhì)、構(gòu)建聯(lián)系”這三個(gè)關(guān)鍵。

“平行四邊形的面積”一課的特點(diǎn)決定本課是開(kāi)展深度學(xué)習(xí)的典型課例。首先，本課在義務(wù)教育階段的平面圖形面積教學(xué)中具有承上啟下的關(guān)鍵作用，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形面積到三角形、梯形面積的過(guò)渡。長(zhǎng)方形、正方形是可直接用單位面積度量的平面圖形，而平行四邊形、三角形和梯形都不能直接度量。其次，本課是學(xué)生第一次用轉(zhuǎn)化的思想探索平面圖形面積的計(jì)算，這一思想能為學(xué)生進(jìn)一步探索其他四邊形和曲線(xiàn)圖形圓的面積公式打下重要的基礎(chǔ)。下面筆者以“平行四邊形的面積”一課為例，談?wù)勅绾伟盐招W(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的三個(gè)關(guān)鍵。

一、緊抓核心，設(shè)計(jì)指向高階思維的教學(xué)活動(dòng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容是指數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域中具有共同要素的主要內(nèi)容和關(guān)鍵內(nèi)容。平面圖形的面積屬于圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容，無(wú)論是一維、二維還是三維空間的度量，學(xué)生在每種度量對(duì)象的學(xué)習(xí)和研究中，都需要經(jīng)歷認(rèn)識(shí)測(cè)量對(duì)象→認(rèn)識(shí)度量單位→用單位直接度量→用公式間接度量→實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程。平行四邊形的面積是學(xué)生感悟用單位直接度量到用公式間接度量過(guò)渡的關(guān)鍵，是學(xué)生理解從“數(shù)”到“不數(shù)”原理的關(guān)鍵期，因此，教學(xué)的核心內(nèi)容是理解平行四邊形面積公式的推導(dǎo)。

基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，要緊抓數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)指向高階思維的教學(xué)活動(dòng)。確定核心內(nèi)容，設(shè)計(jì)以核心內(nèi)容為線(xiàn)索、指向高階思維的教學(xué)活動(dòng)。在這個(gè)過(guò)程中，教師圍繞核心問(wèn)題，為學(xué)生提供方法、工具、策略等多方位的指導(dǎo)，同時(shí)關(guān)注不同層次學(xué)生的個(gè)性需求，提供不同問(wèn)題的解決策略和方法，才能讓學(xué)生在探究、交流、實(shí)踐中，根據(jù)自身水平對(duì)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行符合自身特點(diǎn)的深度加工。

圍繞推導(dǎo)平行四邊形面積公式這個(gè)核心內(nèi)容，教師設(shè)計(jì)兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)。第一個(gè)活動(dòng)是指導(dǎo)學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)，解決認(rèn)知沖突。本課的關(guān)鍵首先要解決部分學(xué)生認(rèn)為平行四邊形的面積等于鄰邊相乘這個(gè)認(rèn)知沖突。產(chǎn)生這個(gè)想法的主要原因是長(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)乘寬這個(gè)已有經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了負(fù)遷移。同樣是已有經(jīng)驗(yàn)，推導(dǎo)長(zhǎng)方形面積公式時(shí)運(yùn)用的測(cè)量方法卻幫助學(xué)生推理出平行四邊形面積取值范圍為大于24 平方厘米小于32 平方厘米（如圖1），而鄰邊相乘為35 平方厘米，從而排除錯(cuò)誤方法，解決認(rèn)知沖突。第二個(gè)活動(dòng)是關(guān)注學(xué)生差異，提供多樣化的研究工具和方法。在設(shè)計(jì)探究平行四邊形面積的活動(dòng)時(shí)，教師提供探究學(xué)習(xí)單、可直接放在圖形上進(jìn)行測(cè)量的透明方格紙（小方格面積是1cm2）、平行四邊形紙張等多種工具，學(xué)生根據(jù)自身水平選擇相應(yīng)方法進(jìn)行探究。

圖1

水平層次 探究方法水平一 利用格子圖測(cè)量格子水平二 利用格子轉(zhuǎn)化平行四邊形再數(shù)格子，也可以利用平行四邊形圖片剪拼水平三 直接畫(huà)圖進(jìn)行轉(zhuǎn)化并發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系

不同水平的學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，理解平行四邊形面積與長(zhǎng)方形面積之間的關(guān)系，使“數(shù)”和“算”的結(jié)果得到統(tǒng)一，在積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，建立數(shù)感，發(fā)展空間觀念，實(shí)現(xiàn)深度探究和思考。

二、凸顯本質(zhì)，把握學(xué)科知識(shí)與數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵

基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，要凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，著眼學(xué)科知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵。數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)反映了數(shù)學(xué)學(xué)科不同于其他學(xué)科的特點(diǎn)，是學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。教學(xué)時(shí)注意把握學(xué)科知識(shí)與數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，可以使學(xué)生從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)思維向縱深發(fā)展，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的。探究平行四邊形的面積著眼點(diǎn)應(yīng)放在對(duì)測(cè)量圖形的本質(zhì)和轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)理解上。

一是關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，把學(xué)生的思考引向深入。在數(shù)學(xué)知識(shí)中，測(cè)量的本質(zhì)是指用包含幾個(gè)度量單位來(lái)衡量物體的屬性。在此過(guò)程中，單位的重要作用不言而喻。如果在學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形后，再利用格子圖這個(gè)測(cè)量工具，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的主要目的其實(shí)是便于用每行個(gè)數(shù)乘行數(shù)來(lái)度量面積，本質(zhì)上與已經(jīng)學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形、正方形的面積測(cè)量是一致的，這樣學(xué)生就容易理解平行四邊形面積的本質(zhì)是包含了幾個(gè)單位面積，學(xué)生的思維就不會(huì)停留于知識(shí)表層，而是指向?qū)?shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解。

二是把握轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)，助力學(xué)生將方法進(jìn)行深度遷移。要使學(xué)生將數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行深度遷移，不僅要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法是什么，還要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法怎么用。因此，要求學(xué)生從本質(zhì)上理解轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)是把“新知”轉(zhuǎn)為“舊知”，把“未知”轉(zhuǎn)為“已知”，進(jìn)而探索新知。讓學(xué)生理解把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，一方面是把“不能直接測(cè)量的圖形”變?yōu)椤翱梢灾苯訙y(cè)量的圖形”，理解平行四邊形的“數(shù)”與長(zhǎng)方形的“數(shù)”異曲同工；另一方面讓學(xué)生體會(huì)平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形之間存在一定的聯(lián)系，才得以推導(dǎo)出其面積計(jì)算公式。厘清轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)，在幫助學(xué)生建立平行四邊形面積計(jì)算模型的同時(shí)，了解應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想要基于有效的關(guān)聯(lián)，為此后深入探究推導(dǎo)三角形、梯形及圓的面積計(jì)算公式奠定深度遷移的基礎(chǔ)。

三、構(gòu)建聯(lián)系，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)系

縱觀數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)，它們?cè)谙到y(tǒng)性和邏輯性上有很緊密的聯(lián)系。深度學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)可以通過(guò)溝通相關(guān)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，針對(duì)易混淆的知識(shí)開(kāi)展對(duì)比辨析，讓學(xué)生在溝通和辨析活動(dòng)中構(gòu)建起知識(shí)間的聯(lián)系，形成整體性、系統(tǒng)性的認(rèn)知。

首先，溝通聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)相同屬性。在完成平行四邊形的面積公式推導(dǎo)之后，教師出示已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的長(zhǎng)方形、正方形圖形及面積公式，標(biāo)注出平行四邊形的底和高、長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬、正方形相鄰的兩條邊，讓學(xué)生觀察圖形及面積公式并思考有什么發(fā)現(xiàn)。通過(guò)觀察三個(gè)公式，結(jié)合“長(zhǎng)方形和正方形是特殊的平行四邊形”這一已有認(rèn)知，學(xué)生經(jīng)歷兩個(gè)層次的思考：第一層次是發(fā)現(xiàn)幾個(gè)平面圖形的面積都可以通過(guò)每個(gè)圖形中互相垂直的兩條線(xiàn)段相乘來(lái)計(jì)算；第二層次是發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于平行四邊形的底，高相當(dāng)于平行四邊形的高，正方形的兩條邊也相當(dāng)于底和高，所以三種圖形的面積公式歸根結(jié)底都可以看成底乘高，它們?cè)诒举|(zhì)上是一致的。溝通不同知識(shí)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)它們之間的共同屬性，從而構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生形成全面、系統(tǒng)的理解，有助于深度學(xué)習(xí)的開(kāi)展。

其次，問(wèn)題串聯(lián)，辨析不同變化。在本課教學(xué)中，教師設(shè)置三次“什么變了，什么不變”的問(wèn)題，讓學(xué)生將變化前后的圖形進(jìn)行對(duì)比辨析。第一次是將長(zhǎng)方形框架拉為平行四邊形，在這個(gè)過(guò)程中，周長(zhǎng)沒(méi)有變化，但圖形的形狀、面積發(fā)生改變，面積變化的根本原因是底不變，但高變短了；第二次是將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，形狀改變但面積不變，并且轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于原來(lái)的平行四邊形的底，寬與原來(lái)平行四邊形的高相等；第三次是出示一組等底等高的平行四邊形，學(xué)生結(jié)合積的變化規(guī)律，理解這些平行四邊形的形狀不同，但面積相等，原因是它們同底等高。在三次“變與不變”討論的基礎(chǔ)上，進(jìn)行兩次對(duì)比辨析，讓學(xué)生在尋找變與不變中發(fā)現(xiàn)圖形的內(nèi)在聯(lián)系，不僅能激發(fā)學(xué)生探究問(wèn)題的動(dòng)機(jī)，也有助于學(xué)生積極主動(dòng)地整合知識(shí)內(nèi)容，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

在深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師做好緊抓核心、凸顯本質(zhì)、構(gòu)建聯(lián)系三個(gè)關(guān)鍵，從而讓學(xué)生深入理解知識(shí)本質(zhì)，主動(dòng)遷移思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，把思維引向深處，使學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。