指向深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計

彭恒仁

開展單元教學(xué)，應(yīng)以引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，幫助學(xué)生獲得“四基”、發(fā)展“四能”。下面，筆者以蘇科版九年級下冊“6.4探索相似三角形的條件”單元教學(xué)為例，淺析指向深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計與思考。

一、對單元內(nèi)容的理解

從教材內(nèi)容來看，蘇科版“探索相似三角形的條件”中的內(nèi)容安排在九年級下冊第六章，其編排思路與八年級上冊“全等三角形”的內(nèi)容類似：也是由定義→性質(zhì)→判定→應(yīng)用。相似三角形和全等三角形之間是一種一般與特殊的關(guān)系，相似三角形的內(nèi)容是全等三角形知識的進(jìn)一步拓展與延伸，可以借助類比的思想引發(fā)從三角形的全等判定到相似判定（如圖1）。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重整體關(guān)聯(lián)，基于數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)，利用知識、方法及探索路徑之間的聯(lián)系開展教學(xué)活動，讓學(xué)生從已有的經(jīng)驗出發(fā)，在自主探索中自然建構(gòu)，層層深入。為此，筆者因?qū)W設(shè)教，于全等三角形和相似三角形的知識關(guān)聯(lián)處進(jìn)行單元整體建構(gòu)，以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

二、教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷“觀察—猜想—類比—驗證—證明”的數(shù)學(xué)活動過程，理解相似三角形的概念，從概念出發(fā)分析兩個三角形相似的條件，探索并證明相似三角形邊和角的性質(zhì)，并能在具體圖形中找出相似三角形的對應(yīng)邊、角，寫出比例式，進(jìn)行相關(guān)的計算應(yīng)用。

通過借助全等三角形研究相似三角形的過程，了解類比、轉(zhuǎn)化思想方法，體會從特殊到一般的事物認(rèn)知規(guī)律，明確研究圖形和性質(zhì)判定的一般思路。

三、教學(xué)過程設(shè)計

深度學(xué)習(xí)是素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成的關(guān)鍵，對教師教學(xué)設(shè)計提出系列調(diào)整要求。而單元教學(xué)為深度學(xué)習(xí)提供了必要的知識和時空條件?；谝陨戏治?，從單元教學(xué)視角出發(fā)，筆者對“探索相似三角形的條件”單元教學(xué)路徑做了適當(dāng)優(yōu)化與調(diào)整，以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

（一）回顧舊知，喚醒經(jīng)驗

問題1：全等三角形有哪些判定方法？

學(xué)生活動：回憶全等三角形的定義及全等三角形的判定方法。

追問1：全等三角形我們研究了哪些內(nèi)容？

師生活動：兩個三角形邊和角的相等關(guān)系。

追問2：研究全等三角形的一般思路是什么？

學(xué)生活動：基于已有幾何圖形研究經(jīng)驗談思路。

教師歸納：全等三角形的研究思路：“定義→性質(zhì)→判定→應(yīng)用”。

（設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)之初，通過回顧全等三角形的研究內(nèi)容及判定方法，同時梳理出研究兩個圖形之間關(guān)系的一般思路，從而為類比探究相似三角形的條件做好鋪墊。）

（二）問題引領(lǐng)，獲得概念

問題1：如圖2，△ABC和△A′B′C′各個邊、各個角之間有什么關(guān)系？

學(xué)生活動：利用格子圖，首先觀察到△ABC和△A′B′C′都為等腰直角三角形，且通過計算分析發(fā)現(xiàn)，兩個三角形的對應(yīng)角相等，其對應(yīng)邊有如下關(guān)系：AB=2A′B′，BC=2B′C′，AC=2A′C′，從而得出結(jié)論：△ABC和△A′B′C′形狀相同，但大小不同。

問題2：如圖3，△ABC和△A′B′C′各個邊、各個角之間有什么關(guān)系？

追問1：兩個三角形是否也有形狀相同、大小不同的特點？

學(xué)生活動：首先從圖形上來猜測，△ABC和△A′B′C′也具有形狀相同、大小不同的特點，進(jìn)一步通過計算驗證兩個三角形的各個對應(yīng)角和對應(yīng)邊之間的關(guān)系，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，它們的各個對應(yīng)角相等，其對應(yīng)邊有如下關(guān)系：AB=2A′B′，BC=2B′C′，AC=2A′C′。

問題3：相似三角形的概念是什么？

學(xué)生活動：閱讀教材內(nèi)容，相似多邊形的判定條件為各角分別相等，各邊成比例，推出相似三角形的判定條件三角分別相等，三邊成比例。

問題4：教材第50頁例1，已知△ABC和△A′B′C′，求∠a的大小和A′C′的長。

學(xué)生活動：根據(jù)相似三角形的概念，得出兩個三角形邊與角的關(guān)系，進(jìn)一步強(qiáng)化對概念的理解和運(yùn)用。

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生從“邊”和“角”要素出發(fā)研究兩個三角形之間的關(guān)系，讓學(xué)生掌握研究圖形關(guān)系的關(guān)鍵要素，即“邊”與“角”；在對問題1和問題2的探究中，學(xué)生得出初步結(jié)論和具有形狀相同、大小不同的特點；通過例題的講解，進(jìn)一步深化學(xué)生對相似三角形概念的理解。）

（三）類比探究，獲得定理

問題1：可不可以用比較少的條件來判定三角形相似呢？至少需要幾個條件？

問題2：給出一個△ABC，如何畫出一個與△ABC形狀相同的△A′B′C′呢？

學(xué)生活動：自主學(xué)習(xí)，在剛開始探究過程中，主要有兩種思路，一種思路是先畫出一個角，使∠B′=∠B，然后再構(gòu)造相似三角形；另一種思路是先畫出一條邊EF，由于是相似三角形，對應(yīng)邊成比例即可，所以對于EF的長度沒有限制。

（設(shè)計意圖：通過問題驅(qū)動的方式，促使學(xué)生主動思考，激發(fā)他們的探究欲望和學(xué)習(xí)積極性，在思考過程中，學(xué)生動手實踐、觀察，充分彰顯了以生為本的教學(xué)理念。）

問題3：我剛看了很多同學(xué)都只畫出了一個角或一條邊，接著該怎么辦呢？

追問1：你知道相似三角形的判定方法有哪些？

學(xué)生活動：判定兩個三角形相似，需要知道它們的各角分別相等，各邊成比例。

追問2：一定需要相似三角形定義中的全部條件嗎？

追問3：兩個三角形至少滿足哪些條件就相似呢？由少到多分類說。

學(xué)生活動：一條邊對應(yīng)相等或一個角對應(yīng)相等。

追問4：它們相似嗎？請舉出反例。

生：兩個條件可以是兩個角對應(yīng)相等或者兩邊對應(yīng)成比例。

追問5：三個條件的情況我們可以類比之前學(xué)過的什么內(nèi)容呢？

生：三角形全等。

（設(shè)計意圖：通過學(xué)習(xí)了相似多邊形，讓學(xué)生根據(jù)定義說出判定兩個三角形相似需要滿足哪些條件，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，并引導(dǎo)學(xué)生思考如何能用較少的條件判定，從而建立三角形相似與三角形全等的聯(lián)系，形成從全等到相似類比探究的意識。）

問題4：你能結(jié)合三角形全等的相關(guān)知識，來思考我們下一步該如何構(gòu)造相似△DEF嗎？

追問1：首先我們看思路一，畫出一個角，使∠B′=∠B，接下來呢？

學(xué)生活動：小組討論，學(xué)生的思路主要有以下兩種：一是再畫出一個角，使∠C′=∠C，并且通過畫圖初步發(fā)現(xiàn)，對于一個三角形來說，如果兩個角的大小確定了，即使大小沒有確定，但形狀已經(jīng)基本確定了，也就是當(dāng)兩個三角形的兩個角分別對應(yīng)相等時，它們一定是相似的，在教師的指導(dǎo)下，進(jìn)一步規(guī)范數(shù)學(xué)語言，從而引出三角形相似的判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似。另一種思路是在畫出∠B′=∠B后，可以畫出類比三角形全等SAS的情況，畫出該角的兩邊，結(jié)合相似三角形的概念，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要∠B和∠B′的兩條夾邊長度成比例即可。為驗證該結(jié)論的正確性，讓學(xué)生利用幾何畫板進(jìn)行畫圖操作，由此引出三角形相似的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

追問2：下面我們再來看之前畫出一條邊BC時，如何進(jìn)一步畫出一個與△ABC形狀相同的△A′B′C′呢？

學(xué)生活動：有了前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，通過類比思考，學(xué)生很快給出了兩種解決方法：方法一是類比三角形全等ASA判定的方法，可以畫出該邊兩端點的角，即使∠B′=∠B，∠C′=∠C，在此過程中，發(fā)現(xiàn)有兩個角對應(yīng)相等，兩個三角形的形狀基本已經(jīng)確定，就可以直接用判定定理1。方法二是類比三角形全等SSS判定的方法，只要讓△A′B′C′的對應(yīng)邊與△ABC的對應(yīng)邊成比例。

追問3：在△ABC和△A′B′C′中，如果滿足ＡＢ／Ａ＇Ｂ＇=ＢＣ／Ｂ＇Ｃ＇=ＡＣ／Ａ＇Ｃ＇=k，那么能夠判斷這兩個三角形相似嗎？

學(xué)生活動：通過畫圖和度量初步猜測△ABC和△A′B′C′是相似三角形，進(jìn)一步構(gòu)造相似：△ADE∽△ABC，再證明△A′B′C′≌△ADE，最后推導(dǎo)出△ABC∽△A′B′C′。

教師總結(jié)：由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理3：三邊成比例的兩個三角形相似。

（設(shè)計意圖：通過觀察、猜測、度量、作圖等一系列數(shù)學(xué)活動，學(xué)生類比全等三角形的判定方法，推導(dǎo)出相似三角形的判定定理，在這一過程中，學(xué)生的邏輯推理能力、歸納總結(jié)能力得到很好的提升。）

（四）情境分析，概括性質(zhì)

問題1：與三角形相關(guān)的要素有哪些？它們有什么關(guān)系？

追問1：除了邊和角，還有其他要素嗎？它們有什么關(guān)系？

師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，從邊、角想到三角形的高、中線及角平分線等，形成研究幾何圖形的一般思路。

問題2：已知△ABC，現(xiàn)按照1：2的比例建造△A′B′C′，分別過A點、A′點向?qū)呑魅切蔚母?，分別為AD、A′D′，那么△BCD和△B′C′D′相似嗎？為什么？如果相似，指出它們的相似比。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生回顧證明三角形相似的方法，積累研究相似三角形對應(yīng)高的關(guān)系的經(jīng)驗。）

問題3：按照剛剛研究相似三角形對應(yīng)高的方法，你能猜想出其他結(jié)論嗎？

追問2：你能用一句話概括上述結(jié)論嗎？

師生活動：對比高的探索方法，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后對角平分線、中位線等方面進(jìn)行探索，得出結(jié)論相似三角形的對應(yīng)線段的比等于相似比。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課設(shè)計較為成功之處主要有以下兩點：一是通過復(fù)習(xí)全等三角形的判定方法，類比猜想能否證明三角形相似，學(xué)生迅速完成由舊知向新知的轉(zhuǎn)化，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣。二是在探究判定的證明過程中，學(xué)生采用動手實踐、自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)方法，在教師的引導(dǎo)下從直觀感受的層次上升到理性層次的認(rèn)識，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合情推理能力。

編輯：曾彥慧