基于“試誤論”的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略

劉章全

“試誤論”是美國著名心理學(xué)家桑代克提出的人類學(xué)習(xí)過程理論，他認(rèn)為人類學(xué)習(xí)的過程就是一種漸進(jìn)嘗試錯(cuò)誤的過程，在學(xué)習(xí)中與知識無關(guān)的錯(cuò)誤反應(yīng)逐漸減少，正確的反應(yīng)逐漸形成，最終，在不斷的出錯(cuò)和嘗試中知識得以構(gòu)建。在“冪的乘方”教學(xué)中，需要教師重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，為學(xué)生數(shù)學(xué)建模等方面的發(fā)展奠定好基礎(chǔ)。教師采取“試誤論”教學(xué)思想，能使學(xué)生突破自身局限，有助于取得更好的教學(xué)效果。

一、加強(qiáng)學(xué)情分析，做好教學(xué)準(zhǔn)備

“冪的乘方”是華師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第12章中的內(nèi)容，基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出的要求，教師要注重從整體上推進(jìn)教學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生獲得結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。因此在“冪的乘方”教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)情分析，明確教學(xué)目標(biāo)和重點(diǎn)。

在之前的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了有理數(shù)乘方運(yùn)算的意義、同底數(shù)冪的乘法等基礎(chǔ)知識，為學(xué)生學(xué)習(xí)這節(jié)課的內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。學(xué)生有較強(qiáng)的好奇心和求知欲，喜歡探索未知的事物，也樂于自主展開探究，不喜歡“灌輸式”的教學(xué)手段。因此在這次的教學(xué)中，教師可以采取“試誤論”的教育思想，增強(qiáng)學(xué)生在教學(xué)中的自主性，促使學(xué)生在試誤、糾錯(cuò)等學(xué)習(xí)過程中獲得學(xué)習(xí)能力上的提升，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感。基于對學(xué)情的認(rèn)識，將教學(xué)目標(biāo)設(shè)置為：

1.數(shù)學(xué)語言：學(xué)生可以通過觀察、歸納等學(xué)習(xí)活動(dòng)，總結(jié)出“冪的乘方”的運(yùn)算性質(zhì)，能夠使用適合的語言符號來表示“冪的乘方”。

2.數(shù)學(xué)眼光：學(xué)生可以使用“冪的乘方”的相關(guān)知識靈活運(yùn)算，并且能夠正確理解每一步運(yùn)算的意義。

3.數(shù)學(xué)思維：學(xué)生可以經(jīng)歷完整的“冪的乘方”的探索過程，正確理解冪的意義，在探索中實(shí)現(xiàn)從特殊到一般、從具體到抽象的思維過程，掌握探索數(shù)學(xué)知識的有效方法，提升學(xué)習(xí)能力。

此外，基于對學(xué)情的認(rèn)識，在這節(jié)課的教學(xué)中，教師將教學(xué)重點(diǎn)設(shè)置為：學(xué)生可以正確理解“冪的乘方”的法則，并且靈活使用“冪的乘方”知識去解決生活中的簡單問題。由于學(xué)生的抽象思維、邏輯思維發(fā)展還存在一定限制，因此教學(xué)難點(diǎn)為：學(xué)生可以靈活使用“冪的乘方”知識去解決生活中的實(shí)際問題。如此，在這節(jié)課的教學(xué)中，教師需要基于“試誤論”思想，注重將“試誤論”滲透學(xué)生學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中，引起學(xué)生對“冪的乘方”探索過程的思考，幫助學(xué)生在犯錯(cuò)、糾錯(cuò)中真正理解知識形成的過程，進(jìn)而讓學(xué)生更好地突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生對知識的靈活運(yùn)用。

二、創(chuàng)設(shè)試誤情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

影響學(xué)生學(xué)習(xí)效果的因素有很多，興趣則是關(guān)鍵所在?！皟绲某朔健鄙婕暗闹R具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性，如果直接告訴學(xué)生結(jié)論，讓學(xué)生以大量運(yùn)算的方式來獲得結(jié)論，則難以加深學(xué)生的印象。教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)試誤情境，引發(fā)學(xué)生對問題的思考。

基于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，教師采取如下方式來創(chuàng)設(shè)試誤情境。

教師提出問題：在之前的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)過整數(shù)加減乘除的知識，大家回憶一下，如果是兩個(gè)整數(shù)相乘，那么可以怎樣計(jì)算？乘法是什么意思？借助問題能夠有效激活學(xué)生的已有知識，促使學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。

經(jīng)過充分的交流、討論，學(xué)生獲得了以下認(rèn)識：乘法實(shí)際上就是計(jì)算一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，4×5就是計(jì)算4的5倍是多少，3×0.7就是計(jì)算3的0.7倍是多少；乘法實(shí)際上也是加法，將相應(yīng)數(shù)量的某個(gè)數(shù)加在一起得到的結(jié)果就是乘法要計(jì)算的結(jié)果。

經(jīng)過以上分析，學(xué)生對乘法的本質(zhì)有了深刻的認(rèn)識。教師繼續(xù)提問：有一個(gè)正方體的棱長是a3，那么這個(gè)正方體的體積是多少？

針對上述問題，教師給予學(xué)生充足的時(shí)間來分析。學(xué)生利用正方體體積計(jì)算公式，給出一個(gè)計(jì)算式子：（a3）3，同時(shí)也遇到一個(gè)問題：這個(gè)式子應(yīng)該如何計(jì)算？

在引起學(xué)生質(zhì)疑之后，教師應(yīng)給予學(xué)生時(shí)間思考：剛剛我們回憶了乘法的概念，大家認(rèn)為應(yīng)該如何來計(jì)算這個(gè)式子？

學(xué)生思考后，教師應(yīng)對學(xué)生的觀點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在如下認(rèn)識：有的學(xué)生認(rèn)為這個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果是a9，需要底數(shù)不變，指數(shù)和對應(yīng)的數(shù)字相乘；有的學(xué)生認(rèn)為最終的結(jié)果是3a27；認(rèn)為需要底數(shù)相加，指數(shù)相乘，也就是（a+a+a）3×3×3，有的學(xué)生得到的結(jié)論是a6，認(rèn)為在這個(gè)式子的計(jì)算中，應(yīng)該底數(shù)不變，指數(shù)3和對應(yīng)的數(shù)字相加，也就是3+3=6，因此結(jié)果是a6……

在學(xué)生說出自己的各種想法之后，教師給學(xué)生展示正確的結(jié)果：a9，并使學(xué)生對中間的推導(dǎo)過程產(chǎn)生好奇心，為學(xué)生開展深入探究奠定好基礎(chǔ)。

三、借助試誤手段，傳授基礎(chǔ)知識

在學(xué)生產(chǎn)生了錯(cuò)誤之后，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生使用多種方式來探索自己錯(cuò)誤的原因，讓學(xué)生正確認(rèn)識自己的問題。教師要為學(xué)生提供試誤手段上的支持，幫助學(xué)生展開深入的探索。在“冪的乘方”教學(xué)中，學(xué)生由于認(rèn)知有限，在運(yùn)算方式上會(huì)出現(xiàn)較多錯(cuò)誤的理解，教師應(yīng)將危機(jī)轉(zhuǎn)化為教育契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生展開深入探索。基于對學(xué)情的了解，教師采取了如下手段引導(dǎo)學(xué)生去試誤。

針對學(xué)生提出的各種（a3）3結(jié)論，教師提出問題：大家給出了各種可能的運(yùn)算結(jié)果，那么如何來驗(yàn)證自己的想法呢？教師通過提問引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，針對此問題，可以用具體的數(shù)字來代替式子中的字母a，看看自己的猜想和真實(shí)的結(jié)果是否一致。

在學(xué)生產(chǎn)生了正確的驗(yàn)證思路之后，教師應(yīng)給予學(xué)生足夠的時(shí)間來進(jìn)行思考、驗(yàn)證，讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)自己的猜想為何會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。有的學(xué)生認(rèn)為這個(gè)式子的最終結(jié)果是a9，從這一猜想出發(fā)，學(xué)生使用計(jì)算器將數(shù)字2代入，發(fā)現(xiàn)自己的猜想是正確的。有的學(xué)生認(rèn)為正確的結(jié)果是a6，同樣通過代入數(shù)字的方式，證明了這一猜想是錯(cuò)誤的，卻不能理解為什么這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的。

通過代入數(shù)字的方式，學(xué)生認(rèn)識到正確的結(jié)果是a9，同時(shí)引出新的問題：在計(jì)算（a3）3這個(gè)式子時(shí)，是不是要保持底數(shù)不變，指數(shù)相乘？為了讓學(xué)生正確理解其中的原理，教師將學(xué)生分成幾個(gè)小組，讓學(xué)生試著對這個(gè)式子進(jìn)行變形，嘗試用變形的方式鍛煉學(xué)生的計(jì)算思維。

通過觀察（a3）3這個(gè)式子，學(xué)生可以結(jié)合過去的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將這個(gè)式子轉(zhuǎn)化為a3×a3×a3，而在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了同底數(shù)冪的乘法，因此可以對這個(gè)式子進(jìn)行進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化。首先，計(jì)算出a3×a3，可得結(jié)果是a （3+3），因此這個(gè)式子就可以轉(zhuǎn)化為a6×a3，繼續(xù)運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法知識，則可以得到最終的結(jié)果是a9，從而讓學(xué)生在一步步的推理中得到這個(gè)式子的正確結(jié)果。

四、開展試誤探究，全面構(gòu)建內(nèi)容

在“冪的乘方”教學(xué)中，經(jīng)過上述探究，學(xué)生可以認(rèn)識到如何使用問題拆解的方式來解決問題，但是還沒有建立起關(guān)于“冪的乘方”的完整認(rèn)識。對此，教師可以采取試誤探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生全面構(gòu)建內(nèi)容，加深學(xué)生的印象。

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探索經(jīng)歷，讓學(xué)生說說應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算“冪的乘方”。經(jīng)過前面的分析，學(xué)生認(rèn)為（a3）3=a9，因此可以得到（an）m=amn，也就是在“冪的乘方”運(yùn)算過程中，底數(shù)保持不變，指數(shù)相乘。

對于學(xué)生總結(jié)的結(jié)論，教師繼續(xù)提出問題：大家推導(dǎo)出的這一法則是否適用于所有的情況？教師給學(xué)生一定的時(shí)間，讓學(xué)生對問題進(jìn)行深入的思考。部分學(xué)生認(rèn)為這一法則適合所有的情況，有的學(xué)生則表示了質(zhì)疑。如此，引起了學(xué)生新一輪的探索，促使學(xué)生展開試錯(cuò)、糾錯(cuò)。

教師展示式子：（-xy3z2）3。在了解了式子之后，學(xué)生嘗試結(jié)合自己所學(xué)的知識，采取適合的方式來解決問題。有的學(xué)生采取了驗(yàn)證“冪的乘方”過程中所使用的方法，將這個(gè)式子寫成了（-xy3z2）×（-xy3z2）×（-xy3z2），接著再使用分布的方式解決問題，逐步得到最終的結(jié)論。有的學(xué)生嘗試直接按照推導(dǎo)出的規(guī)則來解決問題，也就是按照（an）m=amn的思路，將這個(gè)式子寫成（-1）3×（x）3×（y3）3×（z2）3，快速解決了問題。

教師選擇部分學(xué)生上講臺介紹自己的解題過程及結(jié)果，要求講臺下的學(xué)生認(rèn)真傾聽，如發(fā)現(xiàn)講臺上的學(xué)生在運(yùn)算中存在錯(cuò)誤，要提出改進(jìn)的方式。

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)探究的過程，讓學(xué)生認(rèn)識到（an）m=amn這一結(jié)論適用于所有“冪的乘方”，促使學(xué)生建立全面的認(rèn)識，學(xué)會(huì)按照從特殊到一般的思路來探索數(shù)學(xué)問題。

五、設(shè)計(jì)試誤作業(yè)，優(yōu)化學(xué)生的課后體驗(yàn)

作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸，能夠幫助學(xué)生檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果。教師通過對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的了解，給學(xué)生布置試誤作業(yè)，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在認(rèn)知上的不足，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。所以，在“冪的乘方”教學(xué)中，學(xué)生在解題時(shí)容易出現(xiàn)以下問題：一是難以從整體角度使用“冪的乘方”運(yùn)算規(guī)則；二是學(xué)生在運(yùn)算過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)態(tài)度不端正、思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葐栴}。針對學(xué)生的這些問題，教師提供了以下課后訓(xùn)練。

1.計(jì)算式子：（p-q）3×［（q-p）3］2

借助課后作業(yè)，能讓學(xué)生在解題的過程中形成良好的整體意識，學(xué)會(huì)從整體上分析“冪的乘方”的運(yùn)算過程。學(xué)生通過仔細(xì)觀察式子可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)底數(shù)是互為相反數(shù)的，因此通過改變兩個(gè)底數(shù)中的一個(gè)底數(shù)的符號，就可以將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的運(yùn)算，進(jìn)而使用更簡便的方式來解題。

2.假設(shè)2n+3m-7=0，那么是否能求出5n×6m的值？

初中生對知識的遷移能力較弱，無法較好地將零散的信息整合在一起。在這個(gè)問題中，則需要學(xué)生將兩個(gè)看似不關(guān)聯(lián)的信息整合在一起，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在認(rèn)知框架搭建上的不足，探索使用“冪的乘方”知識靈活解題的有效方法。

在學(xué)生完成作業(yè)之后，教師可以組織學(xué)生開展成果交流展示活動(dòng)，重點(diǎn)將學(xué)生產(chǎn)生的錯(cuò)誤整合在一起，引導(dǎo)學(xué)生討論產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因、糾正錯(cuò)誤的方法，促使學(xué)生在糾錯(cuò)中掌握解題的方法，提升學(xué)生解題的水平。在這個(gè)過程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，鼓勵(lì)學(xué)生說出真實(shí)想法，利用開放的討論氛圍暴露出學(xué)生在認(rèn)知上的問題。

六、培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，增強(qiáng)學(xué)生的試誤意識

教師應(yīng)加強(qiáng)對學(xué)生反思意識的培養(yǎng)，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生感受到不斷解決自己錯(cuò)誤的樂趣，增強(qiáng)試誤意識。

在“冪的乘方”歸納總結(jié)環(huán)節(jié)，教師可以組織學(xué)生展開交流討論，并思考如下問題。

1.在這次教學(xué)中，你學(xué)到了哪些知識？

2.在剛開始探索“冪的乘方”知識時(shí)，你認(rèn)為應(yīng)該如何解決？你的想法是正確的嗎？為什么會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤？正確解題的方法是什么？

3.在掌握了“冪的乘方”基本知識之后，在運(yùn)用知識解題時(shí)，你是否出現(xiàn)了錯(cuò)誤？為什么還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤？現(xiàn)在你又有哪些新的認(rèn)識？

認(rèn)知是一個(gè)不斷完善的過程，學(xué)生應(yīng)對自己在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的問題進(jìn)行深入的分析，進(jìn)而形成良好的糾錯(cuò)意識。同時(shí)，教師也應(yīng)注重從學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)表現(xiàn)等角度來評價(jià)學(xué)生，要培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，增強(qiáng)學(xué)生的糾錯(cuò)意識。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中采取“試誤論”的教育思想，有助于增強(qiáng)學(xué)生在教學(xué)中的自主性，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生核心素養(yǎng)的有效培養(yǎng)。因此教師應(yīng)加強(qiáng)對學(xué)情的分析，了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)而基于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要選擇適合的教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生暴露出自己的錯(cuò)誤并探索解題的方法，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

（作者單位：福建省泉州市安溪恒興中學(xué)）

編輯：趙文靜