PBL教學(xué)模式深化高中數(shù)學(xué)課堂

馬顥

自從新課標(biāo)推行以來，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)方面更加關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。教師將重心放在學(xué)生身上，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)揮主觀能動(dòng)性，通過自我探索來獲取知識(shí)。單元教學(xué)以知識(shí)為核心，將相關(guān)知識(shí)和能力有機(jī)結(jié)合，形成綜合教學(xué)單元，有助于提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體認(rèn)識(shí)。PBL教學(xué)模式允許學(xué)生在解決問題的過程中，通過自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)等途徑，獲得必要的知識(shí)、技能和經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)高效的思維和合作探究。基于此，本文探討了基于PBL的數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)方法。

為深入了解PBL教學(xué)方式對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建的影響，本文以“等比數(shù)列”單元為例，從理論和實(shí)踐兩個(gè)方面進(jìn)行探討，以期促進(jìn)學(xué)生基本素質(zhì)和全面應(yīng)用技能的提升。

一、教材分析

“等比數(shù)列”是人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修（第二冊(cè)）中第四章“數(shù)列”的第3節(jié)，主要闡述了“等比數(shù)列”的基本思想、通項(xiàng)公式計(jì)算方法及其應(yīng)用。這一節(jié)在整體教學(xué)進(jìn)程中起著承上啟下的作用。一方面，教師之前已經(jīng)帶領(lǐng)學(xué)生探討了“等差數(shù)列”的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生已了解“等比數(shù)列”與“等差數(shù)列”的相似之處。通過對(duì)比，學(xué)生能更好地掌握“等差數(shù)列”的研究方法，并將其應(yīng)用于學(xué)習(xí)中，進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)技巧。另一方面，本節(jié)內(nèi)容為后續(xù)學(xué)習(xí)“等比數(shù)列”的性質(zhì)、計(jì)算前n項(xiàng)及普通數(shù)列通用項(xiàng)的方法奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探索能力。本單元的教學(xué)目標(biāo)在于使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“等比數(shù)列”在生活中的廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際問題中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力，并熟練掌握其中的數(shù)量關(guān)系。

二、學(xué)情分析

高二學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)知識(shí)，并掌握了運(yùn)用函數(shù)圖象進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的方法，以及運(yùn)用化繁為簡的策略來解決問題。這些技能對(duì)學(xué)生研究數(shù)列問題具有極大的幫助。同時(shí)，高二學(xué)生還學(xué)習(xí)了“等差數(shù)列”，并對(duì)其基本流程有了初步了解，為以后的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。高二學(xué)生在數(shù)學(xué)思維方面已經(jīng)表現(xiàn)出較強(qiáng)的邏輯性，并具備了較強(qiáng)分析和解決問題的能力。通過研究“等差數(shù)列”，學(xué)生認(rèn)識(shí)到從“特殊”到“普遍”的數(shù)學(xué)思維方式的重要性。此外，高二學(xué)生之間已經(jīng)建立了良好的合作關(guān)系，運(yùn)用PBL教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)更符合實(shí)際情況。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意掌握學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，以有效激發(fā)他們的好奇心和探究欲望。

三、教學(xué)目標(biāo)

（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)

教師在教學(xué)中應(yīng)明確教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生的學(xué)習(xí)成果將作為衡量課堂教學(xué)效果的標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)也是評(píng)價(jià)和反思本節(jié)課的基礎(chǔ)和依據(jù)。

（二）單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

教師的教學(xué)目標(biāo)是幫助學(xué)生深入理解“等比數(shù)列”的概念，認(rèn)識(shí)到其獨(dú)特性質(zhì)。這種理解對(duì)揭示自然法則具有重要意義?；赑BL教學(xué)模式（如圖1所示），教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)期間應(yīng)結(jié)合單元教學(xué)設(shè)計(jì)，系統(tǒng)地整理該課程的核心內(nèi)容。同時(shí)，學(xué)生應(yīng)意識(shí)到“等比數(shù)列”在日常生活中的廣泛應(yīng)用。此外，通過分析解決實(shí)際問題，學(xué)生可以更深入地理解“等比數(shù)列”反映的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)他們解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

講授內(nèi)容：“等比數(shù)列”的概念、“等比數(shù)列”的通用項(xiàng)計(jì)算方法、第n項(xiàng)的計(jì)算方法及其應(yīng)用。

重難點(diǎn)：第n項(xiàng)“等比數(shù)列”的計(jì)算方法。

五、PBL教學(xué)模式深化高中數(shù)學(xué)課堂——以“等比數(shù)列”單元為例

（一）情境導(dǎo)入

教師：觀察下列幾個(gè)數(shù)列，有什么共同特點(diǎn)？

【展示題目】

（1）2，4，8，16… （2）1，-2，4，-8，16…

（3）1，1，1，1… （4）1， ， ， ， …

學(xué)生1：都是有規(guī)律排列的數(shù)字。

學(xué)生2：等比例排列的。

教師：你能根據(jù)這個(gè)共性，舉出一些現(xiàn)實(shí)生活中的例子嗎？

學(xué)生1：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

學(xué)生2：銀行支付利息的一種方式——復(fù)利。

學(xué)生3：太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。

教師總結(jié)：在現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)和科學(xué)研究中，我們會(huì)面臨各種大小不一的項(xiàng)目，這些項(xiàng)目都可以看作是我們的一部分，這種規(guī)律可以用數(shù)字表達(dá)式來表達(dá)，即“等比數(shù)列”。由此可見，“等比數(shù)列”作為一種特殊的數(shù)學(xué)模型，能夠體現(xiàn)自然法則的功能。通過學(xué)習(xí)“等比數(shù)列”，學(xué)生可以掌握如何將數(shù)學(xué)中的常見問題轉(zhuǎn)換為功能問題，并運(yùn)用相關(guān)的功能知識(shí)來解決問題。

教師把“等差數(shù)列”“等比數(shù)列”書寫在黑板上，然后讓學(xué)生進(jìn)行比較，促使其互相對(duì)比，并提出問題。

教師：“等差數(shù)列”里的“等差”意味著什么？

學(xué)生：在數(shù)列中，任意一項(xiàng)與前面的一項(xiàng)相減，它們的差值是相同的。

教師：那大家來猜猜“等比”的含義是什么呢？

學(xué)生：數(shù)列中任意一項(xiàng)與其前面一項(xiàng)相比，其比率都是相同的，也就是說比值都相等。

教師：那么你能不能將數(shù)列表現(xiàn)出來？

這時(shí)學(xué)生寫下：1，2，3，4，5…

教師：究竟什么才是“等比數(shù)列”？此數(shù)列符合“等差數(shù)列”的條件嗎？

在問題的驅(qū)使下，學(xué)生積極地翻開教科書去查找自己想要的答案。

（設(shè)計(jì)意圖：在PBL教學(xué)方法中，至關(guān)重要的環(huán)節(jié)是從問題情境中提煉出驅(qū)動(dòng)問題，從而激發(fā)學(xué)生的探索欲望。情境與課程內(nèi)容的整合需要教師精心策劃和設(shè)計(jì)一系列問題，這些問題應(yīng)具有邏輯性和層次性，以便學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步取得進(jìn)展。問題引導(dǎo)能使學(xué)生從被動(dòng)接受數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)樽灾魈骄?、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程。教師應(yīng)從單純的知識(shí)傳播者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)資源的提供者和引導(dǎo)者，負(fù)責(zé)引導(dǎo)學(xué)生解決問題和解答疑惑。只有如此，才能確保學(xué)生在學(xué)習(xí)中占據(jù)主體地位，充分發(fā)揮其主觀能動(dòng)性，提高課堂教學(xué)效果，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。）

（二）教學(xué)過程

教師：現(xiàn)在同學(xué)們可以閱讀教材中的內(nèi)容，之后根據(jù)“等比數(shù)列”與“等差數(shù)列”名稱之間的關(guān)系，給出“等比數(shù)列”的定義。

學(xué)生：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作“等比數(shù)列”，這個(gè)常數(shù)叫作“等比數(shù)列”的公比。

教師：實(shí)際上，我們可以用遞推公式來表達(dá)對(duì)應(yīng)的等比數(shù)組的定義： =q（q≠0，n∈N*），但是能否確定一個(gè)數(shù)列呢？

學(xué)生：不能。

教師：怎樣論證數(shù)列是“等比數(shù)列”還是“等差數(shù)列”呢？可以從何處著手來論證？

學(xué)生：用部分項(xiàng)進(jìn)行證明或用第n項(xiàng)，即an（n∈N*）證明。

教師：“等差數(shù)列”的某些特性教師是否可以應(yīng)用到“等比數(shù)列”中去呢？如果可以，那要怎么證明？

教師設(shè)置問題：在等差數(shù)列{an}中，若已知m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），則am+an=as+at遷移到等比數(shù)列{an}中，即證明若已知m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），則會(huì)有什么樣的性質(zhì)？

小組進(jìn)行研究和探索，通過運(yùn)算和證實(shí)，歸納出規(guī)則，構(gòu)建合理的論證流程。按照所制定的問題解決辦法和總的方向來確定問題，并且在小組內(nèi)部進(jìn)行協(xié)作，逐步解析題目。

設(shè)：等比數(shù)列{an}的公比為q，則am=a1qm-1，an=a1qn-1，as=a1qs-1，at=a1qt-1

∴am+an=（a1qm-1）+（a1qn-1）=a12qm+n-2

as+at=（a1qs-1）+（a1qt-1）=a12qs+t-2

∵m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），

∴am+an=as+at

學(xué)生：因此，通過證明可以知道，這個(gè)性質(zhì)并不需要“等比數(shù)列”各項(xiàng)均為正。

（設(shè)計(jì)意圖：教師在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，引導(dǎo)他們將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的模型思維。教師研究“等差數(shù)列”的特性，再引導(dǎo)學(xué)生探討“等比數(shù)列”的性質(zhì)，從而鍛煉了學(xué)生的轉(zhuǎn)換思維。同時(shí)，在解題過程中，學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作和人際關(guān)系協(xié)調(diào)能力也得到了提升。在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)不斷改進(jìn)其他證明方法，使所學(xué)理論知識(shí)更加精確，并推動(dòng)學(xué)生思維方式的轉(zhuǎn)變。）

教師：根據(jù)上述情況，同學(xué)們想一下，確定一個(gè)“等比數(shù)列”需要幾個(gè)條件呢？

學(xué)生：首項(xiàng)及公比。

教師：在已知首項(xiàng)和公比以后，怎樣計(jì)算其他數(shù)列的數(shù)值？

學(xué)生：老師，要學(xué)習(xí)通項(xiàng)公式的表達(dá)式。

教師：在學(xué)習(xí)該數(shù)列時(shí)，了解數(shù)列的一般項(xiàng)是非常重要的。但是，我們?nèi)绾吻蟪觥暗缺葦?shù)列”通用項(xiàng)的公式？

學(xué)生：老師，我們可以用類比的方法，求出“等差數(shù)列”的一般項(xiàng)，從而得到“等比數(shù)列”通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程和計(jì)算公式。

教師可以讓學(xué)生以小組合作的方式去探索，找出“等差數(shù)列”的一般項(xiàng)表達(dá)式，促使學(xué)生復(fù)習(xí)“等差數(shù)列”的通項(xiàng)計(jì)算。

（設(shè)計(jì)意圖：在與其他同學(xué)交流和討論時(shí)，學(xué)生能獨(dú)立地將“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”進(jìn)行類比，這有助于他們更深入地理解類比方法。小組內(nèi)部的集體思考和討論，確定研究目標(biāo)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在解決問題的過程中，學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神得到了培養(yǎng)和提升。）

六、教學(xué)反思

（一）教學(xué)中應(yīng)注意的問題

PBL教學(xué)模式下的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)是一種基于問題的教育方式，在這次的教學(xué)設(shè)計(jì)之后，教師發(fā)現(xiàn)使用這種教學(xué)方式時(shí)教學(xué)效能和學(xué)生的反饋較好，但是仍有必要對(duì)下列事項(xiàng)加以關(guān)注：

（1）必須更多地關(guān)注問題的設(shè)計(jì)，這些問題應(yīng)與學(xué)生的學(xué)習(xí)生涯有關(guān)，且應(yīng)是具有挑戰(zhàn)性的。

（2）要注重情景教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立、協(xié)作。

（3）教師應(yīng)重視自身作為指導(dǎo)者和引導(dǎo)者的

作用。

（二）教學(xué)成果

根據(jù)教師觀察到的學(xué)生實(shí)踐情況，大部分學(xué)生已經(jīng)能夠準(zhǔn)確掌握“等比數(shù)列”的定義、性質(zhì)以及通項(xiàng)計(jì)算方法，并且能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決一些簡單的數(shù)列問題。在教學(xué)過程中，教師要注重啟發(fā)學(xué)生思考，鼓勵(lì)他們自主探究，深入理解類比的思維方式，并積極運(yùn)用這種思維方式進(jìn)行探究。PBL教學(xué)模式有效地提高了教學(xué)效果和研究水平，為學(xué)生的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（三）評(píng)析和改進(jìn)

在此教學(xué)過程中，大多數(shù)學(xué)生均能積極參與，積極發(fā)表觀點(diǎn)。然而，仍有一些學(xué)生由于基礎(chǔ)較為薄弱、性格較為內(nèi)向，難以適應(yīng)課堂節(jié)奏，在獨(dú)立探索時(shí)顯得較為被動(dòng)。在課后回答問題時(shí)，他們也不愿意透露自己的困惑。長此以往，這些學(xué)生的積極性將逐漸減弱，學(xué)習(xí)成績也難以提升。因此，在后續(xù)的課程中，教師應(yīng)采用分層式教學(xué)方法，確保學(xué)生有充足的發(fā)言機(jī)會(huì)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，使各層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上都能得到應(yīng)有的發(fā)展，從而體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教育的真正價(jià)值。

（作者單位：甘肅省慶陽市寧縣第一中學(xué)）

編輯：趙文靜