多思維視角切入，多變式層面拓展

裴巧玲

摘 要：涉及圓錐曲線中的離心率的取值范圍（或最值）問題，往往是高考命題中比較常見的一種基本方式.借助一道模擬題的探究，就橢圓離心率的最值分析與求解，從不同思維視角切入加以分析與解決，合理變式與拓展，總結(jié)思路與技巧策略，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；離心率；橢圓；最小值；變式

離心率是圓錐曲線（這里主要指橢圓與雙曲線）中的主干知識(shí)和重點(diǎn)知識(shí)，關(guān)于求離心率值的范圍（或最值）問題具有很好的探究價(jià)值.這類問題往往注重高中各必備版塊知識(shí)的交點(diǎn)，注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的綜合，使之成為各類考試的高頻考點(diǎn)之一.由于此類問題綜合性強(qiáng)，數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求高，學(xué)生在解題中普遍存在進(jìn)入難、深入難、析出難這“三難”，成為各類數(shù)學(xué)試卷命題中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn).

1?問題呈現(xiàn)

4?教學(xué)啟示

4.1?思路總結(jié)，策略歸納

圓錐曲線（這里主要指橢圓與雙曲線）的離心率的取值范圍（或最值）問題是各類考試的熱點(diǎn)題型之一，對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵.以下三種思路是比較常見的求解策略：

（1） 利用圓錐曲線的定義、余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)a，b，c的不等關(guān)系；

（2） 利用圓錐曲線的基本性質(zhì)，如：通徑，三角形中的邊角關(guān)系，曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的取值范圍等，建立相應(yīng)的不等關(guān)系；

（3） 利用幾何圖形中幾何量的大小，如：線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系.

另外，對于雙曲線而言，有時(shí)還可以利用其漸近線的斜率比較來合理建立相應(yīng)的不等關(guān)系等.

4.2?方向指導(dǎo)，思想引領(lǐng)

圓錐曲線（這里主要指橢圓與雙曲線）的離心率的取值范圍（或最值）問題可以概括為顯示約束條件和隱藏約束條件兩種題型，以“形”為主的解題的方向和以“數(shù)”為主的解題兩種解題方向，解不等式法和函數(shù)值域法兩種求解取值范圍（或最值）的方法.

離心率問題往往與平面向量、解三角形等知識(shí)結(jié)合，考查學(xué)生對圓錐曲線的基本知識(shí)（如定義、焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)等）、基本方法的理解和掌握，考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等.

另外，雙曲線的離心率是雙曲線一個(gè)非常重要的幾何性質(zhì).其求解方法涉及到解析幾何、代數(shù)運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，往往綜合性強(qiáng)，方法靈活，沒有固定的模式可套，如何根據(jù)題設(shè)條件找到切入點(diǎn)，構(gòu)建含有離心率的關(guān)系式是解決這類問題的關(guān)鍵所在.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 鄒慧妤.圓錐曲線的幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用研究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（34）：98-100.

［2］ 宋雅靜.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線試題的解題方法研究［D］.寧夏師范學(xué)院，2023.