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    樣本估計(jì)總體在生活中的應(yīng)用例析

    2023-03-23 00:00:21山東省陽信縣幸福中學(xué)菅會(huì)娟
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期
    關(guān)鍵詞:示數(shù)戶主平均數(shù)

    山東省陽信縣幸福中學(xué) 菅會(huì)娟

    有時(shí)由于研究對(duì)象個(gè)體太多,限于人力與物力而無法做全面的調(diào)查,抑或調(diào)查時(shí)具有破壞性,我們只能抽樣調(diào)查.抽樣的方法包括簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣,以及整群抽樣和系統(tǒng)抽樣等.從總體中抽取一部分個(gè)體,得到樣本,如何用樣本估計(jì)總體呢?有兩種途徑:一是從圖形的角度用樣本估計(jì)總體,它需要用頻率分布表列出各小組的頻數(shù)與頻率,抑或用頻率分布直方圖畫出頻數(shù);二是從代數(shù)的角度用樣本估計(jì)總體,即算出樣本的平均數(shù)、方差和極差等,用樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù).本文中運(yùn)用實(shí)例說明如何在實(shí)際生活中用樣本估計(jì)總體,以及具體的方法步驟和注意事項(xiàng).

    1 用捕撈的魚估計(jì)魚塘里的魚

    魚塘里養(yǎng)了一定數(shù)量的魚,如何知道這些魚的總質(zhì)量呢?我們不可能將魚全部打撈上來稱其質(zhì)量,只能用樣本估計(jì)總體,即捕撈部分魚稱其質(zhì)量,求出魚的平均質(zhì)量,把樣本中魚的平均質(zhì)量作為總體中魚的平均質(zhì)量,再乘魚的條數(shù),進(jìn)而估計(jì)魚的總質(zhì)量.

    例1久盛養(yǎng)殖專業(yè)戶養(yǎng)了2 000條大肥魚,現(xiàn)到了捕撈銷售的時(shí)機(jī),戶主想知道這些魚的總重量,現(xiàn)進(jìn)行了三次取樣,且記錄列表如下:

    魚的條數(shù)每條魚的平均質(zhì)量/kg第一次捕撈151.6第二次捕撈152.0第三次捕撈101.8

    (1)利用以上數(shù)據(jù)估計(jì)每條魚的質(zhì)量.再估計(jì)所有魚的總重量,如果戶主探知今天的魚7.5元/kg,那么戶主可收入多少錢?

    (2)戶主魚塘的魚有大型魚與小型魚之分,且大型魚與小型魚的價(jià)格不相同,分別為10元/kg和6元/kg,如果此時(shí)收入仍不低于第(1)問中的收入,那么魚塘中大型魚的總質(zhì)量最少不能低于多少?

    解析:(1)根據(jù)平均數(shù)的公式求解,每條魚的平均質(zhì)量×總條數(shù)=總質(zhì)量,總收入=總質(zhì)量×7.5.

    每條魚的平均質(zhì)量=(15×1.6+15×2.0+10×1.8)÷40=1.8(kg);總質(zhì)量=1.8×2 000=3 600(kg);總收入=3 600×7.5=27 000(元).

    (2)列不等式求解.設(shè)戶主大型魚的最小質(zhì)量為xkg,根據(jù)“此時(shí)收入仍不低于(1)中的收入”,得10x+6(3 600-x)≥27 000,解得x≥1 350.

    答:魚塘中大型魚的總質(zhì)量最少不能低于1 350 kg.

    評(píng)注:本題中樣本的平均數(shù)為加權(quán)平均數(shù),因?yàn)楸砀裰腥齻€(gè)平均數(shù)的對(duì)應(yīng)魚的條數(shù)不同,即權(quán)重不同,所以不能用三個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為三次捕撈的平均數(shù).在不等式的應(yīng)用里,一般設(shè)一個(gè)未知數(shù)建立不等式求解,盡量不設(shè)兩個(gè)未知數(shù),因?yàn)槎坏仁降慕夥ū容^復(fù)雜,且超出學(xué)生目前所學(xué)范圍.

    2 用抽到的青年估計(jì)未被抽到的青年

    微信是目前使用較廣的一種信息交換工具,為了解人們使用微信的時(shí)長及年齡段情況,且由于這樣的調(diào)查不具有重大意義,所以使用抽樣調(diào)查即可,即用樣本的特征數(shù)來估計(jì)總體的特征數(shù).在調(diào)查中發(fā)現(xiàn),使用微信的人群以青年人和中年人居多,且他們每天使用微信的時(shí)長大多數(shù)在一小時(shí)以上,說明微信已成現(xiàn)代人類生活的必備工具.

    (1)根據(jù)以上信息,完成下表:

    青年人中年人合計(jì)經(jīng)常使用微信 不經(jīng)常使用微信 合計(jì) 180

    (2)擁有4 000萬人口的某個(gè)省份,估計(jì)一下每天使用微信超過1小時(shí)的青年人(即年齡不過40歲)有多少?

    解析:(1)根據(jù)題意逐條分析求解.

    青年人中不經(jīng)常使用微信的人數(shù)為135-80=55,因?yàn)榻?jīng)常使用微信的人數(shù)為90+30=120,所以不經(jīng)常使用微信的人數(shù)為180-120=60.故中年人中不經(jīng)常使用微信的人數(shù)為60-55=5,補(bǔ)全表格如下:

    青年人中年人合計(jì)經(jīng)常使用微信8040120不經(jīng)常使用微信55560合計(jì)13545180

    評(píng)注:本題涉及的量比較多,共有6個(gè)相關(guān)的量,解答時(shí)要先從易求的量入手,隨著求出量的增多,解答會(huì)越來越容易.本題運(yùn)用成比例增長的方法,用樣本估計(jì)總體,即將樣本中的百分率作為總體中的百分率進(jìn)行估計(jì).

    3 用一周的用電量估計(jì)一月的用電量

    現(xiàn)代家庭隨著家用電器的增多,用電問題成為大家越來越關(guān)注的話題.如何在月初預(yù)測出這個(gè)月將會(huì)使用的電量呢?需要使用樣本估計(jì)總體,可以通過連續(xù)幾天的觀察,得到幾天的用電量,求出樣本的平均用電量,用這個(gè)平均用電量乘本月的天數(shù)可估計(jì)出全月的用電量.

    例3張經(jīng)來家喜遷新居,又增加了一些新的電器,在這種狀況下,一個(gè)月用多少度電呢?他在六月份的第一個(gè)周觀察了電表示數(shù),記錄如下:

    日期電表顯示度數(shù)/(kw·h)1日1152日1183日1224日1275日1336日1367日1408日143

    (1)張經(jīng)來家六月份將用多少度電?

    (2)張經(jīng)來使用一周的用電量來估算整個(gè)一年的用電情況合適嗎?

    (3)如何估算張經(jīng)來家整個(gè)一年的用電量更合適?

    解析:(1)先求一周的總電量,除天數(shù)得每天的平均用電量,再乘以30天,得一個(gè)月的用電量.7天的總用電量=143-115=28(kw·h),每天的平均用電量=28÷7=4(kw·h),六月有30天,故這個(gè)家庭六月份的總用電量為4×30=120(kw·h).

    (2)根據(jù)電器的季節(jié)使用情況判定.因?yàn)榱路輰儆谙募?,用電量較大,所以用這個(gè)月的用電量估計(jì)全年的用電量不妥當(dāng).

    (3)每種電器的使用情況不一樣,要分別估計(jì)用電量,再估計(jì)一年的用電情況.

    評(píng)注:電度表每天都有一個(gè)示數(shù),每天的用電量應(yīng)該用第二天的示數(shù)減去第一天的示數(shù),一周的用電量應(yīng)該用周一的示數(shù)減去上周一的示數(shù).本題不僅考查了用樣本估計(jì)總體,而且還考查了抽樣調(diào)查的合理性,抽取的樣本具有代表性和廣泛性,才是合理的.

    4 用樹苗成活率估計(jì)成活的樹苗

    由于受土壤、氣溫、人工操作等諸多因素的影響,移栽樹苗時(shí)一般不可能100%成活,都有一定的成活率,這是我們都必須承認(rèn)的事實(shí),所以園林公司要想得到成活后的一萬棵樹苗,那么開始移栽的樹苗數(shù)量必須大于一萬棵,到底多移栽多少棵呢?我們可以通過實(shí)驗(yàn)的方法找到成活率,用一萬棵除以成活率就可以得到開始移栽的數(shù)量.

    例4南方某市市政公司培育出新品種風(fēng)景樹苗,為考察這種風(fēng)景樹苗的移植成活率,調(diào)查人員進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表所示.

    累積移植總數(shù)/棵1005001 0002 0005 00010 000成活率0.9100.9680.9420.9560.9470.950

    這個(gè)城市實(shí)施打造人類宜居環(huán)境,需移植一批這種樹苗,若這批樹苗移植后要有28.5萬棵成活,那么需要一次性移植多少棵樹苗,較為合適?為什么?

    解析:由題中表格可知,隨著樹苗移植數(shù)量的增加,樹苗移植成活率越來越穩(wěn)定.當(dāng)移植總數(shù)為10 000時(shí),成活率為0.950,于是可以估計(jì)樹苗移植成活率為0.950,則該市需要購買的樹苗數(shù)量約為28.5÷0.950=30(萬棵).

    評(píng)注:此題是用多次重復(fù)試驗(yàn)得到成活率,則可將頻率的穩(wěn)定值作為一棵樹苗成活的概率,然后用成活的樹苗數(shù)除以頻率,得到總數(shù),即移植樹苗的數(shù)量.整個(gè)解答過程可分為兩步,一是先用頻率估計(jì)概率,二是再用樣本概率估計(jì)總體概率.

    用樣本估計(jì)總體的應(yīng)用還包括在摸球試驗(yàn)中,用摸出一種顏色球的頻率,估計(jì)口袋里小球的總數(shù)量等,但是無論我們?nèi)绾纬槿颖?,樣本總是總體的一部分,樣本的平均數(shù)只能反映樣本的集中趨勢,然而總體的集中趨勢只能由總體平均數(shù)反映最準(zhǔn)確,兩個(gè)量不可能完全相同,有一定的差異,只能盡可能接近,我們得到的是一個(gè)估計(jì)值.

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