因式分解法在解題中的運(yùn)用技巧

江蘇省如東縣賓山初級(jí)中學(xué) 徐維東

“因式分解”是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)過“提公因式法、公式法”等因式分解方法.將一個(gè)多項(xiàng)式變?yōu)閹讉€(gè)整式的乘積，各個(gè)因式的次數(shù)不會(huì)超過原有多項(xiàng)式的次數(shù)，這樣可以達(dá)到“降次”的目的；經(jīng)過分解因式，一些多項(xiàng)式的特點(diǎn)顯露得更加明顯，彼此間的關(guān)系就容易找到，多項(xiàng)式所隱含的性質(zhì)也就明確化了；因式分解有利于降次、消元，以及把握多項(xiàng)式的特性，能夠達(dá)到“化繁為簡、化難為易”的目的.由于因式分解具有這些特點(diǎn)與優(yōu)點(diǎn)，因此，“因式分解”作為一種數(shù)學(xué)方法，與其他一些常規(guī)的解題方法相比，顯得更加簡捷、靈活，獨(dú)樹一幟，在解題中具有極大的優(yōu)越性[1].下面通過典型實(shí)例的解析，來學(xué)習(xí)和掌握因式分解法在代數(shù)、幾何解題中的一些運(yùn)用技巧.

1 在多項(xiàng)式整除中的應(yīng)用

因式分解可以把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，我們可以運(yùn)用因式分解法，巧妙快捷地解決多項(xiàng)式的整除類問題.

例1已知多項(xiàng)式6x2+7x+k能被2x+1整除，求k的值.

解：由題意知，多項(xiàng)式6x2+7x+k分解后含有因式2x+1，則可設(shè)

6x2+7x+k=(2x+1)(3x+m).

由(2x+1)(3x+m)=6x2+(2m+3)x+m，得2m+3=7，m=k.故k=m=2.

方法與技巧：本題根據(jù)“多項(xiàng)式能被2x+1整除，就肯定含有因式2x+1”這個(gè)性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法，根據(jù)恒等式的定義來求k的值，其中最關(guān)鍵的還是運(yùn)用了因式分解的思想與方法.

例2證明:當(dāng)n取任意自然數(shù)時(shí)，數(shù)2n3+3n2+n是6的倍數(shù).

證明：2n3+3n2+n=n(2n2+3n+1)=n(n+1)·(2n+1)

因?yàn)閚(n+1)是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以能被2整除，故原數(shù)能被2整除；

綜上，對于任意自然數(shù)n，2n3+3n2+n是6的倍數(shù).

方法與技巧：要證明數(shù)2n3+3n2+n是6的倍數(shù)，只需證明該數(shù)既能被2整除，又能被3整除即可，因此可采用分解因式法證明.

2 在代數(shù)式恒等變形中的應(yīng)用

對于代數(shù)式的化簡、求值、證明等問題，通常要進(jìn)行代數(shù)式的變形，在變形過程中，因式分解法發(fā)揮著重要的作用.

例3計(jì)算

方法與技巧：本題如果直接計(jì)算，顯然非常麻煩，如果運(yùn)用因式分解法就會(huì)簡捷多了.觀察原式，首先將其變形，這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)括號(hào)都有x2+4的形式，于是先對x2+4進(jìn)行因式分解，按照x2+4=(x2+2)2-4x2=(x2-2x+2)(x2+2x+2)=[(x-1)2+1][(x+1)2+1]的形式一直分解下去，最后即可得出結(jié)果.本題的技巧實(shí)際上就是運(yùn)用因式分解法逐步化簡.

解：因?yàn)閍是方程x2-3x+1=0的根，所以a2-3a+1=0，即a2+1=3a.

方法與技巧：按照常規(guī)的解題思路，首先想到的是解方程求出a的值，再代入分式中計(jì)算，但這樣的運(yùn)算十分繁瑣.如果采用因式分解法，先將所求分式的分子因式分解，并注意到a2-3a+1=0這個(gè)條件，這樣計(jì)算就簡捷得多了.

3 在解方程中的應(yīng)用

因式分解法在解方程中，尤其是在一些能夠化為一元二次方程的求解中，具有極大的便捷性.

例5解方程：

解法1：將原方程進(jìn)行因式分解，可化為

方法與技巧：看到這個(gè)方程，我們首先想到的就是可否對左式進(jìn)行因式分解.解法1最簡捷，對于因式分解法運(yùn)用熟練的學(xué)生來說能夠想到；解法2的思路有點(diǎn)新奇，愛動(dòng)腦筋的同學(xué)可能會(huì)這樣思考.

例6解方程：(x2+2x)2-14(x2+2x)-15=0.

解：設(shè)y=x2+2x，則原方程可變形為

y2-14y-15=0.

將其分解因式為(y-15)(y+1)=0 ，解之，得y1=15，y2=-1.

由y1=15，得x2+2x=15，即x2+2x-15=0

分解因式為(x+5)(x-3)=0，解得x1=-5，x2=3.

同理，由y2=-1 ，得x2+2x+1=0.分解因式為(x+1)2=0,解之，得x3=x4=-1.

故原方程的解為x1=-5，x2=3，x3=x4=-1.

方法與技巧：本題通過另設(shè)未知數(shù)進(jìn)行代換的方法，把原來的四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后通過兩次因式分解使得一元二次方程輕松獲解.

圖1

4 在幾何中的應(yīng)用

有些幾何問題，在證明及計(jì)算中經(jīng)常要用到因式分解法，還有些幾何問題本身就可以轉(zhuǎn)化為分解因式的問題.

例7在四邊形ABCD中，BN⊥AD，CQ⊥AD，BN=5，CQ=6，AQ=8，ND=10,求四邊形ABCD的面積S.

方法與技巧：本題靈活地運(yùn)用了因式分解法，從第二步開始先分組，再提取公因式，一步步將未知線段轉(zhuǎn)化為已知線段，最后利用三角形面積公式順利求解.

例8已知三角形的三邊a，b，c滿足如下關(guān)系：a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0.試求最大角的度數(shù).

因?yàn)閎>0，所以a>3.

所以最大邊為c，于是

所以，∠C=120°為所求最大角.

方法與技巧：本題看似一個(gè)求角度的幾何題，實(shí)際上是一道綜合題，求解時(shí)需要運(yùn)用包括因式分解法在內(nèi)的幾種運(yùn)算技巧.要求最大角的度數(shù)，必須首先確定哪個(gè)角最大，而題設(shè)的兩個(gè)條件提供了邊與邊之間的關(guān)系，是確定最大角的突破口.由于恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了因式分解法，因此運(yùn)算過程變得簡潔明快.

綜上所述，運(yùn)用因式分解法解題，方法靈活，實(shí)用性強(qiáng)，也有很強(qiáng)的技巧性[2].學(xué)習(xí)和熟練掌握這些方法與技巧，有助于激活學(xué)生的思維能力，拓寬解題思路，不斷提高綜合解題能力.