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    一題多變,變中求道
    ——以平行線中的拐點問題為例

    2023-03-23 00:00:21西華師范大學(xué)陳星穎
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期
    關(guān)鍵詞:輔助線拐點平行線

    西華師范大學(xué) 陳星穎

    教師可以立足于一個知識點,通過改變某些條件或者結(jié)論等一題多變的方式演變成多道題.通過對多道題的探索,引導(dǎo)學(xué)生從“變”中找“不變”,在“不變”中找到解決問題的方法,提高學(xué)生的解題能力.下面筆者結(jié)合教材中的一道練習(xí)題進行論述.

    1 原題呈現(xiàn)

    圖1

    (新人教A版七年級下冊第五章第三節(jié)的習(xí)題)如圖1,如果AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( ).

    分析:該題是一個典型的平行線中的拐點問題,其中C是拐點.圖1已經(jīng)給出了平行線中拐點問題作輔助線的方法,學(xué)生能夠很容易根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案.但在各類測試中,對該類問題的考查比教材中的題目更加復(fù)雜,因此筆者通過改變提問、改變拐點的位置、改變拐點的個數(shù)、改變題目條件、改變問題情境、結(jié)論與條件互換的變式來提高學(xué)生的解題能力.

    2 原題變式

    2.1 改變提問

    問題是數(shù)學(xué)的心臟,改變提問的方式可以充分挖掘題目的內(nèi)涵.通過一題多問,延伸題目的外延,發(fā)散學(xué)生的思維.

    變式1條件不變,∠ACE與∠BAC,∠CEF有什么數(shù)量關(guān)系?

    變式2條件不變,∠ACE與∠BAC的補角和∠CEF的補角有什么數(shù)量關(guān)系?

    變式3條件不變,能否用∠ACE表示∠BAC與∠CEF的和?

    分析:若直接提問角的度數(shù)之和為多少,學(xué)生很容易得出,可能不會思考題中未提及的角之間有什么關(guān)系?通過提問角的數(shù)量關(guān)系是什么,以及∠ACE與其他兩角的補角關(guān)系如何,讓學(xué)生牢固掌握這道題所涉及到的知識點.不管問題怎么變,先抓住平行線的性質(zhì),然后找到這三條平行線所涉及的角的關(guān)系,最后解決問題.

    2.2 改變拐點的位置

    平行線中的拐點不僅可以在兩平行線之內(nèi),也可以在兩平行線之外.雖然拐點位置靈活多變,但解題也是有規(guī)律可尋的.

    變式4在圖2~5中,已知AB∥CD,那么∠B,∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系是什么?

    圖2

    圖3

    圖4

    圖5

    分析:通過拐點位置的變化,讓學(xué)生明確平行線中拐點問題的輔助線添加規(guī)律以及解題的一般步驟.不管拐點是在平行線的內(nèi)部,還是在平行線的外部,添加輔助線的規(guī)律都是過拐點作已知直線的平行線.解題時,都是將拐點涉及的∠E,運用平行線的性質(zhì),轉(zhuǎn)換為用∠B,∠D或與∠B,∠D相關(guān)的角表示,最后找到∠B,∠D和∠E的關(guān)系.

    2.3 增加拐點的個數(shù)

    拐點不僅位置靈活,其個數(shù)也可變化.增加拐點個數(shù)可促進學(xué)生深入探究各拐點間的關(guān)系.

    變式5在圖6(或圖7),已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分線相交于點F,若∠E=80°,求∠F的度數(shù).

    變式6如圖8,已知AM∥CN,∠MBE和∠NDE的平分線相交于點F,若∠E=80°,求∠F的度數(shù).

    變式8如圖10,已知AB∥CD,則∠E1+……+∠En與∠B+∠F1+……+∠Fn-1+∠D的數(shù)量關(guān)系是什么?

    變式9如圖11,已知AB∥CD,則∠1+∠2+……+∠n等于多少度?

    圖6

    圖7

    圖8

    圖9

    圖10

    圖11

    2.4 改變題目中的條件

    2.4.1 改變題目中的非本質(zhì)條件

    改變題目中的非本質(zhì)條件,把題目條件減弱,可以提高題目的難度,讓學(xué)生在找到解題辦法后深化解題思路.

    分析:將條件從特殊變換到一般,輔助線的作法與解題思路不變.條件弱化后,學(xué)生將注意力放在解題過程中的方法,梳理這類題型的解法,進而形成解題體系.

    2.4.2 改變題目的本質(zhì)條件

    平時的練習(xí)題大多屬于結(jié)構(gòu)良好的問題,而在具體的考題中,學(xué)生可能會遇到結(jié)構(gòu)不良的問題,改變題中的本質(zhì)條件可促使學(xué)生拓寬解題思路.

    變式11如圖12,當AB與CD不平行時,連接MN,且MN同時平分∠BME和∠DNE,則∠AME,∠CNE,∠MEN的數(shù)量關(guān)系是什么?

    變式12如圖13,AB∥CD,∠BED,∠ABE,∠CDE之間有什么數(shù)量關(guān)系?若E在OM射線上運動時,∠BED,∠ABE,∠CDE又有什么數(shù)量關(guān)系?

    圖12

    圖13

    2.5 改變問題情境

    改變問題的情境,可以讓學(xué)生在復(fù)雜的情境中識別拐點模型.

    變式13如圖14,將一塊含30°的直角三角板放置在平行四邊形中,求∠1+∠2的度數(shù).

    圖14

    圖15

    變式14將一副三角板的兩直角邊和一張對邊平行的紙條按圖15擺放,求∠1的度數(shù).

    圖16

    變式15如圖16,小刀的刀柄外形是一個直角梯形(挖去一個半圓),刀片上下平行,轉(zhuǎn)動刀片時形成∠1與∠2,求∠1+∠2的度數(shù).

    分析:改變情境會增加對學(xué)生的干擾,增加線段會隱藏拐點.首先引導(dǎo)學(xué)生觀察題中的平行關(guān)系,如AB∥CD,平行的紙條或刀片.其次,找到拐點,抽離出其中的拐點模型,利用對應(yīng)的角度關(guān)系解決問題.

    2.6 結(jié)論與條件互換

    將條件與結(jié)論互換也可以讓學(xué)生深度挖掘題目蘊涵的知識點.教材中的題是根據(jù)平行求角度,考查平行線的性質(zhì).我們還可以根據(jù)角度大小運用平行線的判定定理,證明直線的平行關(guān)系.同樣地,上述有些變式也可以將條件與結(jié)論互換,引起學(xué)生的深入思考.

    平行線中的“拐點”問題是有難度的,特別是其形式多變,通過一題多變的形式可以幫助學(xué)生找到解決“拐點”問題的方法.解決拐點問題最重要的是找到輔助線的添加規(guī)律以及涉及的角度關(guān)系,輔助線的添加一般是過拐點作已知直線的平行線,平行線有可能不是水平放置,需要自己識別.沒有平行條件時,則需要觀察思考,構(gòu)造出平行線.找角度關(guān)系時,不僅要考慮題干中提到的角,還要思考這個角的余角、補角以及特殊的平角、周角等.本文中通過層層遞進的變式提升學(xué)生的解題能力,形成解題的體系.

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