如何培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)幾何直觀能力

丁明亮

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，幾何直觀是初中階段數(shù)學(xué)九個(gè)核心素養(yǎng)之一。幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語(yǔ)言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路。幾何直觀有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

一、教材分析

“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學(xué)內(nèi)容隸屬于九年級(jí)上冊(cè)第二十二章“二次函數(shù)”。“二次函數(shù)”章節(jié)內(nèi)容設(shè)置具體圍繞深化函數(shù)數(shù)學(xué)概念認(rèn)識(shí)的層面。

“二次函數(shù)”章節(jié)教學(xué)內(nèi)容由三部分構(gòu)成，分別為“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”“二次函數(shù)與一元二次方程”及“實(shí)際問題與二次函數(shù)”。“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”這一小節(jié)內(nèi)容是章節(jié)教學(xué)的最初始階段，學(xué)生需要通過(guò)這一小節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行深入的理解，由此為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中科學(xué)認(rèn)識(shí)函數(shù)與方程式之間的關(guān)系以及函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。從函數(shù)知識(shí)教學(xué)的整體來(lái)看，“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”可以作為函數(shù)基礎(chǔ)理論知識(shí)教學(xué)的總結(jié)與函數(shù)實(shí)際應(yīng)用教學(xué)的開端，在函數(shù)知識(shí)教學(xué)體系中起著承前啟后的作用。

二、學(xué)情分析

“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是九年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，在“中考”中，函數(shù)知識(shí)是重要的考點(diǎn)。無(wú)論是教師還是學(xué)生，對(duì)函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的重要價(jià)值都有充分的認(rèn)知，學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的積極性可以得到充分保證。但是，進(jìn)入二次函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)階段，難度陡增。在學(xué)習(xí)難度大幅度提升的情況下，有相當(dāng)一部分學(xué)生會(huì)在學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生畏難情緒，影響學(xué)習(xí)效果。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.能夠正確運(yùn)用描點(diǎn)法繪制二次函數(shù)圖象；能夠運(yùn)用函數(shù)圖象研究分析二次函數(shù)的性質(zhì)。

2.經(jīng)歷探索與發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)圖象特點(diǎn)與性質(zhì)的完整過(guò)程；在學(xué)習(xí)中充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用。

3.在學(xué)習(xí)中完整經(jīng)歷觀察、推理與合作交流的過(guò)程，通過(guò)知識(shí)學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)問題研究與合作交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的探索性與創(chuàng)造性；積極參與二次函數(shù)學(xué)習(xí)探索活動(dòng)，深入體驗(yàn)二次函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)生活的重要模型。

四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：精準(zhǔn)繪制二次函數(shù)圖象。

教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)二次函數(shù)的表達(dá)式推斷圖象的性質(zhì)，深刻體會(huì)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

五、教學(xué)流程

（一）復(fù)習(xí)以往所學(xué)知識(shí)，引入新知識(shí)

1.看一看以下哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些函數(shù)是一次函數(shù)？

①y=3x-1；②y=2x2+7；③y=x-2；④y=（x+3）2-x2；⑤y=3（x-1）2+1

2.以往在一次函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中，你運(yùn)用哪種方式繪制函數(shù)圖象？

（設(shè)計(jì)意圖：在“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，一共為學(xué)生提出兩個(gè)問題。問題1中，具體向?qū)W生出示了多個(gè)函數(shù)，讓學(xué)生判斷這些函數(shù)中哪些是一次函數(shù)，哪些是二次函數(shù)。有關(guān)一次函數(shù)的知識(shí)學(xué)生已經(jīng)通過(guò)八年級(jí)下學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有相對(duì)比較充分的了解，因此學(xué)生能夠從給出的函數(shù)中找到其中的一次函數(shù)，而其他不符合一次函數(shù)判定標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)則為本節(jié)課教學(xué)中提到的二次函數(shù)。這一問題設(shè)置，能夠引導(dǎo)學(xué)生直觀對(duì)比一次函數(shù)與二次函數(shù)的差異，在帶領(lǐng)學(xué)生回顧以往所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上形成對(duì)課堂新知的初步認(rèn)識(shí)。第二個(gè)問題可以具體引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)圖象的繪制方式，建議學(xué)生采用列表、描點(diǎn)、連線的方法繪制函數(shù)圖象，以此提出新的問題，即是否可以沿用這一方法進(jìn)行二次函數(shù)圖象的繪制，由此引出本節(jié)課后續(xù)的教學(xué)活動(dòng)。）

（二）課堂教學(xué)活動(dòng)

★課堂教學(xué)活動(dòng)1

1.函數(shù)圖象繪制方法介紹。

活動(dòng)中，教師利用班級(jí)中的多媒體設(shè)備，以可視化形式向?qū)W生展示二次函數(shù)圖象的形態(tài)與具體畫法。首先根據(jù)函數(shù)y=-x2的x與y的不同數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)注x與y坐標(biāo)的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，之后再使用平滑曲線將各個(gè)點(diǎn)位連接到一起，最終能夠得到y(tǒng)=-x2的圖象。所繪制圖象及數(shù)值列表如圖1所示：

畫二次函數(shù)y=-x2的圖象：

①列表：

②描點(diǎn)、連線：

2.根據(jù)函數(shù)圖象提出問題：圖象形式類似于什么？

3.引出課堂教學(xué)中的一般概念：拋物線、拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。

（設(shè)計(jì)意圖：基于這一設(shè)計(jì)思路，教學(xué)活動(dòng)1中要求學(xué)生繪制二次函數(shù)y=-x2的圖象，并圍繞這一基本任務(wù)設(shè)置三項(xiàng)活動(dòng)環(huán)節(jié)。活動(dòng)環(huán)節(jié)設(shè)置中通過(guò)信息化教學(xué)技術(shù)應(yīng)用，首先讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象的繪制方法形成更加明確的認(rèn)識(shí)，而后的教學(xué)環(huán)節(jié)中，再根據(jù)函數(shù)圖象內(nèi)容提出問題，最終引出二次函數(shù)圖象相關(guān)的拋物線等數(shù)學(xué)概念。）

★課堂教學(xué)活動(dòng)2

1.要求學(xué)生自主繪制函數(shù)y=-x2，y=-2x2的圖象，教師檢查每名學(xué)生繪制的函數(shù)圖象，從中選出部分作品。

2.教師使用多媒體設(shè)備向?qū)W生展示兩個(gè)函數(shù)圖象正確的繪制過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比了解自己函數(shù)圖象繪制中的具體問題。正確的圖象如圖2所示。

3.引導(dǎo)學(xué)生觀察自己繪制的函數(shù)y=-x2，y=-2x2的圖象與上一項(xiàng)活動(dòng)中的函數(shù)y=-x2的圖象，指出這幾個(gè)函數(shù)圖象的共同點(diǎn)與差異。

4.引導(dǎo)學(xué)生以合作探究的形式歸納總結(jié)上述三個(gè)函數(shù)圖象的共同點(diǎn)與差異。函數(shù)圖象的共同點(diǎn)具體有：所有的函數(shù)圖象都呈現(xiàn)拋物線形式；函數(shù)圖象除頂點(diǎn)之外都位于x軸的下部；所有函數(shù)圖象的開口都朝下；所有函數(shù)圖象均以y軸為對(duì)稱軸；函數(shù)圖象均以坐標(biāo)系原點(diǎn)為頂點(diǎn)，而函數(shù)差異體現(xiàn)在圖象開口的大小不同。

5.教師根據(jù)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)結(jié)果，向?qū)W生明確上述函數(shù)中的限定條件，即函數(shù)y=ax2中系數(shù)a＜0時(shí)，系數(shù)a的值越大，圖象開口就越大。

（設(shè)計(jì)意圖：在本次課堂教學(xué)中，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是課堂教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。為降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，在教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)活動(dòng)1中了解的二次函數(shù)圖象繪制方法自行繪制函數(shù)圖象。由此能夠充分鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力。此外，在選擇學(xué)生函數(shù)圖象的作品中，側(cè)重于選擇班級(jí)中知識(shí)基礎(chǔ)較差學(xué)生的作品，因?yàn)閺倪@些學(xué)生的作品中更容易發(fā)現(xiàn)問題，便于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考二次函數(shù)圖象繪制的方法。而后，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察自己繪制的函數(shù)圖象，讓學(xué)生得以在課堂學(xué)習(xí)中進(jìn)行深入的自主學(xué)習(xí)活動(dòng)，由此促進(jìn)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的深入認(rèn)識(shí)。）

★課堂教學(xué)活動(dòng)3

1.要求學(xué)生與自己的同桌使用同一個(gè)坐標(biāo)系共同完成函數(shù)y=x2，y=2x2與y=x2圖象的繪制。

2.教師巡視學(xué)生的函數(shù)圖象繪制過(guò)程，提供必要指導(dǎo)，并從中選擇優(yōu)秀的作品，供后續(xù)研究函數(shù)圖象性質(zhì)使用。

3.教師通過(guò)多媒體設(shè)備展示上述函數(shù)圖象的正確畫法，并引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，與其他學(xué)生合作交流總結(jié)歸納上述函數(shù)圖象的共同點(diǎn)與差異。y=x2，y=2x2與y=x2圖象的正確繪制方法如圖3所示。

根據(jù)函數(shù)圖象內(nèi)容，總結(jié)歸納各個(gè)函數(shù)圖象的共同點(diǎn)，具體包括：所有的函數(shù)圖象都呈現(xiàn)拋物線形式；函數(shù)圖象除頂點(diǎn)之外都位于x軸的上部；所有函數(shù)圖象的開口都朝上；所有函數(shù)圖象均以y軸為對(duì)稱軸；函數(shù)圖象均以坐標(biāo)系原點(diǎn)為頂點(diǎn)，而函數(shù)差異具體為圖象開口的大小不同。

4.教師根據(jù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)結(jié)果，向?qū)W生明確上述函數(shù)中的限定條件，即函數(shù)y=ax2中系數(shù)a＞0時(shí)，系數(shù)a的值越大，圖象開口就越小。

（設(shè)計(jì)意圖：沿用活動(dòng)2的設(shè)計(jì)思路能夠讓學(xué)生在活動(dòng)3中直接借用上一項(xiàng)活動(dòng)中的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而保證學(xué)生在這一環(huán)節(jié)中的學(xué)習(xí)效率。與此同時(shí)，通過(guò)連續(xù)兩項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，能夠有力推動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)意識(shí)與團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識(shí)的發(fā)展，為學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累提供有力支持。）

★課堂教學(xué)活動(dòng)4

1.教師通過(guò)多媒體設(shè)備，向?qū)W生出示搶答題目，組織學(xué)生開展課堂知識(shí)競(jìng)賽，給予優(yōu)勝者獎(jiǎng)勵(lì)，營(yíng)造班級(jí)學(xué)生間的競(jìng)爭(zhēng)氛圍。

2.組織學(xué)生自主編題，相互之間進(jìn)行二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的知識(shí)競(jìng)賽。

（設(shè)計(jì)意圖：此項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，具體抓住初中生普遍存在的競(jìng)爭(zhēng)心理。初中生思維發(fā)展極度活躍，對(duì)于競(jìng)爭(zhēng)有著十分濃厚的興趣。因此，教師通過(guò)競(jìng)賽類型活動(dòng)的設(shè)置，能夠充分激發(fā)學(xué)生對(duì)課堂知識(shí)學(xué)習(xí)與回顧的積極性，并讓學(xué)生在活動(dòng)中感受勝利的喜悅，由此提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。此項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中還設(shè)置了學(xué)生自主編題項(xiàng)目，引導(dǎo)學(xué)生在競(jìng)爭(zhēng)氛圍中鍛煉自身對(duì)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力。）

六、教學(xué)反思

本次案例教學(xué)設(shè)計(jì)總體上可以分為兩部分，其一，案例教學(xué)設(shè)計(jì)中通過(guò)對(duì)教材以及學(xué)生情況的分析，充分明確案例教學(xué)設(shè)計(jì)的側(cè)重點(diǎn)以及設(shè)計(jì)思路，并根據(jù)教材與學(xué)情分析內(nèi)容，科學(xué)制訂各個(gè)維度教學(xué)目標(biāo)，明確案例教學(xué)中的重難點(diǎn)，為案例教學(xué)活動(dòng)的具體開展奠定穩(wěn)固的理論基礎(chǔ)。其二，案例教學(xué)活動(dòng)的具體設(shè)計(jì)。案例教學(xué)設(shè)計(jì)可以進(jìn)一步細(xì)分為課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)與正式教學(xué)活動(dòng)兩個(gè)部分。課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中，以問題直接引導(dǎo)學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中聯(lián)系以往所學(xué)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，輔助學(xué)生開展有效的課堂學(xué)習(xí)。而在之后的課堂教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，具體以引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)為核心。而為達(dá)成這一目的，在課堂教學(xué)活動(dòng)的初始階段，本次案例設(shè)計(jì)根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，使用多媒體設(shè)備幫助學(xué)生直觀了解二次函數(shù)的繪制方法，并借此引導(dǎo)學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中自主繪制二次函數(shù)圖象，以此為基礎(chǔ)開展二次函數(shù)性質(zhì)的探索。案例教學(xué)能夠讓學(xué)生通過(guò)課堂學(xué)習(xí)對(duì)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的自主探索過(guò)程形成深入了解，并將這一探索過(guò)程轉(zhuǎn)化成學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)際學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

（作者單位：山東省日照市東港區(qū)南湖鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué)）

編輯：溫雪蓮