多點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu)形變及軸系軸承承載性能分析

牛榮軍， 劉越，唐紅利，崔永存，鄧四二

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 河南 洛陽(yáng) 471003； 2.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院， 北京 100081；3.中國(guó)北方車輛研究所， 北京 100072)

0 引言

多點(diǎn)支撐軸系軸承廣泛應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)、變速箱、機(jī)床主軸等機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，其性能優(yōu)劣直接影響到機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性、旋轉(zhuǎn)精度和壽命等。隨著高功率密度傳動(dòng)系統(tǒng)性能的提升要求，軸系軸承高承載、長(zhǎng)壽命的指標(biāo)也不斷提高[1]。目前，在多點(diǎn)支撐軸系軸承的性能評(píng)估中仍多采用將支撐軸視為剛性的簡(jiǎn)化方法進(jìn)行估算[2-5]，其結(jié)果一般會(huì)高估軸承性能，給主機(jī)的安全運(yùn)維帶來(lái)隱患。因此，考慮多點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu)的形變影響，進(jìn)而優(yōu)化軸系結(jié)構(gòu)配置，提升軸系軸承綜合疲勞壽命為高功率傳動(dòng)系統(tǒng)的研發(fā)提供理論依據(jù)，極具現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)于滾動(dòng)軸承的承載能力，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已開(kāi)展了較為深入的研究。劉越等[6]針對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)中典型的多軸承支撐軸系結(jié)構(gòu)，提出了軸和軸承剛度耦合建模方法以及軸系結(jié)構(gòu)精確變形迭代求解方法，獲得了軸系的精確變形。羅祝三等[7]提出了考慮軸的彈性變形對(duì)多支點(diǎn)軸系中若干滾動(dòng)軸承聯(lián)合進(jìn)行擬靜力學(xué)分析的模型，分析結(jié)果表明設(shè)計(jì)中要考慮軸系變形軸承的影響。田程等[8]針對(duì)多支撐軸系分析的難點(diǎn)，提出了一種考慮軸承剛度耦合性和非線性的有限元計(jì)算方法。倪艷光等[9]基于有限元建模方法，分析了套圈變形對(duì)球軸承載荷分布以及剛度、壽命等力學(xué)性能的影響，結(jié)果表明薄壁球軸承要充分考慮套圈變形與支撐配合關(guān)系的影響。毛宇澤等[10]通過(guò)求解包含套圈彈性變形的非線性方程組，分析了負(fù)游隙對(duì)軸承承載性能及疲勞壽命的影響。Sun等[11]建立了鼠籠式柔性支承滾動(dòng)軸承的準(zhǔn)動(dòng)態(tài)迭代有限元分析模型，計(jì)算并分析了整體柔性支撐結(jié)構(gòu)對(duì)滾動(dòng)軸承內(nèi)部載荷分布和動(dòng)態(tài)特性的影響。李云峰等[12]建立了包含支撐結(jié)構(gòu)剛度的軸承靜力學(xué)分析模型，分析了軸承游隙及初始接觸角對(duì)軸承承載能力的影響，并驗(yàn)證了模型的正確性。Lacroix等[13]對(duì)薄壁四點(diǎn)接觸球軸承的載荷- 位移特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，并比較了考慮和不考慮套圈剛度時(shí)的試驗(yàn)和數(shù)值結(jié)果。王亞珍等[14]建立了考慮薄壁套圈變形的滾子軸承擬靜力學(xué)分析模型，得到不同工況下的軸承載荷分布和疲勞壽命。Harris等[15]利用圓環(huán)的變形方程與Hertz接觸變形公式建立了一組柔度方程組，對(duì)具有彈性外圈的行星齒輪軸承的載荷分布進(jìn)行了分析。劉宏等[16]對(duì)鼠籠式彈性支撐件下的齒輪接觸性能進(jìn)行了試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)鼠籠式彈性支承件的支撐剛度對(duì)齒面接觸區(qū)和傳動(dòng)誤差有較大的影響。鄧四二等[17]研究了溝槽式彈性支撐結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)雙半內(nèi)圈角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)特性的影響，指出合理選擇彈性支撐結(jié)構(gòu)參數(shù)可有效改善軸承的動(dòng)態(tài)性能。毛月新[18]等研究了滾子凸度設(shè)計(jì)及修形對(duì)軸承接觸載荷特性的影響，但沒(méi)有定量給出修形對(duì)軸承疲勞壽命的影響。

綜上所述，在多點(diǎn)支撐軸系中，由于轉(zhuǎn)動(dòng)支撐軸的撓曲變形，以及軸承多點(diǎn)支撐剛度影響，使得軸系軸承的力學(xué)性能發(fā)生明顯變化，如果還采用常規(guī)的軸承設(shè)計(jì)分析方法，則軸承的承載能力和壽命將產(chǎn)生明顯誤差，不符合實(shí)際工程應(yīng)用情況。

本文基于彈性力學(xué)的Timoshenko梁?jiǎn)卧碚摻⒍帱c(diǎn)支撐軸系的通用力學(xué)模型，并耦合軸系軸承剛度的影響，系統(tǒng)研究了傳動(dòng)軸系驅(qū)動(dòng)力矩大小、作用位置和配置參數(shù)等對(duì)軸系軸承的承載性能影響，以期為軸系結(jié)構(gòu)的優(yōu)化配置提供參考依據(jù)。

1 多點(diǎn)支撐軸系的力學(xué)模型建立

為詳細(xì)考察多點(diǎn)支撐軸系中支撐軸系撓曲變形和軸系軸承剛度復(fù)合對(duì)軸承承載性能的影響，下面基于一般通用的軸系多點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu)，采用彈性力學(xué)的Timoshenko梁?jiǎn)卧碚摻⒍帱c(diǎn)支撐軸系分析模型，然后耦合軸系軸承剛度進(jìn)行多點(diǎn)支撐軸系軸承的力學(xué)性能研究。

圖1所示為多點(diǎn)支撐軸系受載的通用力學(xué)模型示意圖，支撐軸系中包括支撐軸承和傳遞齒輪等部件，支撐軸與各個(gè)軸系軸承支撐可以視為承受軸向載荷、徑向載荷及力矩的彈簧。定義坐標(biāo)系Oxyz原點(diǎn)O位于支撐軸軸線上，第1列軸系軸承中心到原點(diǎn)的軸向距離為l1，第j(j=1,2,…,m,m表示軸系軸承的總列數(shù))列軸系軸承中心到原點(diǎn)的軸向距離為lj；各軸系軸承在x軸和y軸方向的徑向載荷分量分別為Fjx、Fjy，在z軸方向的軸向載荷為Fjz；在x軸和y軸方向的力矩分量分別為Mjx、Mjy；作用于支撐軸系上的各外部載荷到坐標(biāo)原點(diǎn)的軸向距離分別為a1，a2,…,ai，…，an(n表示外力作用位置標(biāo)號(hào))；各外部載荷在x軸、y軸和z軸方向的分量分別為p1x～pnx、p1y～pny和p1z～pnz；在x軸和y軸方向的力矩分量分別為T1x～Tnx和T1y～Tny。

圖1 多點(diǎn)支撐軸系受載力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of a loaded multi-point support shaft

依據(jù)圖1所示支撐軸系受力作用關(guān)系，可以列出支撐軸系的力平衡方程式：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.1 支撐軸系撓曲變形計(jì)算

支撐軸系的轉(zhuǎn)角和撓度分別以α和ω表示，根據(jù)彈性力學(xué)理論，在圖1所示的軸系中支撐軸撓曲的微分方程為

(6)

式中：M為作用彎矩；EI表示支撐軸的抗彎剛度，E為彈性模量，I為慣性矩。

采用積分法可得支撐軸系在分析區(qū)間內(nèi)的轉(zhuǎn)角和撓度方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：C1j～C4j為積分常數(shù)；下標(biāo)x、y表示沿x軸、y軸方向。

1.2 邊界條件確定

根據(jù)變形協(xié)調(diào)原則，在各支撐軸系軸承的中心截面處，支撐軸的形變與軸系軸承支撐位置處的形變應(yīng)協(xié)調(diào)一致。因此，參照?qǐng)D1多點(diǎn)支撐軸系模型，可以列出軸系軸承支撐位置的邊界條件：

當(dāng)z=l1時(shí)，

(11)

當(dāng)z=lj時(shí)，

(12)

當(dāng)z=lm時(shí)，

(13)

式中：θ和δ分別為各列軸系軸承中心截面位置處的轉(zhuǎn)角和位移變形量。

將邊界條件式(11)～式(13)代入式(7)～式(10)，可以確定積分常數(shù)C1j～C4j以及軸系第j軸承列中心截面位置處的轉(zhuǎn)角和位移關(guān)系式。

2 軸系軸承力學(xué)模型建立

本文所分析的軸系結(jié)構(gòu)中有QJ309四點(diǎn)接觸球軸承、MU209圓柱滾子軸承和MU2306圓柱滾子軸承3個(gè)典型型號(hào)。選擇QJ309和MU2306進(jìn)行力學(xué)建模分析，型號(hào)MU209與MU2306的推導(dǎo)方法相似。

根據(jù)變形協(xié)調(diào)原則，各軸系軸承的形變與對(duì)應(yīng)支撐軸截面中心的形變協(xié)調(diào)一致。因此可以用各軸系軸承支承點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的支撐軸截面中心形變量對(duì)軸系軸承進(jìn)行受載形變分析，即支撐軸和軸系軸承形變量相同。這里給出沿著y軸方向徑向變形和繞x軸傾斜變形的分析過(guò)程，沿著x軸方向徑向變形和繞y軸傾斜受載變形可同理分析。軸系軸承中滾動(dòng)體編號(hào)和位置角的設(shè)置如圖2所示。圖2中，Z為滾動(dòng)體個(gè)數(shù)，ψk表示各個(gè)滾動(dòng)體的分布位置角，k表示滾動(dòng)體編號(hào)。

圖2 滾動(dòng)體編號(hào)及位置角定義Fig.2 Numbering and position angles of rolling elements

2.1 軸系圓柱滾子軸承位移變形分析

圖3 滾子與滾道接觸關(guān)系Fig.3 Contact relationship between roller and raceway

本文研究的軸系結(jié)構(gòu)的中間和右側(cè)端為圓柱滾子軸承。對(duì)軸系圓柱滾子軸承進(jìn)行分析時(shí)，為了考慮因支撐軸撓曲變形造成軸承滾子傾斜對(duì)接觸狀態(tài)的影響，采用切片法沿滾子母線進(jìn)行離散化處理，切片的寬度為2w=le/N(le為滾子的有效長(zhǎng)度，N為切片總數(shù))。圖3為滾子與滾道接觸關(guān)系示意圖，其中l(wèi)λ為(λ為切片編號(hào))每個(gè)切片到滾子左參考面的距離，Cmax為滾子凸度量，Mλk為每個(gè)切片對(duì)滾子中心產(chǎn)生的力矩，qλk為每個(gè)切片產(chǎn)生的接觸載荷，θx為內(nèi)圈繞x軸的轉(zhuǎn)角，δy為內(nèi)圈在y軸方向的徑向位移量，zRk為滾子中心傾斜產(chǎn)生的軸向位移量，下標(biāo)R表示軸系圓柱滾子軸承列。

考慮滾子傾斜、游隙和凸度修型等影響，沿著滾子母線方向，每個(gè)滾子切片單元與滾道間產(chǎn)生的接觸變形量為

δykλ=δycosψk+θxcosψk(0.5le-lλ-zRk)- 2cλ-uRr

(14)

式中：lλ=w[1+2(λ-1)]，1≤λ≤N；cλ為滾子凸型的修型量；zRk=0.5dmtan(0.5θxcosΨk)，dm為軸承節(jié)圓直徑；uRr為軸承的徑向游隙。

考慮滾子修型影響，每個(gè)滾子切片單元與滾道間的接觸力及力矩分別為

(15)

(16)

接觸力和力矩在y軸方向的徑向力和繞x軸的力矩分量分別為

(17)

(18)

式中：Zr為滾子個(gè)數(shù)。

同理可求出接觸力和力矩在x軸方向的徑向力和繞y軸的力矩風(fēng)量分別為

(19)

(20)

式(14)～式(20)中，下標(biāo)x、y分別表示圖2所示坐標(biāo)系中沿y軸方向和繞x軸。

2.2 軸系球軸承位移變形分析

本文研究的軸系支撐結(jié)構(gòu)中左側(cè)為QJ309球軸承，滾動(dòng)體與滾道間設(shè)計(jì)為四點(diǎn)接觸，根據(jù)需要也可設(shè)計(jì)為兩點(diǎn)或三點(diǎn)接觸球軸承。鋼球與溝道間的彈性變形量可通過(guò)內(nèi)、外溝道的曲率中心距變化來(lái)分析。圖4為四點(diǎn)接觸狀態(tài)時(shí)鋼球與溝道接觸關(guān)系圖。圖4中，O′為受載后球心位置，α0為設(shè)計(jì)接觸角，δz為內(nèi)圈在z軸方向的徑向位移量，c1ik為受載前接觸對(duì)Ⅰ內(nèi)曲率中心，c2ik為受載前接觸對(duì)Ⅱ內(nèi)曲率中心，c′1ik為受載后接觸對(duì)Ⅰ內(nèi)曲率中心，c′2ik為受載后接觸對(duì)Ⅱ內(nèi)曲率中心，c1ek為受載前后接觸對(duì)Ⅰ外曲率中心，c2ek為受載前后接觸對(duì)Ⅱ外曲率中心。

圖4 鋼球與溝道的接觸關(guān)系Fig.4 Contact relationship between steel ball and raceway

受載后，各個(gè)位置角處鋼球與內(nèi)、外溝道的接觸彈性變形量為

δ1yk=[(A0sinα0+δz+Riθxcosψk-uBa)2+

(A0cosα0+δycosψk-uBr)2]0.5-A0

(21)

δ2yk=[(A0sinα0-δz-Riθxcosψk-uBa)2+

(A0cosα0+δycosψk-uBr)2]0.5-A0

(22)

式中：A0為內(nèi)外溝道初始曲率中心距；α0為設(shè)計(jì)接觸角；Ri為內(nèi)圈溝曲率中心圓半徑；uBa為軸向游隙；uBr為徑向游隙。

各個(gè)位置角處鋼球- 滾道間的接觸角為

(23)

(24)

依據(jù)赫茲接觸理論，兩個(gè)接觸對(duì)產(chǎn)生的接觸載荷分別為

q1yk=Kn[max (0,δ1yk)]1.5

(25)

q2yk=Kn[max (0,δ2yk)]1.5

(26)

式中：Kn為鋼球與溝道的接觸變形系數(shù)，可參考軸承設(shè)計(jì)理論[19]確定。

接觸載荷對(duì)內(nèi)圈產(chǎn)生的沿z軸方向軸向力、沿y軸方向徑向力和繞x軸的力矩分別為

(27)

(28)

(29)

式中：Zb表示鋼球個(gè)數(shù)。

同理，可得到接觸載荷對(duì)內(nèi)圈沿著x軸方向徑向力和繞y軸的力矩分別為

(30)

(31)

聯(lián)立式(1)～式(5)、式(17)～式(20)和式(27)～式(31)，可得到軸系軸承共21個(gè)未知量的非線性方程組。本文采用Newton-Raphson方法對(duì)所建立的非線性方程組進(jìn)行迭代數(shù)值求解，求解誤差設(shè)置為10-6，最終得到軸系軸承的位移、轉(zhuǎn)角變形量以及支撐軸的撓曲變形等，進(jìn)而得到軸系軸承的載荷分布、接觸角和壽命等性能參數(shù)。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

圖5 多點(diǎn)支撐軸系軸承配置Fig.5 Multi-point support shafting bearing configuration

某變速箱驅(qū)動(dòng)軸系軸承的具體多點(diǎn)支撐軸系結(jié)構(gòu)和軸承配置如圖5所示，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。中間驅(qū)動(dòng)齒輪的力矩T為800 N·m，軸系軸承和驅(qū)動(dòng)齒輪的位置L1為40.5 mm、L2為52.5 mm，L3為51.5 mm，F(xiàn)r為斜齒輪所受徑向力的合力，F(xiàn)a為斜齒輪軸向力。

表1 軸承類型和結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Parameters of bearing type and structure

下面通過(guò)驅(qū)動(dòng)力矩大小、載荷作用位置和安裝配置等研究支撐軸的撓曲變形對(duì)軸系軸承的載荷分布、接觸角和爬坡率等影響，評(píng)估多點(diǎn)支撐軸系軸承的承載性能。

3.1 剛?cè)岫帱c(diǎn)支撐軸系剛性比較

圖6 多點(diǎn)支撐軸系形變剛性比較Fig.6 Comparison of rigidity of multi-point support shafting

為表明多點(diǎn)支撐軸系中，剛性和柔性支撐軸對(duì)軸系軸承承載性能的影響，圖6給出驅(qū)動(dòng)力矩T在400～1 200 N·m范圍變化時(shí)支撐軸的撓曲變形影響對(duì)比。

由圖6可以看出：

1)隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大，剛性軸不能產(chǎn)生撓曲變形，只能通過(guò)偏轉(zhuǎn)角的改變，調(diào)節(jié)多點(diǎn)支撐軸系軸承的載荷比分配，使得左端球軸承的徑向變形明顯增加，具體剛性變形見(jiàn)表2的數(shù)據(jù)結(jié)果；

2)隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大，柔性軸的撓曲變形明顯，特別是中間齒輪作用位置，變形量最大。由于考慮多點(diǎn)支撐軸撓曲變形的影響，使得多點(diǎn)支撐軸系軸承的變形量明顯不同于剛性軸變形的影響。特別是球軸承的徑向變形呈負(fù)位移變化，明顯不同于剛性軸的正位移變化。具體數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示。

多點(diǎn)支撐軸系中，支撐軸的撓曲變形對(duì)各個(gè)軸系軸承的載荷分配產(chǎn)生明顯影響，采用常規(guī)的剛性軸分析方法，將使得軸承壽命評(píng)估過(guò)于偏大，在實(shí)際多點(diǎn)支撐軸承計(jì)算中，要考慮支撐軸系的撓曲變形和軸系軸承的耦合作用。

3.2 軸系軸承性能分析

3.2.1 圓柱滾子軸承性能分析

為表明支撐軸系撓曲變形對(duì)軸承接觸性能的影響，圖7給出了多點(diǎn)支撐軸系形變對(duì)中間和右端軸系軸承不同修型滾子接觸狀態(tài)的影響結(jié)果，選用常用的兩邊弧坡和對(duì)數(shù)兩種滾子修型方法，為體現(xiàn)對(duì)比性滾子凸度量都取為0.08 μm，驅(qū)動(dòng)力矩為800 N·mm，其他參數(shù)見(jiàn)表1。

表2 剛?cè)嵝灾屋S系對(duì)軸系軸承支撐剛性的影響Table 2 Influence of rigid and flexible shafting on support rigidity of shafting bearing

圖7 滾子凸型對(duì)軸承接觸性能的影響Fig.7 Effects of roller crown on contact performance

參照?qǐng)D5軸系坐標(biāo)系設(shè)置。為便于后續(xù)軸承受載分析，設(shè)置齒輪徑向合力方向?yàn)閥軸方向，此時(shí)所分析軸系軸承載荷分布關(guān)于yz平面對(duì)稱，在圖7中只提取軸承的一半滾子進(jìn)行受載分析。由圖7中2種滾子修型的結(jié)果可以看出：1)柔性軸系對(duì)軸承的承載狀態(tài)產(chǎn)生明顯影響，柔性軸由于在軸承支撐點(diǎn)的撓曲變形，對(duì)支撐點(diǎn)軸承產(chǎn)生附加力矩作用，使得其母線接觸壓力分布呈明顯的兩端非對(duì)稱狀態(tài)；2)柔性軸系下，2種修型滾子母線的壓力分布區(qū)域都明顯減小，受載壓力均勻性變差，從而造成滾子母線局部承載壓力偏大，軸承容易因局部受載壓力過(guò)大發(fā)生早期疲勞失效。

從支撐軸系對(duì)軸承的壓力分布影響可以看出，多點(diǎn)支撐軸系軸承的分析中，要考慮支撐軸撓曲變形對(duì)軸承承載性能的影響，在剛性軸系下軸承受載均勻性要優(yōu)于柔性支撐軸系，從而過(guò)高估計(jì)軸系軸承的承載能力，給安全性設(shè)計(jì)帶來(lái)一定風(fēng)險(xiǎn)。

圖8給出了考慮多點(diǎn)支撐軸系撓曲變形，滾子不同修型方法對(duì)中間和右端圓柱滾子軸承載荷分布的影響。

圖8 滾子凸型對(duì)軸承載荷分布的影響Fig.8 Effects of roller crown on load distribution

由圖8可以看出：1)中間圓柱滾子軸承有9個(gè)滾子在承載區(qū)域，8個(gè)在非受載區(qū)域，全圓弧修型滾子受載的最大載荷較大，而兩端弧坡修型滾子受載的最大載荷最?。?)右端滾子軸承中，對(duì)數(shù)和全圓弧修型滾子有9個(gè)滾子在承載區(qū)域，而直母線和兩端弧坡修型滾子全部13個(gè)滾子承載，其中全圓弧修型滾子受載的最大載荷最小，而對(duì)數(shù)修型滾子受載的最大載荷最大。

根據(jù)多點(diǎn)支撐軸系中間和右端滾子軸承受載特點(diǎn)分析，中間滾子軸承選擇兩邊弧坡修型、右端滾子軸承選擇全圓弧修型比較合適，有助于降低軸承的受載壓力，延長(zhǎng)軸承使用壽命。

圖9給出了多點(diǎn)支撐軸系中，驅(qū)動(dòng)力矩T在 400～1 200 N·m范圍變化時(shí)對(duì)中間和右端滾子軸承載荷分布和最大接觸壓力的影響。

圖9 驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)軸承承載性能的影響Fig.9 Effects of driving torque on the bearing performance

由圖9可以看出：1)隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大，分配到中間和右端圓柱滾子軸承的作用載荷增加，使得滾子軸承的載荷分布都整體增大；2)中間圓柱滾子軸承的受載載荷明顯高于右端圓柱滾子軸承受載載荷，需適當(dāng)調(diào)整齒輪力作用位置，使得中間和右端滾子軸承受載盡量相同、壽命接近，達(dá)到同壽命設(shè)計(jì)；3)多點(diǎn)支撐軸承系軸承中，中間和右端圓柱滾子軸承最大接觸壓力都呈現(xiàn)不斷增加趨勢(shì)，其中內(nèi)圈接觸壓力明顯高于外圈接觸壓力，使得軸承內(nèi)圈要早于外圈發(fā)生疲勞失效。

3.2.2 四點(diǎn)接觸球軸承性能分析

圖10給出了驅(qū)動(dòng)力矩T在400～1 200 N·m范圍變化時(shí)對(duì)左端四點(diǎn)接觸球軸承載荷分布的影響。

圖10 驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)軸承載荷分布的影響Fig.10 Effects of driving torque on load distribution

由圖10可以看出：1)隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大，分配到左端四點(diǎn)接觸球軸承的作用載荷增加，使得球軸承的載荷分布都整體增大；2)由于球軸承的多點(diǎn)接觸特點(diǎn)，部分鋼球存在兩個(gè)接觸對(duì)同時(shí)受載情況，鋼球編號(hào)6和7同時(shí)受載。由于其多點(diǎn)受載作用，鋼球的運(yùn)動(dòng)靈活性受到限制；3)接觸對(duì)Ⅰ起主要受載作用，其載荷分布明顯高于接觸對(duì)Ⅱ的承載載荷。接觸對(duì)Ⅱ整體受載較小，大部分鋼球處于非承載狀態(tài)，因此在多點(diǎn)支撐軸系中，球軸承主要承受軸向和力矩載荷，分配到球軸承的徑向載荷較少。

圖11給出了不同設(shè)計(jì)接觸角對(duì)左端四點(diǎn)接觸球軸承接觸角和接觸壓力的影響。

圖11 設(shè)計(jì)接觸角對(duì)軸承接觸性能的影響Fig.11 Effects of design contact angle on bearing contact performance

由圖11可以看出：1)設(shè)計(jì)接觸角的增大，有助于四點(diǎn)接觸球軸承抵抗軸系分配的軸向載荷，降低軸承接觸載荷，接觸角每增加5°接觸最大接觸壓力下降50 MPa左右；2)在工況條件不變條件下，通過(guò)增大設(shè)計(jì)接觸角可以明顯減小軸承的最大接觸壓力，有助于提高軸承抗疲勞失效能力，是延長(zhǎng)軸承壽命的有效設(shè)計(jì)方法。

上述分析表明，接觸角變化對(duì)提高軸承承載能力，延長(zhǎng)軸承壽命具有明顯作用，但過(guò)大的設(shè)計(jì)接觸角有可能導(dǎo)致接觸軸肩爬坡率過(guò)高，造成軸承爬坡問(wèn)題[20]，從而造成軸承在軸肩位置過(guò)早失效風(fēng)險(xiǎn)。因此，要合理選擇初始設(shè)計(jì)接觸角，在極限載荷作用下軸承不出現(xiàn)爬坡問(wèn)題，原理圖如圖12所示，其中ci為內(nèi)圈溝道曲率中心。

圖12 球軸承軸肩爬坡原理圖Fig.12 Schematic diagram of ball-bearing shoulder climbing

內(nèi)圈最小擋邊高為

(32)

外圈溝道的最小擋邊高為

(33)

內(nèi)、外圈爬坡率定義為

(34)

式中：ri為內(nèi)圈溝道的曲率半徑；re為外溝道曲率半徑；α為實(shí)際接觸角；θ為內(nèi)圈受載后的轉(zhuǎn)角；ai為內(nèi)圈接觸橢圓的長(zhǎng)半軸；ae為外圈接觸橢圓的長(zhǎng)半軸。

圖13為在設(shè)計(jì)接觸角為35°，驅(qū)動(dòng)力矩在 400～1 200 N·m范圍變化時(shí)對(duì)軸承爬坡率的影響結(jié)果。圖14為在驅(qū)動(dòng)力矩為800 N·m，初始設(shè)計(jì)接觸角在25°～45°范圍變化時(shí)對(duì)軸承爬坡率的影響結(jié)果。

圖13 驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)軸承爬坡率的影響Fig.13 Effects of driving torque on climbing rate

圖14 設(shè)計(jì)接觸角對(duì)軸承爬坡率的影響Fig.14 Effects of contact angle on climbing rate

由圖13可以看出：1)隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增加，軸承內(nèi)外溝道的爬坡率非線性增加，內(nèi)溝道的爬坡率明顯高于外溝道爬坡率，因此內(nèi)溝道出現(xiàn)爬坡失效分析更大，要嚴(yán)苛控制設(shè)計(jì)接觸角的選擇；2)設(shè)計(jì)接觸角為35°時(shí)，根據(jù)80%爬坡率安全指標(biāo)要求，其驅(qū)動(dòng)軸極限輸入力矩1 004 N·m；3)在驅(qū)動(dòng)軸力矩一定工況下(本文研究對(duì)象取800 N·m)，內(nèi)溝道極限設(shè)計(jì)接觸角為40.6°，外溝道極限設(shè)計(jì)接觸角為44.3°。

3.3 齒輪作用位置對(duì)多點(diǎn)支撐軸系變形剛性影響

圖15 齒輪作用位置對(duì)支撐軸系變形剛性的影響Fig.15 Effects of gear action position on rigidity of shafting

為優(yōu)化所研究多點(diǎn)支撐軸系軸承的載荷分配，提升軸系軸承的承載能力和壽命，圖15給出變換驅(qū)動(dòng)力矩T的作用位置，考察支撐軸的撓曲變形特性，并以軸系軸承綜合壽命為判斷依據(jù)(見(jiàn)圖16)，從而得到齒輪安裝最佳作用位置。

圖16 齒輪作用位置對(duì)軸系軸承綜合壽命的影響Fig.16 Effects of gear action position on life of shafting bearing

由圖15和圖16可以看出：1)隨著驅(qū)動(dòng)力矩T作用位置右移(見(jiàn)圖15)，左端球軸承變形由正位移向負(fù)位移轉(zhuǎn)變，中間滾子軸承位移變化量不大，右端滾子軸承由負(fù)位移到正位移，再到負(fù)位移變化；2)依據(jù)軸承疲勞壽命理論，計(jì)算多列軸承組的綜合疲勞壽命(見(jiàn)圖16)，可以看出在距離L2為41～46 mm范圍，軸系軸承的綜合壽命L10處于最大區(qū)間，L2過(guò)小或過(guò)大，軸承壽命呈明顯下降趨勢(shì)。

原始設(shè)計(jì)中驅(qū)動(dòng)力矩T的位置距離L2=52.5 mm，由圖16可以看出，此時(shí)軸承壽命處于下降位置，需根據(jù)優(yōu)化結(jié)果使齒輪位置左移，適當(dāng)減小L2長(zhǎng)度，增大軸系軸承組綜合壽命。

4 結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提出分析方法的正確性，采用MASTA軟件對(duì)該模型算例進(jìn)行建模計(jì)算。MASTA是主流的商用傳動(dòng)系統(tǒng)分析軟件，在軸承、齒輪和多軸系設(shè)計(jì)分析中廣泛采用。采用表1的結(jié)構(gòu)參數(shù)和圖5的軸系模型，驅(qū)動(dòng)力矩為800 N·m，本文提出方法與商用軟件得到的計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析Table 3 Comparative analysis of calculation results

從表3中可以看到，本文提出的方法得到的軸承徑向、軸向和力矩計(jì)算結(jié)果與MASTA軟件計(jì)算的結(jié)果基本一致，證明了本文方法的正確性。

為真實(shí)反映本文所研究多點(diǎn)支撐軸系的剛性特點(diǎn)，選擇同型號(hào)QJ309EA、NU209EC和NU2306的軸系軸承搭建測(cè)試試驗(yàn)臺(tái)，所搭建的試驗(yàn)原理圖如圖17所示。

圖17 多點(diǎn)支撐軸系剛性測(cè)試原理圖Fig.17 Schematic diagram of multi-point support shafting rigidity test

QJ309EA球軸承主要承受軸向載荷，通過(guò)螺栓拉力器控制軸向載荷加載；NU209EC和NU2306主要承受徑向載荷，在齒輪位置通過(guò)徑向拉力器模擬載荷加載，為減小徑向加載對(duì)轉(zhuǎn)軸變形的影響，中間添加調(diào)心軸承，通過(guò)調(diào)心作用減少對(duì)軸角位移量影響。

將圓柱滾子軸承內(nèi)圈與軸過(guò)盈配合，外圈與軸承座間隙配合，通過(guò)靜態(tài)載荷加載方式測(cè)試多點(diǎn)支撐軸的徑向位移量。由于軸系軸承采用軸承座支撐，無(wú)法直接測(cè)得其變形位移量，測(cè)試點(diǎn)設(shè)置在徑向載荷加載點(diǎn)右側(cè)中間位置(見(jiàn)圖17)。軸承徑向位移量通過(guò)千分表測(cè)試，具體操作過(guò)程如圖18所示。

圖18 多點(diǎn)支撐軸位移量測(cè)試Fig.18 Displacement test of multi-point support shafting

不同徑向載荷條件下，測(cè)試支撐軸的靜態(tài)位移量，為減小測(cè)量誤差影響，不同加載載荷下進(jìn)行5次測(cè)試，測(cè)試結(jié)果與計(jì)算結(jié)果如圖19所示。

圖19 多點(diǎn)支撐軸靜態(tài)位移量結(jié)果比較Fig.19 Comparison of static displacement results of multi-point support shafting

由圖19的試驗(yàn)測(cè)試與計(jì)算結(jié)果比較可以看出:加載載荷較小時(shí)，剛性計(jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果較接近，但隨著加載載荷增加，考慮多點(diǎn)支撐軸變形的計(jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果逐漸趨近。其原因是在小載荷作用時(shí)，多點(diǎn)支撐軸系軸承的剛度對(duì)轉(zhuǎn)軸的撓曲變形影響較小，隨著作用載荷的增加，軸系軸承剛度的非線性變化使得轉(zhuǎn)軸變形量增加，與高載荷加載的支撐軸變形量測(cè)試結(jié)果接近，從而也證明了本文所建模型的正確性。

5 結(jié)論

1)從多點(diǎn)支撐圓柱滾子軸承最佳凸型設(shè)計(jì)角度考慮，中間列滾子軸承選擇兩邊弧坡修型、右端滾子軸承選擇全圓弧修型，比較適合支撐軸撓曲變形對(duì)軸承接觸載荷影響，有助于降低軸承的受載壓力，延長(zhǎng)軸承使用壽命。

2)從多點(diǎn)支撐球軸承極限爬坡率角度考慮，根據(jù)80%爬坡率安全指標(biāo)要求，左端球軸承設(shè)計(jì)接觸角為35°時(shí)其驅(qū)動(dòng)軸最大輸入力矩1 004 N·m，而在驅(qū)動(dòng)力矩為正常工況800 N·m時(shí)，內(nèi)溝道最大設(shè)計(jì)接觸角為40.6°，外溝道最大設(shè)計(jì)接觸角為44.3°。

3)從提高軸系軸承綜合壽命角度考慮，齒輪作用載荷的位置的調(diào)整可以起到明顯效果。L2過(guò)小或過(guò)大，軸承壽命呈明顯下降趨勢(shì)，在距離L2為41～46 mm范圍時(shí)，軸系軸承的綜合壽命L10處于最大區(qū)間。