“四種意識”巧解力學(xué)計算題

■甘肅省慶陽市隴東學(xué)院附屬中學(xué) 張金龍 慕雪利

分析近幾年的高考物理試題可以發(fā)現(xiàn),力學(xué)計算題的鮮明特色在于“組合”。深入挖掘力學(xué)計算題的內(nèi)在規(guī)律能夠明確,要想順利求解這類試題,就必須具備“元素組合”“思想組合”“觀點組合”“步驟組合”這四種意識,將其化繁為簡、化整為零、逐個擊破。

一、“元素組合”意識

力學(xué)計算題多是一體多段、兩體多段,甚至多體多段等多元素構(gòu)成的綜合性題目。試題中常出現(xiàn)的“元素組合”如圖1所示。

圖1

力學(xué)計算題變化多樣,但大多數(shù)是對如圖1所示“元素組合”框架圖中各種情境的排列組合。閱讀題目時要厘清它的元素組合,建立模型,找到似曾相識的感覺,克服對新題、難題的心理障礙。

例1如圖2所示,粗糙水平軌道AB與豎直光滑半圓形軌道BC在B點平滑連接,軌道半徑R=1.025 m,木板DE借助某裝置固定在豎直平面內(nèi),木板DE平面與水平面之間的夾角θ=53°,ED的延長線恰好通過B點,水平軌道AB上的P點處有一彈射裝置,P、B兩點之間的距離l=0.5 m?，F(xiàn)將質(zhì)量m2=1 kg的小球b放在B點,利用彈射裝置將質(zhì)量m1=0.5 kg的小球a彈出,a、b兩小球在B點發(fā)生彈性碰撞后,小球b經(jīng)半圓形軌道BC后恰好垂直打在木板DE平面上的Q點,已知小球a與水平軌道AB之間的動摩擦因數(shù)μ=,取重力加速度g=10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:

圖2

(1)小球b從C點運動到Q點所用的時間t。

(2)彈射裝置內(nèi)最初狀態(tài)下儲存的彈性勢能Ep。

元素組合：a、b兩小球+水平面上的粗糙軌道AB+豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道BC+豎直面內(nèi)的傾斜木板DE+BC軌道上的圓周運動+恒力+平拋運動。

解析：(1)小球b從C點運動到Q點的過程中做平拋運動,設(shè)小球b在C點時的速度為vC,根據(jù)平拋運動規(guī)律可知,在水平方向上有x=vxt,vx=vC,在豎直方向上有y=,根據(jù)幾何關(guān)系得tanθ=,解得t=0.3 s,vC=4 m/s。

(2)小球b從B點運動到C點的過程中,設(shè)小球b在B點時的速度為vB,根據(jù)機械能守恒定律得2R,解得小球a、b在B點發(fā)生彈性碰撞的過程中,設(shè)小球a在碰撞前后的速度分別為v1和v1＇,根據(jù)動量守恒定律得m1v1=m1v1＇+m2vB,根據(jù)機械能守恒定律得解得。小球a從P點運動到B點的過程中,根據(jù)功能關(guān)系得μm1gl,解得Ep=33 J。

二、“思想組合”意識

一道經(jīng)典的力學(xué)計算題宛如一個精彩的物理故事,處處蘊含著物理世界“平衡”與“守恒”這兩種核心思想。求解力學(xué)計算題應(yīng)牢牢抓住這兩種思想,構(gòu)建如圖3所示的“思想組合”框架圖。

圖3

平衡思想體現(xiàn)出對運動分析和受力分析的重視。運動分析與受力分析可以互為前提,也可以互為因果。如果考查運動分析,那么物體保持靜止或勻速直線運動是處于平衡狀態(tài),物體做其他運動是處于不平衡狀態(tài)。類似的,如果考查受力分析,那么也可以分為兩種情況,即F合=0或F合=ma(a≠0)。當(dāng)F合=0時物體受力平衡,當(dāng)物體受力滿足牛頓第二定律F合=ma(a≠0)時物體處于受力不平衡的各種情形。若想更具體些,則應(yīng)追問物體是處于穩(wěn)態(tài)平衡狀態(tài)還是動態(tài)平衡狀態(tài),考查的是平衡位置還是平衡狀態(tài)等。

高中階段的物理守恒思想主要反映的是能量與動量恒定不變的規(guī)律。能量與動量雖不同于運動與受力,但不同的能量形式對應(yīng)不同的運動形式,不同的動量形式也對應(yīng)不同的受力形式,因此在本質(zhì)上能量與動量都來源于物體運動情況與受力規(guī)律的推演,利用守恒思想求解物理問題是運動分析與受力分析的延伸。

例2質(zhì)量為m木、長度為d的木塊放在光滑的水平面上,木塊的右邊有一個銷釘把木塊擋住,使木塊不能向右滑動,質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0按如圖4所示的方向射入木塊,剛好能將木塊射穿?，F(xiàn)將銷釘拔去,使木塊能在水平面上自由滑動,而子彈仍以初速度v0射入靜止的木塊,求:

圖4

(1)子彈射入木塊的深度是多少?

(2)從子彈開始進入木塊到子彈相對木塊靜止的過程中,木塊的位移是多少?

(3)在這一過程中產(chǎn)生的內(nèi)能是多少?

思想組合：

解析：(1)設(shè)子彈所受阻力為f,則木塊不動時有,木塊在光滑水平面上滑動時,由子彈與木塊組成的系統(tǒng)動量守恒,則mv0=(m+m木)v,對子彈有v20-v2=,對木塊有,子彈射入木塊的深度l=x1-x2,聯(lián)立以上各式解得l=

三、“觀點組合”意識

求解力學(xué)計算題主要使用三種觀點:受力與運動的觀點、做功與能量轉(zhuǎn)移的觀點、沖量與動量的觀點。這三種觀點組成了一個龐大的知識體系,僅公式就多達幾十個,不單學(xué)習(xí)時難以記憶,解題時也容易混淆。為獲得順暢的思路,可刪繁就簡,整理成如圖5所示的“觀點組合”框架圖。

圖5

動力觀點的特征是涉及加速度的確定,主要用于解決物體受力情況與物體運動狀態(tài)的關(guān)系。已知受力求運動,從力F的表達式F合=0或F合=ma寫起,進而得出運動參數(shù)x、v、t或θ、ω、t;已知運動求受力,則從x、v、t或θ、ω、t表示的各種運動規(guī)律寫起,反向得出物體所受的力F。

功能觀點主要用于解決不涉及時間的問題。若不涉及時間,則通常使用動能定理列式求解;若不涉及時間又需研究能量,則優(yōu)先使用能量守恒定律列式求解。

若研究的問題涉及時間,則使用動量觀點中的動量定理列式可以簡化計算。動量守恒定律的適用范圍比牛頓第二定律更為廣泛。遇到多體問題時,選擇合適的系統(tǒng),運用動量守恒定律列式求解,往往更加便捷。

例3如圖6所示,長木板B的質(zhì)量m2=1 kg,靜置在粗糙的水平地面上,質(zhì)量m3=1 kg的物塊C(可視為質(zhì)點)放在長木板的最右端。質(zhì)量m1=0.5 kg的物塊A從距離長木板B左側(cè)l=9.5 m 處,以速度v0=10 m/s朝著長木板B運動。一段時間后物塊A與長木板B發(fā)生彈性正碰(時間極短),之后三者發(fā)生相對運動,整個過程中物塊C始終在長木板B上。已知物塊A、長木板B與地面之間的動摩擦因數(shù)均為μ1=0.1,物塊C與長木板B之間的動摩擦因數(shù)μ2=0.2,物塊C與長木板B之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,取重力加速度g=10 m/s2,求:

圖6

(1)碰后瞬間物塊A和長木板B的速度。

(2)長木板B的最小長度和最終物塊A離長木板B左側(cè)的距離。

觀點組合：

解析：(1)設(shè)物塊A與長木板B碰撞前的瞬時速度為v,根據(jù)動能定理得-μ1m1gl=解得v=9 m/s。物塊A與長木板B發(fā)生彈性碰撞,假設(shè)二者碰撞后的瞬時速度分別為v1、v2,根據(jù)動量守恒定律得m1v=m1v1+m2v2,根據(jù)機械能守恒定律得解得v1=-3 m/s(方向向左),v2=6 m/s(方向向右)。

(2)碰撞后長木板B做減速運動,物塊C做加速運動,長木板B和物塊C達到共同速度之前,根據(jù)牛頓第二定律,對長木板B有-μ1(m2+m3)g-μ2m3g=m2a1,對物塊C有μ2m3g=m3a2,解得a1=-4 m/s2(方向向左),a2=2 m/s2(方向向右)。設(shè)從碰撞后到二者達到共同速度經(jīng)歷的時間為t,則v2+a1t=a2t,長木板B的最小長度dmin=解得t=1 s,dmin=3 m。長木板B與物塊C達到共同速度之后,因為μ1＜μ2,所以二者一起做減速運動至停下,設(shè)其加速度為a3,根據(jù)牛頓第二定律得-μ1(m2+m3)g=(m2+m3)a3,整個過程中長木板B向右的位移,解得a3=-1 m/s2(方向向左),xB=6 m。物塊A與長木板B碰撞后,物塊A向左做減速運動的加速度也為a3,向左的位移解得xA=4.5 m。因此最終物塊A離長木板B左側(cè)的距離為xA+xB=10.5 m。

四、“步驟組合”意識

部分同學(xué)在求解力學(xué)計算題時,即使面對比較熟悉的物理情境,仍會不知道如何表述。為了厘清解題思路,可以嘗試使用如圖7所示的四個步驟來書寫。

圖7

例4如圖8所示,一豎直光滑絕緣的管內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的絕緣彈簧,其下端固定在管底,上端與一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球A相連,整個空間存在一豎直向上的勻強電場,小球A靜止時彈簧恰為原長,另一質(zhì)量也為m且不帶電的絕緣小球B從距小球A上方為x0的P點由靜止開始下落,與小球A發(fā)生碰撞后一起向下運動,全過程中小球A的電荷量不發(fā)生變化,重力加速度為g。

圖8

(1)若x0已知,試求小球B與A碰撞過程中損失的機械能。

(2)若x0未知,且小球B與A運動到最高點時恰未分離,試求小球A、B運動到最高點時彈簧的形變量。

(3)在滿足(2)問的情況下,試求小球A、B在運動過程中的最大速度。

步驟組合：

解析：(1)設(shè)勻強電場的電場強度為E,碰撞前小球A靜止時有qE=mg,解得E=設(shè)小球B與A碰撞前的瞬時速度為v0,根據(jù)機械能守恒定律得解得設(shè)小球B與A碰撞后達到的共同速度為v1,根據(jù)動量守恒定律得mv0=2mv1,解得小球B與A碰撞過程中損失的機械能2mv21,若x0已知,則

(2)小球A、B一起向上運動至最高點時恰不分離,說明此時小球A、B的加速度相等,且它們之間的彈力為零。設(shè)此時彈簧的伸長量為x1,則對小球B有mg=ma,對小球A有mg+kx1-qE=ma,解得

(3)小球A、B一起向下運動所受合外力為零時,具有最大速度vmax。設(shè)此時彈簧的壓縮量為x2,則2mg-(qE+kx2)=0,解得x1=x2說明小球A、B在兩對應(yīng)位置時彈簧的彈性勢能相等。在小球A、B從獲得最大速度處運動至最高點處的過程中,根據(jù)能量守恒定律得(2mg-qE)·,解得