依托TPACK理論，推進(jìn)統(tǒng)計信息化教學(xué)
——以“一元線性回歸模型的應(yīng)用”為例*

徐彩鳳

(福建省廈門市同安實驗中學(xué) 361100)

《教育部關(guān)于實施全國中小學(xué)教師信息技術(shù)應(yīng)用能力提升工程2.0的意見》特別提出信息技術(shù)應(yīng)用能力是新時代高素質(zhì)教師的核心素養(yǎng)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》也指出高中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實效性[1]．可見，數(shù)學(xué)教師不僅僅要把適合本學(xué)科的信息技術(shù)引入課堂，借助信息技術(shù)的強(qiáng)大功能提升學(xué)生對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，還要鼓勵學(xué)生動手操作信息技術(shù)軟件，感受其強(qiáng)大功能，進(jìn)而加深對數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛．為達(dá)到信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，教師需要綜合考慮信息技術(shù)、教學(xué)法以及學(xué)科內(nèi)容三者的關(guān)系，將它們進(jìn)行有機(jī)融合，這可以聯(lián)系到整合技術(shù)的學(xué)科教學(xué)法知識(TPACK)理論[2]．

1 TPACK框架簡介

TPACK是一套符合信息技術(shù)時代教師專業(yè)發(fā)展需要的專業(yè)知識體系，它是由CK(學(xué)科知識)、PK(教學(xué)法知識)、TK(技術(shù)知識)、PCK(學(xué)科教學(xué)知識)、TCK(整合技術(shù)的學(xué)科知識)、TPK(整合技術(shù)的教學(xué)法知識)和TPACK(整合技術(shù)的學(xué)科教學(xué)知識)等七個部分組合而成，各個元素之間的關(guān)系如圖1[3]．TPACK追求的是在學(xué)科教學(xué)的過程中，將現(xiàn)代信息技術(shù)與學(xué)科進(jìn)行整合．TPACK框架下的數(shù)學(xué)教學(xué)，要求教師應(yīng)以CK,PK,TK三個核心要素為基礎(chǔ)，運用整合技術(shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(TPACK)進(jìn)行教學(xué)[4]．

圖1

2 TPACK框架下的統(tǒng)計教學(xué)

“統(tǒng)計與概率”是高中數(shù)學(xué)的四大主線之一，用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，估計和假設(shè)檢驗是兩種基本而重要的推斷方法．必修課程中的統(tǒng)計主要是關(guān)于單變量總體的估計或推斷，選修課程中的統(tǒng)計是通過成對數(shù)據(jù)研究兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系．在統(tǒng)計學(xué)習(xí)中，數(shù)據(jù)處理、圖表繪制是基本能力，列統(tǒng)計表、畫各類統(tǒng)計圖、復(fù)雜的數(shù)值計算可以借助Excel、R軟件、GeoGebra(下稱GGB)等軟件快速、準(zhǔn)確地解決．真實的統(tǒng)計問題中繁雜的數(shù)據(jù)整理往往是學(xué)生的絆腳石，當(dāng)學(xué)生能借助信息技術(shù)這個腳手架來解決問題，就可以深入理解統(tǒng)計概念和方法，思考如何把統(tǒng)計概念和方法用在具體的問題上，及針對具體的問題情境應(yīng)選擇哪個統(tǒng)計量來解決問題．如此，在提高學(xué)習(xí)效率的同時，學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計和利用統(tǒng)計知識處理具體問題的興趣必將大大提高．反觀高考中的數(shù)學(xué)統(tǒng)計題，更多考查學(xué)生運用統(tǒng)計知識處理問題的能力，而繁雜的計算通常以參考數(shù)據(jù)形式體現(xiàn)．

在統(tǒng)計教學(xué)中，教師先對統(tǒng)計知識(CK)進(jìn)行分析，確定教學(xué)目標(biāo)，再選擇合適的教學(xué)法(PK)和信息技術(shù)支撐軟件(TK)．接著對這三個要素進(jìn)行整合，運用整合技術(shù)的數(shù)學(xué)知識(TCK)導(dǎo)入新課，激發(fā)學(xué)生的求知欲；運用學(xué)科教學(xué)知識(PCK)采用問題式教學(xué)和探究式教學(xué)，學(xué)生以合作探究、實踐操作等形式在解決問題的過程中完成對新知的建構(gòu)和理解；運用整合技術(shù)的教學(xué)法知識(TPK)提高課堂效率，增強(qiáng)課堂的靈動性(圖2)．

圖2

3 基于TPACK框架的信息化教學(xué)實踐

3.1 課標(biāo)分析與教學(xué)目標(biāo)

基于以上分析，以人教A版(2019)選修第三冊“一元線性回歸模型的應(yīng)用”為例，尋找信息技術(shù)與統(tǒng)計教學(xué)深度融合的有效途徑．該部分的課標(biāo)要求為“能通過具體實例說明一元線性回歸模型修改的依據(jù)和方法，會使用相關(guān)統(tǒng)計軟件．”針對課標(biāo)要求，結(jié)合TPACK理論確定如表1所示的教學(xué)目標(biāo)．

表1 教學(xué)目標(biāo)及TPACK結(jié)合點

3.2 教學(xué)過程

3.2.1回顧舊知，統(tǒng)一起點

經(jīng)驗表明，對于同一樹種，一般而言樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3 m處的直徑)越大，樹就越高．由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高．在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如表2所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程．(選自人教A版(2019)選修第三冊第113頁例)

表2 某種樹胸徑與樹高數(shù)據(jù)

問題1建立一元線性回歸模型的步驟是什么？

追問 回顧上一節(jié)課的操作過程，你能利用GGB解決問題嗎？請嘗試解決．

師生一起回顧建立一元線性回歸模型的基本步驟．學(xué)生使用GGB自主解決問題得到圖3，教師給予適當(dāng)分析和點評．

圖3

教學(xué)思考利用學(xué)生的舊知來導(dǎo)入新知是一種知識遷移的策略．美國心理學(xué)家奧蘇貝爾說過，影響學(xué)生新知學(xué)習(xí)唯一最重要的是——學(xué)生已經(jīng)知道了什么．從課本實例入手，統(tǒng)一學(xué)習(xí)起點，但由于實際數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，若直接用紙筆算，難以進(jìn)行．有些教師會直接舍去該題，而選擇數(shù)據(jù)易操作的題目，如此便削弱了一元線性回歸模型與現(xiàn)實世界之間的關(guān)聯(lián)．本課通過GGB軟件的數(shù)據(jù)分析功能解決該題，同時使學(xué)生樹立技術(shù)應(yīng)用的意識，以此來培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用新技術(shù)的自覺性．

3.2.2問題引領(lǐng)，激發(fā)思維

人們常將男子短跑100 m的高水平運動員稱為“百米飛人”．表3給出了1968年之前男子短跑100 m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù)．試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100 m世界紀(jì)錄y關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份t的經(jīng)驗回歸方程．(選自人教A版(2019)選修第三冊第115頁問題)

表3 100 m世界紀(jì)錄數(shù)據(jù)

問題2按照例題中建立一元線性回歸模型的方法，你能利用GGB解決嗎？

追問1 畫散點圖，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并判斷能否用一元線性回歸模型擬合？若可以，請建立對應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程；若不可以，請說明理由．

學(xué)生利用GGB作散點圖，散點看上去大致分布在一條直線附近，指導(dǎo)學(xué)生點擊GGB數(shù)據(jù)分析中的∑x按鈕，可得樣本相關(guān)系數(shù)為-0.855 9，可以推斷男子短跑100 m世界紀(jì)錄與紀(jì)錄產(chǎn)生年份兩個變量負(fù)線性相關(guān)，用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程．

追問2 觀察到年份t比較大，能否用模型y=c1+c2(t-1 895)來擬合呢？

圖4

學(xué)生得出結(jié)論：成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征．

追問4 你能對模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點的分布特征嗎？

引導(dǎo)學(xué)生觀察散點圖，回顧已有的函數(shù)知識，選擇合適的函數(shù)模型．

學(xué)生討論得到以下模型：(1)y=c1+c2ln(t- 1 895)(c2<0)；(2)y=c1ec2(t-1 895)(c1>0,c2<0)；(3)y=c1(t-1 895)c2(c1>0,c2<0)．

教學(xué)思考數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來探究真實問題背后的數(shù)學(xué)知識[1]．本課以男子短跑100 m世界紀(jì)錄為情境，利用GGB的作圖功能發(fā)現(xiàn)第一點偏差較大，提出問題：你能對模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點的分布特征嗎？引導(dǎo)學(xué)生思考問題背后的數(shù)學(xué)知識：選擇合適的函數(shù)模型．通過整合信息技術(shù)與課程教學(xué)，學(xué)生在此過程中體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．

3.2.3實驗探究，親歷建構(gòu)

問題3觀察以上3個式子的結(jié)構(gòu)，你能通過變量變換將上述非線性回歸模型化為一元線性回歸模型，從而得到求解嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察以上3個模型中式子的結(jié)構(gòu)，分組交流操作得到：

追問1 你能用GGB建立以上3種經(jīng)驗回歸方程嗎？

學(xué)生通過協(xié)作探究，利用GGB得到(圖略)．

追問2 你能寫出以上3種經(jīng)驗回歸方程嗎？

問題4以上我們共建立了男子短跑100 m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的4個經(jīng)驗回歸方程，你能判斷哪種經(jīng)驗回歸方程具有更好的擬合效果嗎？

生：可利用直接觀察法和殘差分析．

接著教師引出與殘差平方和相關(guān)的統(tǒng)計量決定系數(shù)R2，用R2比較4個回歸方程擬合的效果，并說明R2的意義．(用GGB計算)

教學(xué)思考數(shù)學(xué)實驗是為了探索數(shù)學(xué)知識、檢驗數(shù)學(xué)結(jié)論、形成假設(shè)而進(jìn)行的某種操作或思維活動，是學(xué)生通過觀察、操作、實驗等實踐活動來進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式．[5]教學(xué)中，教師提供恰當(dāng)?shù)钠脚_和技術(shù)指導(dǎo)，學(xué)生通過探究交流、操作驗證得到四種經(jīng)驗回歸方程，再恰當(dāng)引出決定系數(shù)R2，利用R2判斷模型的擬合效果．信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合體現(xiàn)了“做中學(xué)”理念，是積累基本活動經(jīng)驗的重要途徑．

3.2.4歸納總結(jié)，思維可視

借助希沃白板上的思維導(dǎo)圖功能(圖5)和學(xué)生一起歸納反思本節(jié)課的知識和方法．

圖5

教學(xué)思考數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖通過框架的確立向四周延伸，能夠有助于學(xué)習(xí)者建構(gòu)良好知識體系，優(yōu)化課堂總結(jié)．[6]希沃白板的思維導(dǎo)圖可邊教學(xué)邊繪制，逐漸形成一個思維的網(wǎng)絡(luò)，讓數(shù)學(xué)思維可視化．同時提高學(xué)生的課堂參與度，幫助學(xué)生在系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)思維過程中建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識體系．

4 TPACK理論在信息化教學(xué)中的作用

4.1 要素分析，整合教學(xué)

CK,PK,TK是TPACK的三個核心要素，這三個要素的整合具有遞進(jìn)關(guān)系(圖6)．

圖6

在此過程中，主要考慮利用信息技術(shù)呈現(xiàn)知識的效果以及與教學(xué)方法的適應(yīng)程度，將信息技術(shù)以各種形式融入教學(xué)各要素中，以取得最優(yōu)化的教學(xué)效果．

4.2 技術(shù)融合，深度教學(xué)

基于TPACK框架進(jìn)行信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合，于教師來說，關(guān)注的不僅僅是信息技術(shù)本身，而是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)基本知識和方法的契合點．這就要求教師在設(shè)計一堂課之前能圍繞“什么技術(shù)可以促進(jìn)教學(xué)，如何把技術(shù)融合到數(shù)學(xué)知識和教學(xué)法當(dāng)中”展開思考，針對重難點選擇恰當(dāng)?shù)募夹g(shù)手段輔助突破．對學(xué)生而言，一方面信息技術(shù)的有效使用提高了課堂效率，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；另一方面學(xué)生通過結(jié)合數(shù)學(xué)知識親自操作信息技術(shù)，感受到其帶來的巨大力量，探索單純用紙筆難以解決的問題，增強(qiáng)了學(xué)生的求知欲和探索欲，同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究和解決問題的能力，以期真正實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合．