數(shù)學的特征及其教育價值*

姚 雪

(上海市建平中學 200135)

當前不少人對數(shù)學的認識產(chǎn)生了誤區(qū)：有的人認為數(shù)學就是做題，有的人認為數(shù)學就是計算，有的人認為數(shù)學就是競賽．什么是數(shù)學呢？《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下稱《標準》)中明確為：“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學．”“數(shù)學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言．”“數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用．”[1]基于新課標理解的新教材的編寫特色，就很好地體現(xiàn)了數(shù)學的內涵、特征及其教育價值．

1 數(shù)學研究的三大領域

1.1 應用數(shù)學——廣泛性

“隨著現(xiàn)代科學技術特別是計算機科學、人工智能的迅猛發(fā)展，人們獲取數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力都得到很大的提升，伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，人們常常需要對網(wǎng)絡、文本、聲音、圖象等反映的信息進行數(shù)字化處理，這使數(shù)學的研究領域與應用領域得到極大拓展．”[1]科學技術的發(fā)展離不開數(shù)學，數(shù)學已經(jīng)成為各個高科技領域發(fā)展的重要一環(huán)．科技讓生活更美好，數(shù)學讓科技發(fā)展成為可能．

馬克思曾說過：“一門科學只有當它能夠成功地運用數(shù)學時，才算是真正的科學．”這足以說明在馬克思心中數(shù)學應用的重要性．各個國家都非常重視對數(shù)學相關人才的培養(yǎng)，數(shù)學應用相關的專業(yè)就有不少，如金融數(shù)學、精算學、數(shù)據(jù)科學、計算機科學等．

《標準》對數(shù)學課程中的應用性內容專門做了安排，在選修課程中安排了ABCDE五類課程，并明確了ABCDE五類課程的針對性，如A類課程供有志于學習數(shù)理類(如數(shù)學、物理、計算機、精密儀器等)專業(yè)的學生選擇．應用性內容在這幾類選修課程中會有眾多的呈現(xiàn)．

1.2 基礎數(shù)學——純粹性

數(shù)學本身就是基礎學科，基礎數(shù)學更是基礎中的基礎．李克強總理曾在去北京大學數(shù)學科學學院考察時說，基礎數(shù)學研究在我國是薄弱環(huán)節(jié)，對許多領域形成瓶頸制約，需要一批人靜下心來把“冷板凳”坐熱．

基礎數(shù)學，也可以稱之為純粹數(shù)學，它按照數(shù)學內部的需要，或未來可能的應用，對數(shù)學結構本身的內在規(guī)律進行研究，而并不要求同解決其他學科的實際問題有直接的聯(lián)系．我們從小學到高中所學習的數(shù)學其實就是基礎數(shù)學中的初等數(shù)學，教材中所涉及到的應用只是初步的介紹和嘗試．

《標準》指出：通過高中數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(簡稱“四基”)；提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)[1]8．只有將基礎性的數(shù)學知識儲備好，學會從數(shù)學角度思考問題，才能在學習工作中知道在什么時候可以用數(shù)學、如何才能將數(shù)學的作用發(fā)揮到最大．同時，在人們用數(shù)學去解決問題時，也會促進數(shù)學的內部發(fā)展．

目前很多研究生專業(yè)對學生的數(shù)學背景有了越來越多的要求，比如商科、工程等專業(yè)．即使不一定要求這些學生是數(shù)學本科畢業(yè)，但也需要學生去修讀微積分、線性代數(shù)、偏微分方程等基礎數(shù)學內容．

1.3 數(shù)學教育——教育性

前面已經(jīng)說到了數(shù)學的應用性，那數(shù)學僅僅是一個工具性學科嗎？從小學到大學，數(shù)學課程一直都在所有課程中處于非常重要的地位，不管是課時比例還是在各類考試中的分值占比，都體現(xiàn)出了這一點．許多人都知道數(shù)學很有用，但具體為什么有用、有多大用處，觀點往往是片面的．

《標準》指出：數(shù)學教育幫助學生掌握現(xiàn)代生活和進一步學習所必需的數(shù)學知識、技能、思想和方法；提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界[1]2．“數(shù)學眼光”“數(shù)學思維”“數(shù)學語言”反映的是數(shù)學的科學價值，對邏輯思維、直觀想象的培養(yǎng)等可以起到很好的促進作用．而且數(shù)學還可以提升審美價值，清晰的圖形、簡潔的公式等都可以潛移默化地影響到學習者．數(shù)學是一門基礎性學科，可以很好地為其他學科服務．數(shù)學也是一門獨立的學科，它的生命是永恒的，是不可替代的．

學習數(shù)學，對人的影響是終身的．真正從事專業(yè)數(shù)學研究的工作者其實是不多的，但每個人都需要去學習數(shù)學．通過學習數(shù)學，我們可以學會數(shù)學的嚴謹、學會數(shù)學的創(chuàng)新、學會數(shù)學的科學、學會數(shù)學的簡潔、學會數(shù)學的直觀等．我們需要重視的不僅僅是知識本身，更應該是學習知識的過程，這會使人終身受益．

2 數(shù)學教育的三重價值

高中階段的數(shù)學學習是人生最重要的發(fā)展階段，可能會直接影響到學生以后的學習和工作的選擇、發(fā)展，以及做事風格、工作成就．在高中階段，除了數(shù)學基礎知識的學習，數(shù)學素養(yǎng)、品格和觀念的學習對于學生而言也是必不可少的．人教版教材必修一[6]在主編寄語中寫道：努力學好數(shù)學對你的人生幸福意義重大，這個道理在你今后學習、工作和生活中會逐步體會到．

2.1 核心素養(yǎng)

2.1.1直觀想象和數(shù)學抽象

很多人談到對數(shù)學的印象，都會用到“抽象”一詞．何為抽象？一方面，我們可以理解為數(shù)學中的很多概念都是從現(xiàn)實中得出的，或者是跟現(xiàn)實事物息息相關的．如古人計數(shù)是通過石頭的個數(shù)或劃記號等方式來實現(xiàn)，數(shù)字就是為了簡化這一現(xiàn)實行為的產(chǎn)物；又如描述一片湖面平靜無波瀾、面積廣闊，就可以用平面這一數(shù)學概念來表示．另一方面，有很多數(shù)學內容是在數(shù)學學科內部不斷發(fā)展的過程中的產(chǎn)物，很難與現(xiàn)實世界建立聯(lián)系．

“直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構建抽象結構的思維基礎．”[1]6通過直觀想象，可以將抽象的數(shù)學具體呈現(xiàn)出來，也可以推進抽象的數(shù)學概念的生成．如通過對具體事物的觀察可以得到直觀的圖形，在圖形的分析中可以發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學的抽象結論．

了解數(shù)學的直觀性和抽象性，不僅可以幫助我們更好地認識世界，學會借助數(shù)學來表達現(xiàn)實，在現(xiàn)實中挖掘數(shù)學，還告訴我們要不斷地學習和創(chuàng)新，去推動學科的發(fā)展．

學會用數(shù)學的語言表達世界，是數(shù)學學習中的一個重點，也是數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重點．數(shù)學語言可以很好地將數(shù)學用更加具體的形式呈現(xiàn)在世人面前．

(1)精煉的概念

數(shù)學中有很多的數(shù)學概念，這些概念用自然語言給出，表述精煉、規(guī)范，都是經(jīng)過無數(shù)學者不斷地探索、優(yōu)化得到的．這些概念的解釋也通常非常精煉，這些表述和文學語言不同，通常都沒有華麗的辭藻，也沒有那么多種修辭手法，而是干脆直接地揭示問題的本質.如“向量”，“向”表示方向，“量”表示大?。辉谡n本中的解釋為“在數(shù)學中，我們把既有大小又有方向的量叫作向量”．在用詞上，幾乎簡單到不能再少一個字的程度．

正是由于數(shù)學的自然語言有著表述精煉這個特點，數(shù)學名詞經(jīng)常出現(xiàn)在我們的日常生活及其他學科內容中．如對“周期性”的舉例是“地球自轉引起的晝夜交替變化和公轉引起的四季交替變化，月亮圓缺，潮汐變化，物體做勻速圓周運動時的位置變化，物體做簡諧運動時的位移變化，交變電流變化等”，而且又說“這些現(xiàn)象都可以用三角函數(shù)刻畫”[6]167．通過“周期性”“三角函數(shù)”就讓人們一下子能夠對這幾個天文、物理中的問題有了一個初步的理解．又如“某城市人口呈指數(shù)增長”[6]118，只需“指數(shù)”這一詞，就立刻將社會學中的人口增長的大概趨勢反映出來了．有時只需一個詞，就足夠表達千言萬語．

(2)簡潔的符號

如果說自然語言會由于每個國家所用文字的差別而存在理解上的問題，那么符號語言就基本不存在這方面的問題了，符號語言可以跨學科、跨地域、跨國界．在使用符號語言表達問題時，不僅在形式上非常簡潔、統(tǒng)一，而且很多時候可以讓問題表述得更為清晰、一目了然，給人一種強烈的簡潔美，有時更加容易交流和溝通．

(3)直觀的圖形

圖形語言不僅直觀，而且生動，可以將抽象的內容形象地用線條呈現(xiàn)在紙上，借助圖形中的點、線、面這些關系的刻畫可以非常清晰、嚴謹?shù)爻尸F(xiàn)出物體的特征，對學生空間想象能力有著很大的促進作用．

在數(shù)學教學中如果能夠經(jīng)常引導學生用圖形直觀地研究數(shù)、式問題，用數(shù)、式對圖形性質進行更為豐富、精確、深刻的探討，則對提高學生數(shù)學素質，發(fā)展分析問題、解決問題的能力，將是大有裨益的．數(shù)學教材中，不管是老教材還是新教材，圖形語言的運用都是很多的．

如在練習題中，用曲線表示將某種藥物注射進患者的血液后，血液中的藥物含量隨時間變化的圖象[6]140．其實題目中的自然語言對變量間的關系刻畫得已經(jīng)非常清楚了，但這建立在充分理解“線性”“指數(shù)”這兩個數(shù)學概念的基礎上，用圖形語言來表示函數(shù)關系會更加直觀，可以清晰地看到變化的規(guī)律和增加、衰減的趨勢．

如北京市某日的空氣質量指數(shù)的變化圖[6]61，作為一個非專業(yè)人士，雖然不知道這些數(shù)據(jù)背后的具體含義，但也能通過圖形的大致變化趨勢、數(shù)據(jù)的大小來大致了解空氣質量情況．圖形語言已經(jīng)潛移默化地影響著我們的生活．

2.1.2邏輯推理和數(shù)學運算

提到數(shù)學的作用，可能很多人第一反應就是對人的嚴謹性思維的培養(yǎng)．什么是嚴謹性？數(shù)學又是如何培養(yǎng)嚴謹性呢？嚴謹，即為嚴肅謹慎，又為追求完美．對此，愛因斯坦說道：“數(shù)學之所以比一切其他科學受到尊重，一個理由是因為它的命題是絕對可靠的，無可爭辯的，而其他的科學經(jīng)常處于被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險．數(shù)學之所以有高的聲譽，另一個理由就是數(shù)學使得自然科學實現(xiàn)定理化，給予自然科學某種程度的可靠性．”數(shù)學正成為嚴謹?shù)拇~，不管是邏輯推理，還是數(shù)學運算，嚴謹性都是它們的共性．正因為如此，各個學科都如此地注重數(shù)學基礎．學生在數(shù)學學習過程中進行的一步步運算、推理的過程，其實就是不斷進行嚴謹性論證的過程，因為這一過程不僅要求學生會用準確的數(shù)學語言來進行表述，還需要思維上邏輯分明、條理清楚、盡善盡美，否則就很難得到正確的答案．

(1)運算的合理性

運算能力是數(shù)學學習中最基礎的能力，“數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)．主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等．”[1]7完成這一運算過程，就不僅僅是一個簡單的計算，還需要考慮各個環(huán)節(jié)的合理性(法則是否正確、思路是否清晰、方法是否簡潔、結果是否準確等)．在運算和不斷追求運算的合理性的過程中，邏輯推理能力也會隨之提升．

如對余弦定理、正弦定理進行應用舉例時，給出了三個測量距離、高度、角度的例子[7]48-51．要解決這三個問題，在計算之前需要考慮選擇怎樣的方案(測量什么、用什么計算方法、怎樣計算得到的精確度更高等)．對此，指出“需要設計恰當?shù)臏y量方案”，需要注意“為什么要給出這些已知條件，而不是其他的條件”[7]48，還定義了“基線”，指出“基線越長，測量的精確度越高”[7]49，并且借此方法給出了計算地球與月球之間距離的方法．這一過程，充分體現(xiàn)了教材對運算合理性的追求．不僅要算，更要思考如何算、算得對不對、怎么樣算更好．

對于運算的結果，在新教材中涉及到的很多習題或例題都需要進行近似計算．在問題中常見的說法有“結果精確到0.1 m”“結果精確到個位”等．

(2)運算的簡潔性

在數(shù)學發(fā)展中人們對于簡潔的追求是永無止境的，不管是證明還是運算．而且隨著各個學科的不斷發(fā)展，帶來了很多對計算簡化的需求，這在一定程度上也促進了數(shù)學運算簡潔性的發(fā)展．

如“16世紀末，隨著當時天文、航海及工程實踐的迅速發(fā)展，大量多位數(shù)乘除及開方的計算困擾著那時的科學家和工程師．在簡化計算的迫切需求下，對數(shù)這個概念得以誕生，并在實際計算中得到廣泛應用．”[2]59還提到法國數(shù)學家、天文學家拉普拉斯的一句話：“對數(shù)的發(fā)明讓天文學家的壽命都延長了．”[2]75這足以看出計算簡化的重要性．文獻[6]第128頁中也有類似的說明．

文獻[6](第186頁)指出，三角學是天文觀察結果推算的一種方法，但由于正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值在一開始是限定在正數(shù)范圍內的，因而不能推出應有的三角公式，這導致了計算的困難．后來經(jīng)過數(shù)學家們的不懈努力，將三角函數(shù)內容進行了擴充改進，才得到了現(xiàn)在的三角學，也就有了教材中那么多的三角公式，使得運算大大簡化，并且三角學還得到了更廣闊的運用范圍，如微積分、物理學等．

文獻[3](第156—160頁)中給出了三角形式下的復數(shù)乘除運算公式——棣莫弗定理，以及三角形式下復數(shù)的乘方與開方公式，在一定程度上簡化了復數(shù)的運算．

(3)推理的嚴謹性

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)，包含從特殊到一般和從一般到特殊的推理[1]5．歷史上很多的重要結論，都是通過先猜想、再證明的方式得到的．數(shù)學歷史中非常有名的費馬大定理，經(jīng)歷了數(shù)學家們堅持不懈的努力，終于得到了嚴謹?shù)耐暾C明．

如文獻[6](第147頁)提到人們曾希望得到一般的五次以上代數(shù)方程的根式解，但經(jīng)過長期的努力仍無結果．后來，法國數(shù)學大師拉格朗日提出了五次方程不存在根式解的猜想．又經(jīng)過了四十多年才有人成功證明了這一結論．而且法國數(shù)學家伽羅瓦還進一步完全解決了高次方程的求解問題，并創(chuàng)立了對代數(shù)學發(fā)展影響深遠的“伽羅瓦理論”．這一過程是艱辛的，但這種對數(shù)學的嚴謹性的追求，是每一位數(shù)學學習者都需要去學習的．

文獻[6](第43頁)給出了生活中的一個實際經(jīng)驗：“已知bg糖水中含有ag糖(b>a>0)，再添加mg糖(m>0，假設全部溶解)，糖水變甜了．”這其實也是化學中的液體濃度問題．這一問題如果用數(shù)學中的不等式來表示，就能夠非常科學地證明這一現(xiàn)象．文獻[2]第33頁也給出了類似的例子．

數(shù)學更是借助嚴謹?shù)耐评斫⒘俗约旱墓砘w系．文獻[7](第166頁)中對此有這樣的說明：“由于數(shù)學公理化方法的簡捷性、條理性，以及結構的和諧性，為其他科學理論的表述起了示范作用．”

2.1.3數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析

我們可以通過數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析去研究各個實際問題．學生在不斷的建模學習過程中可以找到自己感興趣的內容，建立自己以后發(fā)展的初步規(guī)劃．同時，不斷學習數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析的過程，也是學生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力不斷提升的過程．隨著時代的發(fā)展，智能化越來越多地需要用到數(shù)學模型，大數(shù)據(jù)對數(shù)據(jù)分析的能力也提出了極高的要求．中學時期的數(shù)學學習正是為此打下基礎，讓學生有一個初步的認識．

(1)結論運用

數(shù)學學習中會不斷出現(xiàn)各種公理、定理、公式、性質等結論，通過這些結論，我們可以解決很多的數(shù)學問題，這些結論也在不斷促進數(shù)學的發(fā)展和進步．

在工程學、航海學、天文學、體育等中涉及的很多與距離、角度相關的實際問題，可以用正弦定理、余弦定理來解決．如文獻[3](第47頁)中需要在一個山體上開挖隧道，需要在開挖之前知道隧道口之間的距離，實際沒辦法直接求出這個距離，但只要測量出其他能夠測量的長度，借助正弦定理、余弦定理，就可以在三角形中計算出這一距離．文獻[7](第49頁)提到，天文學家想要測量地球與月球之間的距離，直接測量是根本不可能完成的任務，而借助三角形中的結論去估算就是一個很好的方法．文獻[3]也指出研究天文需要用到球面三角學的內容．

(2)模型構建

建模的過程是一個從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構建模型、求解結論、驗證結果、改進模型、解決實際問題的過程[1]6．常見的模型有不等式模型、方程模型、函數(shù)模型、向量模型、幾何模型等．

如文獻[4](第32頁)要求學生借助小平板儀(可用于測量水平的角度)和皮尺，給出求得電塔頂與道路的距離的方法．要想解決這一實際問題，需要構建一個空間的幾何模型，這不僅是對三垂線定理的運用，也是一個比較開放的問題，答案不唯一．這就不僅僅是一個計算或證明題，需要學生在充分理解知識的基礎上，進行一個靈活的模型建構，是一個培養(yǎng)學生能力的很好機會．

文獻[7](第40頁)給出了這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越小越省力．這兩個物理中的問題可以通過構建向量模型和三角模型來解決．模型建好了，不管是分析變化規(guī)律，還是用于數(shù)據(jù)預測，就都有據(jù)可循了．

文獻[5]的主題是數(shù)學建模，教材中給出了一些數(shù)學建模案例，如“紅綠燈管理”“車輛轉彎時的安全隱患”等，還給出了一些數(shù)學建模活動，如“出租車運價”“削菠蘿”等．通過具體例子告訴學生如何構建模型，給出具體問題，讓學生有一個初步的活動體驗．文獻[6]中也有專門的數(shù)學建模專題內容，如“建立函數(shù)模型解決實際問題”等．

(3)數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析的過程主要包括[1]7：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論．其實這也是建模的一種類型，但重點在數(shù)據(jù)的分析上．

如文獻[6](第111頁)通過表格給出了2001年至2015年兩個景區(qū)的游客人次以及逐年增加量，并通過畫圖擬合出了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，借用圖象就可以更清晰地發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，并可估計以后的景區(qū)游客人次，這是一種常見的數(shù)據(jù)分析方法．又如文獻[6](第242頁)中給出了一組彈簧振子完成一次全振動的時間和位移的對應數(shù)據(jù)，通過畫圖擬合出了三角函數(shù)．

文獻[4]第12章概率初步、第13章統(tǒng)計，里面有很多關于數(shù)據(jù)分析的內容，包括數(shù)據(jù)收集(觀測、實驗)、數(shù)據(jù)整理(統(tǒng)計圖表)、提取信息并進行推斷(統(tǒng)計估計)．

2.2 必備品格

2.2.1學習習慣

解決問題的過程本身就是一個思考的過程.在眾多的知識中思考并找到適用的解決方法，這就是學生在學習過程中需要不斷提升的能力．

人教版和滬教版都會在新教材的邊注中給出對教材正文內容的補充、提醒、拓展、思考等，學生在學習過程中可以通過邊注的說明加深對知識的理解，提升自學能力，養(yǎng)成良好的提出問題、解決問題的習慣．

如文獻[2]第29頁有4個邊注，其中3個邊注中都有一個詞“表明”，比如第1個邊注為：“不等式的加法性質表明：在不等式的兩邊加上(或減去)同一個實數(shù)，不等號的方向不變．”這是不等式加法性質的文字表述，更是一種解釋．這里體現(xiàn)了三種數(shù)學語言(符號語言、自然語言、圖形語言)中的兩種．如果學生在以后學習性質或其他內容時，都能夠養(yǎng)成三種數(shù)學語言相互轉換的習慣，那么不僅能夠更好地理解知識，更是一種數(shù)學能力的提升．此頁中的第3個邊注為：“等式與不等式的性質有什么相同點和不同點？”這個問題在教材中沒有給出答案，是對教材內容的補充，指引學生進行深入思考，提醒學生對前后相關知識點進行關聯(lián)學習．

人教版還在每章最后的小結中提出一些問題來幫助學生復習．如文獻[6]第100頁中寫道：“請你帶著下面的問題，復習一下全章內容吧！”然后給出了三個問題：“1.通過本章學習，你對函數(shù)概念有什么新的認識？2.你能結合具體實例，分析、比較函數(shù)的各種表示方法的特點嗎？3.函數(shù)的性質一般包括哪些方面？為什么要研究這些性質？你能總結一下研究函數(shù)性質的一般過程和方法嗎？”學會提問是一種學習能力，能夠根據(jù)問題學會自我復習更是一種學習習慣．

2.2.2科學態(tài)度

學習不是一蹴而就的，做任何事都是如此，需要不斷地學習、摸索，經(jīng)歷很多的嘗試、失敗、改進，最后才能獲得成功，這就需要一種不怕辛苦、堅持不懈、全神貫注的鉆研精神．你是否有過艱難地做出一道題后的欣喜？

人教版中的“文獻閱讀與數(shù)學寫作”“閱讀與思考”，滬教版的“課后閱讀”，以及教材的正文、邊注中都給出了一些數(shù)學故事或發(fā)展歷史，如對數(shù)簡史、火箭速度的計算公式、放射性物質的衰減、中外歷史上的方程求解等，學生通過閱讀數(shù)學家們的研究故事、數(shù)學內容的發(fā)展變化、教材知識的延伸拓展，體會知識得來的不易，感受數(shù)學家們的鉆研精神，了解進一步鉆研的必要和艱辛．

如文獻[4](第108頁)中提到為了驗證進行大量拋擲一枚硬幣的實驗時，出現(xiàn)正面的頻率應接近于50%，很多數(shù)學家做了大量的拋擲硬幣的實驗，如蒲豐拋擲了4 040次，費勒拋擲了10 000次，皮爾遜拋擲了24 000次．在當時的實驗條件下，做這些事情是非?；〞r間的，但為了探尋真理，他們不厭其煩地重復去做一件事情，這是對科學的尊重，為后人做了很好的榜樣，告訴大家數(shù)學學習，以及做任何事情，都需要有足夠的耐心，堅定的信念．

文獻[2](第113—114頁)介紹了函數(shù)概念的形成和發(fā)展，函數(shù)從17世紀就已經(jīng)開始出現(xiàn)，直到19世紀70年代才得到精確的定義，這期間經(jīng)歷了眾多數(shù)學家們的積極研究和努力．了解這些，不僅有助于學生更好地理解函數(shù)這一重要概念，而且可以讓學生體會到數(shù)學家們追求科學的積極態(tài)度．

2.2.3探究精神

文獻[1]多次提到要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，創(chuàng)新人才是各行各業(yè)都非常需要的．對學生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)在新教材中最直接的體現(xiàn)就是對學生提出的探究素材．如人教版新教材中的“探究與發(fā)現(xiàn)”、習題中的“拓廣探索”、滬教版新教材中的“探究與實踐”，給出了一些需要學生自主探究的內容，如利用單位圓的性質研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質，以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長速度的比較等．

此外，在教材的內容設置上，也體現(xiàn)了對學生探究精神的培養(yǎng)．如文獻[3](第58—70頁)先畫出了正弦函數(shù)的大致圖象，然后通過圖象看出正弦函數(shù)的性質(周期性、值域與最值、奇偶性等)，最后通過函數(shù)解析式來證明這些性質．這就是先猜想再證明的探究方法．緊接著在第73—75頁給出了余弦函數(shù)的圖象及性質，這是類比的探究方法．再后面第77—80頁對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的研究，就體現(xiàn)了從特殊到一般的探究方法．這些對學生的探究精神的培養(yǎng)都已經(jīng)融入了教材內容，只要教師在授課時加以引導，學生就能夠慢慢地具備這種精神．

文獻[6]主編寄語中寫道：“學習貴在創(chuàng)新．”并期望學生能夠做到“看過問題三百個，不會解題也會問”．認真學習是一種態(tài)度，學會提問是一種能力，根據(jù)所提出的問題進行進一步探究，那是一種追求．

2.3 價值觀念

2.3.1應用價值

滬教版、人教版新版數(shù)學教材中給出了很多涉及其他學科知識的例題、習題，學生可以通過這些內容初步體會到數(shù)學的應用價值，提升對數(shù)學的學習興趣．

數(shù)學的應用在教材中的體現(xiàn)比較直接的就是應用題，而應用題多為其他學科的交叉內容．解決應用題的過程，其實就是一個學習數(shù)學并運用數(shù)學運算、數(shù)學推理進行科學地分析解答的過程．

文獻[4](第8頁)給出的斜二測畫法，是工科中常見的基礎作圖．文獻[4]第10章空間直線與平面、第11章簡單幾何體在一定程度上培養(yǎng)了學生的空間感，能看懂、會畫一些基本圖形．這為后續(xù)繼續(xù)進行復雜的工程制圖打下了基礎．此外，工程中的制圖對精確性要求很高，需要大量的計算，這是在平時的數(shù)學學習中一直在做的，并且數(shù)學為工程計算提供了大量的計算方法及性質定理，如三角、對數(shù)、向量等可以提供計算的方向，如正弦定理、余弦定理、各種平面、空間幾何體的性質可以幫助簡化運算．

對于數(shù)學和信息技術的關聯(lián)，比較常見的是借助信息技術來研究數(shù)學，體現(xiàn)的是信息技術在數(shù)學中的應用.如人教版新教材中有一個內容為“信息技術應用”，其中有些內容是借助信息技術來研究數(shù)學，如借助電腦作圖來研究函數(shù)的性質等.但在很多情況下，數(shù)學與信息技術是相互促進的，如文獻[6]第224頁中主題“利用信息技術制作三角函數(shù)表”，仔細分析這其中的內容，要想制作出這一三角函數(shù)表，前提條件是需要掌握任意角、三角比、三角函數(shù)、數(shù)列的遞推關系等知識，這里程序框圖中的循環(huán)命令就是通過數(shù)列的遞推來實現(xiàn)的，這些數(shù)學知識是完成一個編程的基礎．實際上，很多的編程設計都需要數(shù)學基礎知識的熟練掌握，此外，編程對思維能力要求很高，數(shù)學學習中培養(yǎng)的邏輯推理能力、嚴謹分析能力等都對編程有很大的促力．如今世界已步入人工智能時代，編程也不僅僅是寫代碼了，更是一種思維能力，數(shù)學與其是相輔相成的．

2.3.2 人文價值

很多人將數(shù)學歸為理科，將語文歸為文科，認為這是兩門完全不相關的學科，但其實他們在很多地方也是相通的．

人教版新教材中有一個常規(guī)設置叫“文獻閱讀與數(shù)學寫作”，如對函數(shù)內容寫作給出的參考選題有：“函數(shù)產(chǎn)生的社會背景、函數(shù)概念發(fā)展的歷史過程、函數(shù)符號的故事、數(shù)學家與函數(shù)”[6]97．這在一定程度上是對學生查閱文獻和寫作能力的培養(yǎng)．

教材在編寫中，對很多語句的表述是非常具有文學特點的．如文獻[2]第69頁邊注中的“對數(shù)化乘為加、化除為減”，“對數(shù)化乘方為乘、化開方為除”，用到了排比的修辭手法．文獻[3]第17頁中的口訣“奇變偶不變，符號看象限”，讀起來朗朗上口，便于理解記憶．

文獻[4](第90頁)用一句俗語“天有不測風云，人有旦夕禍福”來描述隨機現(xiàn)象，讓這一數(shù)學概念變得非常貼近生活．文獻[6]第180頁邊注中用“周而復始”來形容三角函數(shù)值的變化規(guī)律，用一個成語很好地解釋了角的終邊每繞原點旋轉一周時函數(shù)值重復出現(xiàn)這一現(xiàn)象，形象生動．文獻[7]第39頁中三次出現(xiàn)“翻譯”一詞，這個詞語通常用來表達不同語言之間的轉換．在教材中寫道：“把運算結果‘翻譯’成幾何關系．”這體現(xiàn)了數(shù)學語言的重要性．“運算結果”對應文獻[1]中的符號語言，“幾何關系”對應文獻[1]中的自然語言；“翻譯”這一詞用得可謂恰到好處，不僅說清了要求，也體現(xiàn)了兩種表述方法的重要地位．文獻[7]第71頁的邊注中指出，復數(shù)的幾何表示“揭開了復數(shù)的神秘的、不可思議的‘面紗’”，這一形象的比喻表明了復數(shù)的幾何表示對于復數(shù)學習的重要意義．

此外，教材中還出現(xiàn)了很多近義詞，如“趨近”和“接近”，“頻率”和“概率”，以及“全稱量詞”(如“所有的”“任意一個”)和“存在量詞”(如“存在一個”“至少有一個”)，在數(shù)學學習中需要充分弄清這些詞語的區(qū)別和聯(lián)系．此處，數(shù)學課和語文課交融在一起，互相促進．

2.3.3 審美價值

文獻[1](第69頁)對“美與數(shù)學”這一內容的分類為美與數(shù)學的簡潔、美與數(shù)學的對稱、美與數(shù)學的周期、美與數(shù)學的和諧．希望通過這部分內容的學習，學生對美的感受能夠從感性走向理性，提升有志于從事藝術、體育事業(yè)學生的審美情趣和審美能力，在形象思維的基礎上増強理性思維能力．

數(shù)學中有很多的圖形具有很美妙的性質，如對稱性、周期性、單調性等．如軸對稱圖形橢圓、拋物線等，中心對稱圖形正弦函數(shù)圖象、部分冪函數(shù)圖象、橢圓等．這些性質在繪畫、建筑、生活中有著很多的應用，如文獻[2]第128頁中的圓形噴水池、文獻[3]第47頁中的金茂大廈、文獻[3]第87頁中國際標準足球場等．此外，通過旋轉、翻折又可以得到很多美麗的幾何體，如圓柱、球等．

借助圖形，可以研究很多的數(shù)學問題．同時，很多數(shù)學原理也被藝術家們用在了藝術創(chuàng)作上．文獻[7]第112頁中寫道：“畫法幾何起源于歐洲文藝復興時期的繪畫和建筑技術．意大利藝術家萊奧納多·達·芬奇在他的繪畫作品中已經(jīng)廣泛地運用了透視理論，主要是中心投影．”可見，數(shù)學和建筑、繪畫也是相互交融、互相促進的．

3 結語

滬教版新教材的前言中寫道：“可以毫不夸張地說，數(shù)學教育看起來似乎只是一種知識教育，但本質上是一種素質教育，其意義是十分深遠的．”[2]前言學習數(shù)學，不僅僅是學習數(shù)學知識，更是學習一種科學的語言，學會嚴謹?shù)耐评?、科學的計算、簡明的表達，練就生存的技能，提升自身的競爭力．數(shù)學培養(yǎng)的不僅僅是數(shù)學素養(yǎng)，更是全方位的素養(yǎng)．