基于變量分層的CFRP結(jié)構(gòu)件宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

倪偉，周金宇，王志凌，韓文欽

（1.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 常州 213001；2.金陵科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 南京 211169）

1 引言

碳纖維復(fù)合材料（CFRP）的宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化是一種綜合考慮結(jié)構(gòu)優(yōu)化與材料鋪層優(yōu)化來提高CFRP結(jié)構(gòu)件性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。優(yōu)化設(shè)計(jì)分為獨(dú)立優(yōu)化和一體化優(yōu)化，其中一體化優(yōu)化又分為整體優(yōu)化和協(xié)同優(yōu)化?；谧兞糠謱拥暮昙?xì)觀協(xié)同優(yōu)化是將優(yōu)化問題分為系統(tǒng)層面與子層面，子層面包括結(jié)構(gòu)層面與材料層面，在子層面中設(shè)置暫態(tài)變量與懲罰項(xiàng)，通過減少系統(tǒng)層面的設(shè)計(jì)變量實(shí)現(xiàn)模型降維，從而提高算法收斂效率。

針對宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，國內(nèi)外學(xué)者已取得諸多研究成果。例如：文獻(xiàn)[1]通過縮減求解空間，將系統(tǒng)級非線性等式約束變換為只含有變量邊界的線性不等式約束，解決了傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化求解困難的問題；文獻(xiàn)[2]采用變量解耦法，提高了多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化的收斂效率；文獻(xiàn)[3]將范數(shù)與動態(tài)松弛系數(shù)引入汽車車身的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)中，提高了協(xié)同優(yōu)化效率；文獻(xiàn)[4]采用結(jié)構(gòu)材料協(xié)同優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)了壓力容器的優(yōu)化設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[5]使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)多目標(biāo)協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用反向傳播算法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)元模型進(jìn)行訓(xùn)練，極大的提高了算法優(yōu)化效率；文獻(xiàn)[6]提出了一種基于模糊偏好函數(shù)的多層面協(xié)同優(yōu)化方法，采用改進(jìn)的遺傳算法進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高了協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)的魯棒性。

針對CFRP結(jié)構(gòu)件宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)[7]過程中由于設(shè)計(jì)變量較多導(dǎo)致收斂慢的問題，提出基于變量分層的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并將該方法其運(yùn)用到汽車CFRP頂蓋的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。宏觀結(jié)構(gòu)層面根據(jù)頂蓋的功能要求進(jìn)行NURBS曲線的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，細(xì)觀材料層面對CFRP鋪層角度與鋪層厚度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，提取頂蓋總厚度作為系統(tǒng)層面的公共變量。系統(tǒng)層面采用自適應(yīng)遺傳算法（AGA）進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，汽車頂蓋輕量化的同時提高頂蓋的固有頻率從而避開激勵源頻率和聲腔模態(tài)頻率，達(dá)到頂蓋減振的效果。

2 宏觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 宏觀結(jié)構(gòu)輪廓的NURBS描述

曲面造型采用NURBS 建模，NURBS（Non Uniform Rational B?Spline）通常稱為非均勻有理B樣條曲線，是常用的自由曲線建模方法。NURBS高精度、高光順的特點(diǎn)使其在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中占據(jù)重要地位。

NURBS曲線可以定義為：

式中：Vi—控制頂點(diǎn)；ωi—權(quán)因子；Bi，（ku）—節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0，u1，…，um]上的k次NURBS基函數(shù)，通常情況下u0=u1=…=ui=0，ui=ui+1=…=um=1；ui（i=0，1，…，m）—節(jié)點(diǎn)，為確保NURBS曲線的凸包性，要求ωi≥0。

通過調(diào)整NURBS曲線的控制頂點(diǎn)xi及其權(quán)因子ωi從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)層面的NURBS 曲線優(yōu)化設(shè)計(jì)完成后，將NURBS 曲線的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)以APDL 命令流的形式輸入到ANSYS中，并擬合成CFRP結(jié)構(gòu)件的截面曲線，CFRP結(jié)構(gòu)件的有限元模型則由截面沿NURBS曲線方向掃略而成。

2.2 強(qiáng)度失效準(zhǔn)則

CFRP結(jié)構(gòu)件采用Tsai?Wu失效準(zhǔn)則[8]作為失效判據(jù)。

其中，左邊多項(xiàng)式大于1，材料發(fā)生破壞。F1、F11、F12、F2、F22、F66為6個獨(dú)立的強(qiáng)度參數(shù)，其計(jì)算公式如下：

式中：XT—纖維方向拉伸強(qiáng)度極限；XC—纖維方向壓縮強(qiáng)度極限；

YT—垂直纖維方向拉伸強(qiáng)度；YC—垂直纖維方向壓縮強(qiáng)度；

S—剪切強(qiáng)度極限，均可由實(shí)驗(yàn)測得。

2.3 宏觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

以CFRP結(jié)構(gòu)件質(zhì)量最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)，結(jié)構(gòu)件的截面輪廓控制節(jié)點(diǎn)xi及其權(quán)因子ωi作為結(jié)構(gòu)層面的設(shè)計(jì)變量，使用APDL語言進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模與分析，采用Matlab編制優(yōu)化主程序并調(diào)用APDL參數(shù)化建模與分析的txt結(jié)果文件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，其數(shù)學(xué)模型為：

式中：目標(biāo)函數(shù)M1表示CFRP結(jié)構(gòu)件的質(zhì)量；ω1，…，ωm—NURBS曲線控制點(diǎn)的權(quán)因子；x1，…，xm—NURBS 輪廓曲線控制點(diǎn)橫坐標(biāo)；d1—結(jié)構(gòu)層面的離散型暫態(tài)變量；[ai,bi]—NURBS曲線控制點(diǎn)的橫坐標(biāo)區(qū)間；g1—強(qiáng)度失效判據(jù)，等于式（2）左邊的值。

3 細(xì)觀鋪層優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 細(xì)觀CFRP鋪層設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

CFRP鋪層優(yōu)化設(shè)計(jì)中，影響CFRP性能的因素主要有鋪層角度和鋪層厚度，材料層面中以鋪層角度與鋪層厚度為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

CFRP鋪層優(yōu)化設(shè)計(jì)的要求如下：

（1）CFRP鋪層角度通常取?45°、0°、45°、90°四種；

（2）考慮到CFRP 的層間裂紋、制造工藝約束條件以及應(yīng)力集中的情況，碳纖維不可連續(xù)鋪放（3～4）層；

（3）4種角度應(yīng)滿足的鋪層層數(shù)要求是，0°與90°鋪層占比為（10～30）%，±45°鋪層占為（20～50）%。

3.2 細(xì)觀鋪層優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

材料層面中，CFRP的固有頻率為設(shè)計(jì)目標(biāo)，CFRP鋪層角度與鋪層厚度作為設(shè)計(jì)變量。采用自適應(yīng)遺傳算法求解數(shù)學(xué)模型，材料層面優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型為：

式中：f—目標(biāo)函數(shù)，表示CFRP鋪層優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)件固有頻率，由ANSYS求得。θ1，…，θn—CFRP的各鋪層角度；d2—材料層面的離散型暫態(tài)變量；dp—定值，表示CFRP 層單元厚度?？備亴訑?shù)n可通過d2/dp表示，為減少固化變形，采用對稱鋪層；n—偶數(shù)；g1—強(qiáng)度失效判據(jù)；e、r、p、h—0°、?45°、45°和90°鋪層角度的鋪層數(shù)。

4 宏細(xì)觀整體優(yōu)化

4.1 宏細(xì)觀整體優(yōu)化算法

宏細(xì)觀整體優(yōu)化法的設(shè)計(jì)變量通常包含全體子層面設(shè)計(jì)變量。對于離散型設(shè)計(jì)變量往往采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，自適應(yīng)遺傳算法更具備良好的全局收斂能力，使其在求解協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中廣泛應(yīng)用。

例如：文獻(xiàn)[9]在整體優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程中，設(shè)計(jì)變量包含結(jié)構(gòu)與材料層面的所有變量。采用Matlab編制遺傳算法優(yōu)化主程序，使用APDL語言進(jìn)行參數(shù)化建模與分析，通過Matlab與ANSYS的相互調(diào)用實(shí)現(xiàn)宏細(xì)觀整體優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4.2 宏細(xì)觀整體優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

宏細(xì)觀整體優(yōu)化法首先在結(jié)構(gòu)層面與材料層面建立初始變量參數(shù)，使用APDL語言完成參數(shù)化建模并保存分析結(jié)果數(shù)據(jù)為txt文件，采用Matlab編制優(yōu)化主程序，調(diào)用APDL命令流并讀取分析結(jié)果txt文件，若滿足收斂要求，則輸出優(yōu)化結(jié)果。否則修改結(jié)構(gòu)層面與材料層面的初始變量參數(shù)，進(jìn)入循環(huán)計(jì)算直至滿足收斂要求后，輸出優(yōu)化結(jié)果。其數(shù)學(xué)模型為：

式中：M2—目標(biāo)函數(shù)，表示整體優(yōu)化法的CFRP 結(jié)構(gòu)件質(zhì)量；ω1，…，ωm—NURBS 曲線控制點(diǎn)的權(quán)因子；x1…xm—NURBS 控制點(diǎn)橫坐標(biāo)；d—離散型變量，表示CFRP結(jié)構(gòu)件的總厚度；θ1，…，θn—CFRP的各鋪層角度；ai、bi—NURBS曲線控制點(diǎn)橫坐標(biāo)的區(qū)間；g1—強(qiáng)度失效判據(jù)；n—碳纖維鋪層總層數(shù)；e、r、p、h—0°、?45°、45°和90°鋪層角度的鋪層數(shù)，CFRP的層單元厚度為定值。

5 基于變量分層的宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化

5.1 變量分層的基本思想

針對宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中由于設(shè)計(jì)變量較多導(dǎo)致收斂慢的問題，采用變量分層對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行分層處理，將設(shè)計(jì)變量統(tǒng)稱為協(xié)同優(yōu)化變量，協(xié)同優(yōu)化變量分為全局變量與局部變量（ωi、xi、θk），全局變量分為公共變量d與耦合變量Y。

這樣，宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化系統(tǒng)層面中的設(shè)計(jì)變量只包含公共變量與耦合變量，耦合變量Y相當(dāng)于固有頻率、強(qiáng)度等，可由局部變量與公共變量復(fù)合而得，對于具體的工程實(shí)例，耦合變量可通過有限元軟件求得。

各子層面內(nèi)包含局部變量與暫態(tài)變量di，在子層面的目標(biāo)函數(shù)中加入體現(xiàn)暫態(tài)變量與公共變量差異的懲罰項(xiàng)，確保公共變量的優(yōu)化結(jié)果一致。

5.2 基于變量分層的層面優(yōu)化設(shè)計(jì)

變量分層的協(xié)同優(yōu)化分為系統(tǒng)層面優(yōu)化與子層面優(yōu)化，子層面包含結(jié)構(gòu)層面與材料層面。

結(jié)構(gòu)層面中，結(jié)構(gòu)件質(zhì)量最小作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，結(jié)構(gòu)件的截面輪廓控制節(jié)點(diǎn)xi及其權(quán)因子ωi作為結(jié)構(gòu)層面的局部變量，結(jié)構(gòu)件厚度d1作為結(jié)構(gòu)層面暫態(tài)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。材料層面中，CFRP鋪層固有頻率最大作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，CFRP的鋪層角度θk作為材料層面的局部變量，結(jié)構(gòu)件鋪層厚度d2作為材料層面暫態(tài)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。系統(tǒng)層面中，全局變量包含公共變量與耦合變量[10]，CFRP結(jié)構(gòu)件質(zhì)量最小作為系統(tǒng)層面設(shè)計(jì)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

5.3 基于變量分層的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)

采用分層協(xié)同優(yōu)化法求解協(xié)同優(yōu)化問題時，將宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化分為系統(tǒng)層面優(yōu)化與子層面優(yōu)化，子層面優(yōu)化包含結(jié)構(gòu)層面優(yōu)化與材料層面優(yōu)化，變量分層的設(shè)計(jì)框架以及數(shù)據(jù)傳遞，如圖1所示。

圖1 基于變量分層的協(xié)同優(yōu)化框架Fig.1 Collaborative Optimization Framework Based on Variable Stratification

圖1的系統(tǒng)層面中，在確保耦合變量一致的情況下，對CFRP結(jié)構(gòu)件的質(zhì)量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。d—系統(tǒng)層面的離散型公共變量，表示結(jié)構(gòu)件總厚度。Y—耦合變量，表示CFRP結(jié)構(gòu)件的固有頻率。Yi—各層面的耦合變量；Ai—公共變量與耦合變量的計(jì)算模型；g1為強(qiáng)度失效判據(jù)；|d?di|2=0—迫使各子層面暫態(tài)變量與系統(tǒng)層面公共變量差異最小的懲罰項(xiàng)。

ωi、xi—結(jié)構(gòu)層面的局部變量；d1—離散型暫態(tài)變量，表示結(jié)構(gòu)層面預(yù)設(shè)的結(jié)構(gòu)件總厚度。δ1—統(tǒng)一子層面優(yōu)化目標(biāo)量綱的系數(shù)；[a，b]—NURBS 曲線控制點(diǎn)的橫坐標(biāo)區(qū)間；g1—強(qiáng)度失效判據(jù)；Y1—結(jié)構(gòu)層面的耦合變量，表示固有頻率，由ANSYS 求得。A1—結(jié)構(gòu)層面中由局部變量（ωi，x）i與暫態(tài)變量d1求出的固有頻率。

θk—材料層面的局部變量；d2—離散型暫態(tài)變量，表示材料層面預(yù)設(shè)的CFRP鋪層總厚度；δ2—統(tǒng)一子層面優(yōu)化目標(biāo)量綱的系數(shù)；dp—定值，表示CFRP層單元厚度，總鋪層數(shù)n可通過d2/dp表示，為滿足對稱鋪層要求，n—偶數(shù)；g1—強(qiáng)度失效判據(jù)；e、r、p、h分別代表0°、?45°、45°和90°鋪層角度的鋪層數(shù)；Y2—材料層面的耦合變量，表示固有頻率。A2—材料層面中由局部變量θk與暫態(tài)變量d2求出的固有頻率。

各子層面對層面內(nèi)的局部變量與暫態(tài)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，將局部變量與暫態(tài)變量的最優(yōu)解傳遞到系統(tǒng)層面求解全局變量。系統(tǒng)層面將全局變量最優(yōu)解d*、傳遞回子層面，更新子層面中的暫態(tài)變量di。與整體優(yōu)化法相比，基于變量分層的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的不同之處在于：

（1）分層協(xié)同優(yōu)化法可在子層面中分別建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行獨(dú)立優(yōu)化設(shè)計(jì)。

（2）各層面中包含耦合變量的約束條件，可確保耦合變量優(yōu)化結(jié)果的一致性。

（3）在子層面的目標(biāo)函數(shù)中加入懲罰項(xiàng)，可迫使子層面中暫態(tài)變量與系統(tǒng)層面中公共變量的優(yōu)化結(jié)果最終趨于一致。

（4）系統(tǒng)層面包含公共變量與耦合變量，減少系統(tǒng)層面中的設(shè)計(jì)變量實(shí)現(xiàn)模型降維，提高算法收斂效率。

6 優(yōu)化算例

6.1 問題描述

以汽車CFRP頂蓋為例，復(fù)合材料采用YPH?209環(huán)氧樹脂作為基體，選擇T300型碳纖維作為增強(qiáng)纖維，汽車CFRP頂蓋幾何尺寸長寬厚的初始值為（1295×1085×6）mm，CFRP層單元厚度為0.25mm，CFRP初始總鋪層數(shù)為24層。實(shí)現(xiàn)汽車頂蓋輕量化設(shè)計(jì)的同時提高其減振性能，并與原先采用的鋼制汽車頂蓋作對比。

6.2 協(xié)同優(yōu)化過程

CFRP頂蓋的宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)包含相互耦合的結(jié)構(gòu)層面與材料層面。截面橫坐標(biāo)xi的初始節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為[15 190 480 1295]，預(yù)設(shè)的暫態(tài)變量d1取值為6mm。如圖2所示，頂蓋的NURBS初始權(quán)因子ω=[1 1 1 1]，結(jié)構(gòu)層面優(yōu)化后的權(quán)因子為[1 0.7611 0.7424 1]，截面橫坐標(biāo)優(yōu)化結(jié)果為[15 206.65 465.48 1295]，結(jié)構(gòu)層面的暫態(tài)變量d1優(yōu)化結(jié)果為6mm。

圖2 頂蓋截面的NURBS結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)Fig.2 The Optimal Design of NURBS Structure for Car Roof

材料層面中，采用遺傳算法對CFRP 鋪層角度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，CFRP頂蓋鋪層采取對稱鋪設(shè)，預(yù)設(shè)的材料鋪層厚度暫態(tài)變量d2為6mm，初始鋪層為[?45/0/45/90]3s，得到材料層面的暫態(tài)變量d2優(yōu)化結(jié)果為7mm。

系統(tǒng)層面的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，局部變量與暫態(tài)變量為各子層面的最優(yōu)解，將系統(tǒng)層面優(yōu)化得到的總厚度d與固有頻率Y的最優(yōu)解反饋回子層面，通過子層面目標(biāo)函數(shù)中的懲罰項(xiàng)更新子層面的暫態(tài)變量di，得到公共變量d的全局最優(yōu)解為6mm。

采用整體優(yōu)化法和分層協(xié)同優(yōu)化法求解算例，從收斂次數(shù)上判斷分層協(xié)同優(yōu)化法的快速收斂性，以整體優(yōu)化法的設(shè)計(jì)結(jié)果為基準(zhǔn)，根據(jù)結(jié)果誤差判斷兩種方法的精度。如圖3所示，基于變量分層的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)迭代40次左右收斂。

圖3 基于變量分層的協(xié)同優(yōu)化迭代過程Fig.3 The Collaborative Optimization Iterative Process Based on Variable Stratification

采用ANSYS驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果，從圖4可以看出，原先采用的鋼制頂蓋在固有頻率為84.81Hz振動下的最大變形為0.3mm。從圖5可以看出，宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化后的CFRP頂蓋在191.243Hz固有頻率振動下的最大變形為0.67mm。

圖4 鋼制頂蓋模態(tài)振型圖Fig.4 Modal Shape of Car Steel Roof

圖5 協(xié)同優(yōu)化后CFRP頂蓋模態(tài)振型圖Fig.5 Modal Shape of Car CFRP Roof After Collaborative Optimization

兩種不同方法的CFRP頂蓋優(yōu)化結(jié)果，如表1所示。與原先采用的鋼制頂蓋相比，質(zhì)量從66.18kg 下降至16.86kg，降幅為74.5%，CFRP 頂蓋固有頻率從84.81Hz提高至191.24Hz，增幅為125.5%，優(yōu)化效果顯著。與整體優(yōu)化法相比，分層協(xié)同優(yōu)化法的迭代次數(shù)降幅為51.2%。

表1 兩種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的結(jié)果對比Tab.1 Comparison Results of Two Optimization Design Methods

7 結(jié)論

（1）針對CFRP結(jié)構(gòu)件宏細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)中由于設(shè)計(jì)變量較多導(dǎo)致收斂慢的問題，提出分層協(xié)同優(yōu)化法，該方法能夠提高此類優(yōu)化設(shè)計(jì)的收斂效率并確保結(jié)果的準(zhǔn)確性。（2）根據(jù)汽車CFRP頂蓋的減振要求進(jìn)行NURBS結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，為解決此類自由曲面結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題提供思路。