機械臂參數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型及參數(shù)影響分析研究

王開帥，朱玉全

（1.江蘇食品藥品職業(yè)技術學院 基礎教學部，江蘇 淮安 223003；2.江蘇大學計算機科學與通信工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

1 引言

隨著機器人發(fā)展，機器人得到了廣泛的應用。為提高農業(yè)的自動化水平和減少人力勞動工作強度，學者們將機器人用于農業(yè)工程，并進行了深入研究[1]。文獻[2]設計一種夾剪蘋果采摘機的機械臂，文獻[3]設計出了一種枸杞采摘的智能雙機械臂結構的采摘機器人，文獻[4]基于機器視覺設計了番茄智能采摘機器人，文獻[5]設計了葡萄采摘4?DOF機械臂。機械臂是采摘機器人關鍵組成要素，文獻[6]采用SA?PSO算法優(yōu)化了油茶果采摘機械結構參數(shù)；文獻[7]采用MATLAB優(yōu)化工具箱實現(xiàn)了果蔬采摘機械臂的參數(shù)優(yōu)化；文獻[8]基于參數(shù)化分析方法優(yōu)化了蘋果采摘機器人結構參數(shù)；文獻[9]基于WORKBENCH實現(xiàn)了對香蕉采摘機械手夾持裝置的優(yōu)化；文獻[10]設計了欠驅動機構黃瓜采摘機械臂，并采用二次多項式建立了設計參數(shù)與優(yōu)化目標之間的數(shù)學模型，實現(xiàn)了參數(shù)的優(yōu)化。

文獻[10]建立的數(shù)學模型的精度是實現(xiàn)機構參數(shù)優(yōu)化的關鍵；代理模型技術是建立設計參數(shù)與優(yōu)化目標之間數(shù)學模型的有效辦法，常用的代理模型有響應面、KRIGING、RBF等，針對文獻[10]中的欠驅動機構的優(yōu)化問題，提出了一種基于混合蛙跳算法改進的KRIGING代理模型技術來建立設計參數(shù)與優(yōu)化目標之間的數(shù)學模型，利用KRIGING模型建立設計參數(shù)與滑道擺動角度峰值之間的數(shù)學模型。

通過混合蛙跳算法優(yōu)化傳統(tǒng)kriging 模型變異函數(shù)的參數(shù)，提高建立的數(shù)學模型精度，為參數(shù)優(yōu)化和分析提供更加準確的數(shù)學模型；最后基于建立的參數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型，分析了滑塊驅動速度、滑軌高度、滑軌傾角單獨變化和交叉變化時對滑道擺動角度峰值的影響，為設計的參數(shù)選擇提供依據(jù)。

2 機構運動分析

采摘機械臂主要由切刀、擺動氣缸、上層機械臂、直線滑臺、下層機械臂、滑軌、滾輪、軸、后連桿、前連桿、護板及滑道等組成[10]；機構的運動矢量圖[10]，如圖1所示。

圖1 采摘機械臂機構矢量圖Fig.1 Vector Diagram of Picking Manipulator Mechanism

如圖1可知，采摘機械臂主要由5個構件組成，其中活動構件4個，5個運動副均為低副，則其自由度則為：

該機構中原動件的數(shù)量S=1，則有F=2 >S=1，機構屬于欠驅動機構。根據(jù)矢量運算，

為利用復數(shù)矢量法進行機構分，將式（2）表達成復數(shù)形式則有：

根據(jù)歐拉公式，則式（3）則可以表達為：

根據(jù)式（6）和式（7），可以得到構件4的滑動位移：

由式（9）可知，構件4的運動由V1，h，l2，τ決定；但h=sinβ=常數(shù)，則件4的運動由V1，l2，τ決定。因此V1，l2，τ則作為設計變量。V1，l2，τ的取值范圍為：

3 基于混合蛙跳算法改進kriging模型

3.1 KRIGING模型

KRG（克里金）在擬合函數(shù)時，將未知函數(shù)看成是某個靜態(tài)隨機過程的具體實現(xiàn)，即對于任意位置的x，對應的函數(shù)值Y(x)被一個隨機函數(shù)y(x)代替，而y(x)只是Y(x)的可能結果之一。其插值結果定義為已知樣本函數(shù)響應值的線性加權，即：

式中：fj(x)—基函數(shù)，一般為多項式；

βj—相對應的系數(shù)；

Z(x)是一個靜態(tài)隨機過程，其滿足均值為0，方差為σ2。

且對于設計空間內不同兩點處所對應的隨機變量之間的協(xié)方差為：

其中，R(xi，xj)—相關性函數(shù)，它表示不同位置處隨機變量之間的相關性，常用的相關性函數(shù)為高斯型函數(shù)。為保證Kriging預測值與真實函數(shù)值之間的均方根誤差（RMSE）最小，可得到Kriging模型的近似表達式：

式中：F—由基函數(shù)向量組成的矩陣；

—KRG模型系數(shù)的最小二乘估計值；

R—相關性矩陣；

Ns—樣本點數(shù)。

式中：θ—KRG模型的超參數(shù)，它可以通過極大似然估計法求解優(yōu)化問題來確定：

3.2 基于混合蛙跳算法改進的kriging模型模

Kevin Lanes 和Mustafa Eusuff 于2003 年提出了混合蛙跳算法（SFLA）［11］，它是一種具有較強局部搜索能力全局搜索能力啟發(fā)式智能算法；這種算法的有效性不倚賴問題，適用于復雜工程問題求解［11?12］。其實現(xiàn)目標優(yōu)化步驟為：

（1）初始化：包括種群大小F、種群個數(shù)m和步長；隨機產生包含F(xiàn)只青蛙的群體，并計算每只青蛙的適應度；假設（fx）是一S維函數(shù)，在其空間中產生F個體為S緯空間的一個解(i=1，2，…F)。

（2）子種群劃分：適應度大小的值對整個蛙群進行排序并分解為m個族群，計算每個解的目標函數(shù)值f(xi)(i=1，2，…F)，按照降序將目標函數(shù)值進行排列，一個子群中，用xb和xw分別表示目標函數(shù)值最好和最差對就有解，xg用來表示目標函數(shù)最優(yōu)值對應的解。

（3）局部搜索：每個族群執(zhí)行it次局部搜索以更新本族群的最差解（記為xw），在迭代過程中，其更新公式為：

其中，rand（）—（0～1）之間的隨機數(shù)；Di—青蛙的移動步長，Dmax表示允許青蛙移動的最大距離。

（4）子種群混合：所有族群完成局部搜索后，將所有青蛙混合在一起重新分組，當次迭代結束；

（5）終止條件判斷：滿足收斂條件則終止，否則重新排序并劃分族群，然后繼續(xù)執(zhí)行（3）局部搜索。

4 基于改進的kriging模型機械臂擺動優(yōu)化數(shù)學模型

4.1 基于代理模型的欠驅動機構參數(shù)分析流程

基于近似模型的建立機械臂擺動優(yōu)化數(shù)學模型和實現(xiàn)參數(shù)分析主要包括了確定變量及其水平取值、DOE 實驗設計與采樣、近似模型建立與誤差驗證、參數(shù)分析等步驟，具體流程，如圖2所示。

圖2 基于混合蛙跳?kriging模型的欠驅動機構參數(shù)分析流程Fig.2 Parameter Analysis Flow of Underactuated Mechanism Based on Shuffled Frog Leaping Algorithm?Kriging Model

4.2 試驗設計

對V1，l2，τ三個參數(shù)在其取值范圍間之，采用均勻試驗設計方法進行試驗設計，其試驗設計結果及響應值（滑道擺動峰峰值），如表1所示。

表1 均勻試驗設計及響應結果Tab.1 Uniform Test Design and Response Results

4.3 數(shù)值仿真

為驗證提出算法的有效性，在MATLAB 數(shù)字仿真平臺實現(xiàn)了應該算法，并將這里的算法與文獻[10]中的多項式回歸擬合方法進行對比；這里的算法與文獻[10]中的方式的相關系數(shù)（R2）均方根誤差（RMSE）以及相對最大絕對誤差（RMAE）評價指標情況，如表2所示。

表2 優(yōu)化前后評價指標情況Tab.2 Evaluation Index Before and After Optimization

從表2中可以看出，與文獻[10]中的利用多項式回歸擬合方法建立的參數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型相比較，提出的基于SFLA算法改進的kriging算法相關系數(shù)R2，相對最大絕對誤差（RMAE），最大絕對誤差（RMAE）均得到了改進，則說改進的算法的全局近似能力，局部近似能力得到了提高，精度更高。文獻[10]和這里算法建立數(shù)學模型發(fā)后的殘差圖，如圖3、圖4所示。

圖3 文獻[10]的殘差圖Fig.3 Residual Diagram of Literature[10]

圖4 這里提出方法的殘差圖Fig.4 Residual Diagram of Proposed Method

圖中可以看出，基于文獻[10]的方法建立的模型其誤差在（?5E?3，5E?3）之間，而基于這里算法的建立的模型其誤差在（?1E?15，1E?15）之間；且本文算法的誤差分布相對比較集中，而文獻[10]的誤差比較分散；綜上所述建立的機械臂滑塊驅動速度、滑軌高度、滑軌傾角與滑道擺動角度峰值之間的參數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型精度更高，誤差更小，為參數(shù)優(yōu)化提供更加精確的數(shù)學模型。

5 設計參數(shù)對滑道擺動角度峰值的影響

在4.2建立的數(shù)學模型的基礎上，討論V1，l2，τ三個參數(shù)在其取值范圍變化時對滑道擺動角度峰值的影響，滑塊驅動速度、滑軌高度、滑軌傾角單獨變化時對滑道擺動角度峰值的影響，如圖5所示。

其中，滑塊驅動速度單獨變化時對滑道擺動角度峰值的影響，如圖5（a）所示。滑軌傾角單獨變化時對滑道擺動角度峰值的影響，如圖5（b）所示?；壐叨葐为氉兓瘯r對滑道擺動角度峰值的影響，如圖5（c）所示。

從圖5可以看出，V1，l2，τ三個參數(shù)在其取值范圍由小變大的時，滑道擺動角度峰值變化呈現(xiàn)變小再變大的變化趨勢，滑軌傾角引起，滑道擺動角度峰值變化幅度最大，其次是驅動速度，變化幅度最小的是滑軌高度。

圖5 參數(shù)單獨變化時對滑道擺動角度峰值的影響Fig.5 Influence of Parameters on the Swing Angle Slide Value

滑塊驅動速度、滑軌高度、滑軌傾角交叉變化時對滑道擺動角度峰值影響等高線圖，如圖6所示。

圖6 參數(shù)交叉變化時對滑道擺動角度峰值影響等高線圖Fig.6 Contour Map of Influence of Parameter Cross Change on the Swing Angle Slide Value

其中，滑塊驅動速度?滑軌傾角交叉變化時對滑道擺動角度峰值影響等高線圖，如圖6（a）所示?；瑝K驅動速度?滑軌高度交叉變化時對滑道擺動角度峰值影響等高線圖，如圖6（b）所示。滑軌傾角?滑軌高度交叉變化時對滑道擺動角度峰值影響等高線圖，如圖6（c）所示。

其次是滑塊驅動速度?滑軌傾角交叉變化，引起滑道擺動角度峰值變化小的是滑塊驅動速度?滑軌高度交叉變化。等高線的間距越小，則說明滑塊驅動速度、滑軌高度、滑軌傾角兩兩之間具有相互增強作用。

6 結論

針對欠驅動機構運動的不確定性引起的采摘機械臂滑道大幅度擺動現(xiàn)象導致的機構運動不穩(wěn)定性的問題，為優(yōu)化機械臂參數(shù)，減少滑道擺動角度峰峰值，提出了一種基于代理模型技術來建立設計參數(shù)與優(yōu)化目標之間的數(shù)學模型。

同時，提出了一種基于混合蛙跳算法的kriging 模型優(yōu)化方法，通過混合蛙跳算法優(yōu)化傳統(tǒng)kriging模型變異函數(shù)的參數(shù)，提高kriging模型的建模精度。

（1）改進后的算法其相關系數(shù)（R2），均方根誤差（RMSE）以及相對最大絕對誤差（RMAE）均得到了不同程度的改良，提高了傳統(tǒng)kriging 算法的全局近似能力，減少了局部誤差，提升了擬合精度。

（2）與文獻[10]相比較，本文所提出的算法具有更高的精度，為實現(xiàn)機械臂參數(shù)優(yōu)化，解決欠驅動機構運動的不確定性引起的采摘機械臂滑道大幅度擺動現(xiàn)象導致的機構運動不穩(wěn)定性的問題，提供更加精確參數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型。

（3）滑塊驅動速度、滑軌高度、滑軌傾角三個參數(shù)在其取值范圍由小變大的時，滑道擺動角度峰值變化呈現(xiàn)變小再變大的變化趨勢，引起滑道擺動角度峰值變化幅度由大到小的順序為滑軌傾角、驅動速度、滑軌高度。

（4）交叉變化引起的滑道擺動角度峰值由大到小的順序為滑軌傾角?滑軌高度、滑塊驅動速度?滑軌傾角、滑塊驅動速度?滑軌高度。