磁網(wǎng)絡(luò)電機模型下電機?齒輪傳動特性研究

陳毅，韓旭朋，劉煥學(xué)，張全逾

（1.河北石油職業(yè)技術(shù)大學(xué)汽車工程系，河北 承德 067000；2.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院，陜西 西安 710049）

1 引言

行星齒輪電機傳動系統(tǒng)由于其高可靠性、高功率、低成本等諸多優(yōu)點，在機械傳動領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。磁網(wǎng)絡(luò)電機模型（Permeance Network Model，簡稱PNM）的優(yōu)勢在于它可以在計算精度和效率之間實現(xiàn)良好的平衡，能夠模擬物理場分布，在研究齒輪和電機的動態(tài)性能方面具有較好的應(yīng)用價值[1?2]。

目前在齒輪和電機的動態(tài)性能研究領(lǐng)域的大部分研究集中電機動力學(xué)建模方面[3?4]，電機建模最常用的方法是集總參數(shù)模型和有限元模型。然而，傳統(tǒng)的集總參數(shù)模型未考慮機器內(nèi)部的空間和非線性影響[5]，而有限元模型在考慮空間諧波和非線性影響時需要大量的計算時間。文獻[6]應(yīng)用PNM方法，通過結(jié)合有限元法的磁導(dǎo)值來模擬感應(yīng)電機的動態(tài)性能。文獻[7]提出了PNM電機耦合模型，該模型可同時計算徑向和切向運動的偏心力，以進行機械振動穩(wěn)定性和非線性分析。文獻[8]運用牛頓動力學(xué)理論建立二級齒輪傳動平移?扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，討論中間軸連接剛度的改變對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。文獻[9]研究各種不同工況下行星輪系的非線性動態(tài)特性，提升了輪系動力學(xué)特性分析效率。文獻[10]對齒輪箱行星輪系統(tǒng)采用集中參數(shù)法建立行星輪系扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，討論了時變嚙合剛度和相位差對行星輪系固有特性和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性的影響。文獻[11]考慮箱體、行星架的結(jié)構(gòu)柔性后，建立風(fēng)電齒輪箱耦合動力學(xué)模型，并分析了其動態(tài)響應(yīng)。文獻[12]推導(dǎo)了任意空間運動狀態(tài)下中心構(gòu)件和行星輪運動方程，建立了行星齒輪傳動系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型。文獻[13]在考慮齒輪副間時變接觸力和齒輪柔性的基礎(chǔ)上，建立了系統(tǒng)剛?cè)狁詈戏抡婺Ｐ汀?/p>

本研究在前人研究的基礎(chǔ)上提出電機?齒輪耦合系統(tǒng)的動力學(xué)模型，該模型在非線性磁網(wǎng)絡(luò)模型（PNM）的基礎(chǔ)上考慮了行星齒輪系統(tǒng)的橫向扭轉(zhuǎn)特性，應(yīng)用該模型可與電機模型相結(jié)合，從而進行機電耦合動力學(xué)分析，通過仿真模擬了感應(yīng)電機的動力性能，研究分析對比分析了PNM電機模型機電系統(tǒng)的響應(yīng)與動態(tài)電機模型機電系統(tǒng)的響應(yīng)，同時分析了磁飽和效應(yīng)對機電耦合系統(tǒng)動力學(xué)的影響。

2 磁網(wǎng)絡(luò)電機模型

PNM方法是將電磁系統(tǒng)分解成磁通管，如圖1所示。以磁通量和磁通勢（MMF）為變量，每根磁通管有著磁導(dǎo)的特征，所有磁導(dǎo)連接形成一個磁網(wǎng)絡(luò)模型，出現(xiàn)在磁等效電路中的單元可以分為兩組：有源（MMF）和無源（磁導(dǎo)），如圖2所示。這里用磁導(dǎo)表示磁阻Rm的倒數(shù)，定義如下：

圖1 磁通管的定義Fig.1 Definition of Fluxtube

圖2 磁等效電路的幾何定義Fig.2 Geometric Definition of Magnetic Equivalent Circuit

式中：∧、μ、A（x）和l—磁導(dǎo)、滲透率、橫截面積和長度。磁通勢（MMF）可以通過將每相的電流乘以定子槽中的匝數(shù)或轉(zhuǎn)子回路電流來得到，轉(zhuǎn)子回路電流可以表示為在磁軛或齒中。在計算磁導(dǎo)和磁通勢（MMF）后，磁通管上的磁標(biāo)量勢u可由下列方程求得[14]：

式中：(u1?u2)—任意兩點1和2之間的磁標(biāo)量勢；φ12—從點1到點2的磁通量；∧12—兩點之間的磁導(dǎo)。

鼠籠式異步電動機（SCIM）定子和轉(zhuǎn)子的磁導(dǎo)率以及模型中使用的幾何參數(shù)，如圖3所示。定子中的主磁通路徑一般由定子磁軛∧sb、定子輪齒∧st和定子齒尖對齒尖∧stst磁導(dǎo)元件表示，圖中的定子磁軛∧sb和定子輪齒∧st中的黑點分別代表定子軛Msb和定子齒Mst的節(jié)點勢能，轉(zhuǎn)子磁導(dǎo)和節(jié)點勢能以類似的方式表示。

圖3 定子和轉(zhuǎn)子磁導(dǎo)幾何模型Fig.3 Geometric Model of Stator and Rotor Permeance

氣隙磁導(dǎo)是特定定子?轉(zhuǎn)子之間的磁導(dǎo)，它取決于輪齒之間的重疊面積。對于具有Ns個定子齒和Nr個轉(zhuǎn)子齒的電機系統(tǒng)，總共有Ns×Nr個氣隙磁導(dǎo)。氣隙磁導(dǎo)與轉(zhuǎn)子位置的關(guān)系，如圖4所示。PNM 模型考慮了定子、轉(zhuǎn)子和氣隙磁導(dǎo)，可以根據(jù)參考文獻[15]中給出的方法進行計算。磁網(wǎng)絡(luò)和電網(wǎng)絡(luò)之間的類比關(guān)系可以通過方程（2）來建立，磁標(biāo)量勢、磁通量和磁導(dǎo)分別等效于電路的電壓、電流和電導(dǎo)。定子節(jié)點方程可以表示為：

圖4 氣隙磁導(dǎo)與轉(zhuǎn)子位置θ的關(guān)系Fig.4 The Relationship Between Air Gap Permeance and Rotor Position θ

轉(zhuǎn)子節(jié)點方程可以類似定子節(jié)點方程得到，磁鏈、電壓、定子和轉(zhuǎn)子回路電流之間關(guān)系的方程可以寫成：

式中：Vqd0—定子電壓；R—轉(zhuǎn)子電阻矩陣；λ—定子和轉(zhuǎn)子磁鏈矩陣；I—電流，機電耦合扭矩τe如式（6）所示：

式中：T—電機的極數(shù)。

飽和度會影響感應(yīng)電機的瞬態(tài)扭矩、電流和穩(wěn)定時間。鋼結(jié)構(gòu)的非線性磁導(dǎo)μFe可以通過磁場強度H函數(shù)來獲得，如式（7）所示：

式中：H=ΔM/l，ΔM—鋼結(jié)構(gòu)兩端的磁勢；l—鋼結(jié)構(gòu)的長度。

3 行星齒輪系統(tǒng)和感應(yīng)電機模型

在電機?齒輪系統(tǒng)中，外部載荷施加在行星齒輪系統(tǒng)的行星架上，動力通過軸系從電機傳遞到行星齒輪系統(tǒng)的太陽輪，如圖5所示。將軸簡化為質(zhì)點，不考慮考慮軸或電機轉(zhuǎn)子的軸承，僅考慮軸的扭轉(zhuǎn)剛度。所有齒輪均為無誤差的正齒輪，行星齒輪均勻分布在太陽齒輪周圍，太陽齒輪與軸或電機轉(zhuǎn)子之間沒有軸錯位。由于電機的轉(zhuǎn)速因整個系統(tǒng)的內(nèi)部和外部激勵而變化，在機電耦合模擬中必須考慮齒輪系統(tǒng)的瞬時轉(zhuǎn)速。因此，在行星齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型中，將每個齒輪和齒輪架的旋轉(zhuǎn)和平移作為廣義坐標(biāo)。行星齒輪系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，如圖6所示。

圖5 機電系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Structure Diagram of Electromechanical System

圖6 直齒行星齒輪系統(tǒng)的橫向扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型Fig.6 The Torsion Dynamics Model of Spur Planetary Gear System

太陽齒輪和齒圈的角位移θi（i=s，r）為移動坐標(biāo)系OiXiYi中測量的相對值，坐標(biāo)系OiXiYi固定在齒輪架上并且與齒輪架一起旋轉(zhuǎn)。載角位移θc是靜態(tài)坐標(biāo)系OcXcYc下測得的絕對值，行星齒輪角位移θpi（i=1，2，3）是在移動坐標(biāo)系Onξnηn中測量的相對值，坐標(biāo)系οnξnηn固定在齒輪架上并隨齒輪架移動。因此，動態(tài)行星齒輪模型中存在三個坐標(biāo)系。Ts和Tc分別表示作用在太陽和行星架上的扭矩，Tr表示齒輪箱殼體作用在齒圈上的扭矩。

嚙合變形獨立于參考系，因此，在運動坐標(biāo)系OiXiYi或οnξnηn中可以得到嚙合齒輪副和軸承的變形和坐標(biāo)關(guān)系。從圖7中可知，可以求出齒輪和軸承的接觸變形，εj（j=spi，rpi，cri，cti）代表第i個行星齒輪相對于太陽齒輪或齒圈的變形，以及第i個行星齒輪軸承相對于齒輪架的徑向或切向壓縮變形。太陽行星和環(huán)形行星齒輪嚙合變形方程如下：

圖7 行星齒輪系統(tǒng)的嚙合變形Fig.7 Meshing Deformation of Planetary Gear System

式中：uj=rbj·θj（j=s，p1，p2，p3，r）表示太陽輪、行星輪和齒圈的旋轉(zhuǎn)角，xj，yj（j=s，r）表示太陽輪、行星輪和齒圈的位移，ξj（j=1，2，3），ηj（j=1，2，3）表示第j個行星齒輪在ξ和η坐標(biāo)上的位移，其余部件的接觸變形可以通過類似的方式獲得。

齒輪嚙合的總勢能由赫茲能、彎曲能、剪切能和軸向壓縮能組成，嚙合剛度隨輪齒接觸位置的變化而變化，考慮行星齒輪的嚙合相位，計算太陽?行星齒輪嚙合剛度，如圖8所示。這三條線代表三個太陽?行星齒輪副的嚙合剛度。電機的等效電路示意圖，如圖9所示。Lm—勵磁電感；Lσs，L'σr—定子和轉(zhuǎn)子漏感；Rs，R'r—定子和轉(zhuǎn)子電阻，所有的定子和轉(zhuǎn)子量都是在四階d?q參考系中獲得，方程中所有的參數(shù)都為常數(shù)，如下方程式所示：

圖8 太陽?行星齒輪副的嚙合剛度Fig.8 The Meshing Stiffness of the Sun?Planetary Gear Pair

圖9 電機的等效電路示意圖Fig.9 Schematic Diagram of the Equivalent Circuit of the Motor

4 機電耦合效應(yīng)的動態(tài)特性分析

在仿真模型中，機電系統(tǒng)空載起動，在正常負載運行期間，電壓會出現(xiàn)不同程度的不對稱下降。機電系統(tǒng)的主要參數(shù)，如表1～表3所示。有意增加齒輪系統(tǒng)的軸承剛度，使其具有較大的剛度性能，在滿足精度損失的條件下減小其對齒輪系統(tǒng)力動力性能的影響。機電模型的結(jié)構(gòu)，如圖10所示。

圖10 機電模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.10 Schematic Diagram of the Electromechanical Model Structure

表1 磁網(wǎng)絡(luò)（PNM）電機模型數(shù)據(jù)Tab.1 Magnetic Network（PNM）Motor Model Data

表2 動態(tài)電機系統(tǒng)數(shù)據(jù)Tab.2 Dynamic Motor System Data

表3 行星齒輪系統(tǒng)數(shù)據(jù)Tab.3 Planetary Gear System Data

利用電機機械系統(tǒng)和軸的微分方程，建立了與行星齒輪模型S函數(shù)相聯(lián)系的PNM電機模型的Matlab/Simulink自定義函數(shù)，如式（13）、式（14）所示：

式中：J—轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量；θmotor—電機轉(zhuǎn)角；Tshaft—傳輸軸的扭矩；km，cm—軸的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼。

TCB—電磁轉(zhuǎn)矩計算模塊，MMS—機電系統(tǒng)；PGS—行星齒輪軸系?？梢钥闯?，PNM電機模型和PGS具有相同的轉(zhuǎn)角/轉(zhuǎn)速，且都承受來自行星齒輪系統(tǒng)的扭矩。通過扭矩和角度/速度這兩個部分的相互作用實現(xiàn)耦合，PNM 電機模型被簡化為動態(tài)電機模型，通過Simulink非線性求解器ode23tb對整個系統(tǒng)進行求解。兩種模型在正常載荷下太陽?行星齒輪嚙合力的頻譜，如圖11所示?？梢钥闯龌赑NM電機的機電系統(tǒng)的太陽?行星齒輪嚙合力的頻譜比動態(tài)電機模型的具有更多的峰值。除了從1×fm到5×fm的兩個模型中嚙合頻率fm的調(diào)制頻率外，頻率fT1和fT2均由PNM電機的系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩頻率引起的，其他頻率峰值是轉(zhuǎn)矩頻率與嚙合頻率的調(diào)制頻率。

圖11 太陽行星齒輪副的嚙合力頻率Fig.11 The Meshing Force Frequency of the Sun Planetary Gear Pair

電機系統(tǒng)頻譜對比圖，如圖12所示?？蛰d時，電機模型的電磁轉(zhuǎn)矩集中在零頻率，它是一條不受嚙合頻率影響的平滑曲線，圖12（a）所示。

當(dāng)施加負載時，非零頻率處的振幅增加，與調(diào)制嚙合頻率相關(guān)的峰值可以從電磁轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)子速度譜看出。然而，電流顯示的頻率對稱在嚙合頻率周圍，即kfm±f（1其中，k=1，2，3…，功率頻率f1=60Hz）與扭矩或轉(zhuǎn)子速度不同。對于空載狀態(tài)下的PNM電機模型系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)矩主頻率大約為720Hz，轉(zhuǎn)速主頻率大約為1800Hz。同時，PNM的電流具有更多的諧波頻率。

由于施加了外部載荷，扭矩頻率的振幅增加，且峰值頻率隨著轉(zhuǎn)速的降低而向左移動。當(dāng)系統(tǒng)加載時，次諧波轉(zhuǎn)矩或電流頻率隨著總頻譜振幅的增加而衰減，并且調(diào)制嚙合頻率僅出現(xiàn)在轉(zhuǎn)速頻譜中，如圖12（c）所示。

圖12 電機系統(tǒng)頻譜對比圖Fig.12 Spectrum Comparison Diagram of Motor System

根據(jù)所提出的模型，可以看出機電耦合系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力不會明顯影響電機的電磁轉(zhuǎn)矩或電流，但會影響系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速，這與[17?18]的實驗結(jié)果一致。

為了進一步研究磁飽和對機電耦合系統(tǒng)動力學(xué)的影響，將飽和狀態(tài)下PNM電機的電磁轉(zhuǎn)矩、電流和轉(zhuǎn)速等情況，與磁飽和減弱或忽略時的情況進行比較（通過增加硅鋼片的拐點磁通密度值），如圖13所示。

從圖13（a）、圖13（b）可以看出，當(dāng)飽和效應(yīng)減弱時，機電轉(zhuǎn)矩和電流僅具有主頻，然而，當(dāng)考慮飽和效應(yīng)時，會出現(xiàn)額外的諧波分量。這些諧波分量由轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率frotor和極數(shù)T決定，可通過以下公式計算：

當(dāng)飽和PNM電機負載時，總轉(zhuǎn)矩頻率值增加，如圖13（a）所示。除了式（15）中k=2和k=5時的主頻外，扭矩的諧波頻率振幅逐漸衰減，且由于轉(zhuǎn)速的降低，峰值頻率向左移動。電流頻率情況與扭矩頻率比較類似，如圖13（b）所示。如圖13（c）所示，轉(zhuǎn)速頻譜與電磁轉(zhuǎn)矩具有相同的頻率峰值。脈沖轉(zhuǎn)矩引起的速度波動是由電流諧波引起的，且它們之間相互作用。當(dāng)PNM電機的飽和效應(yīng)減弱時，機電系統(tǒng)電磁轉(zhuǎn)矩的次諧波頻率消失。

圖13 系統(tǒng)頻譜對比圖Fig.13 System Spectrum Comparison Diagram

無論負載如何，設(shè)飽和PNM電機系統(tǒng)下的電流頻譜主要集中在工頻f1，記為主槽諧波頻率，其余集中在工頻和旋轉(zhuǎn)頻率的調(diào)制頻率，記為飽和相關(guān)頻率，機電耦合系統(tǒng)的電流頻率可以通過式來計算：

主槽諧波頻率：

飽和相關(guān)頻率：

其中：R—轉(zhuǎn)子序號；s—轉(zhuǎn)子滑移系數(shù)。當(dāng)忽略飽和時，磁飽和效應(yīng)引起的電流諧波頻率只剩下750Hz、870Hz、1570Hz、1690Hz等主槽頻率。

磁飽和效應(yīng)對機電耦合系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，如圖14、圖15所示。從圖14可以看出，當(dāng)忽略飽和效應(yīng)時，機電耦合系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力頻譜沒有顯著變化。從圖15（a）、圖15（b）可以看出，轉(zhuǎn)矩和電流頻譜與圖13中PNM電機模型預(yù)測的趨勢比較類似。

如圖15（c）所示，對于空載的兩個系統(tǒng)，轉(zhuǎn)速通常受到轉(zhuǎn)矩的諧波頻率的影響，當(dāng)兩種PNM電機系統(tǒng)被加載時，調(diào)制的嚙合頻率和扭矩頻率都會顯示轉(zhuǎn)速頻譜上。在圖15（a）中，盡管轉(zhuǎn)矩頻譜中存在由飽和效應(yīng)引起的次諧波頻率，但是通過對比圖14、圖15（a）以及圖15（c），當(dāng)其負載時，嚙合力或轉(zhuǎn)速頻譜不會受到顯著影響。不同軸扭轉(zhuǎn)剛度對太陽行星齒輪嚙合力的均方根（RMS），如圖15（d）所示。

圖14 太陽行星齒輪副的嚙合力頻率Fig.14 The Meshing Force Frequency of the Sun Planetary Gear Pair

圖15 機電耦合系統(tǒng)動態(tài)特性Fig.15 Dynamic Characteristics of Electromechanical Coupling System

在軸剛度較低的情況下，均方根值有一個峰值，這意味著軸剛度會導(dǎo)致系統(tǒng)嚴重的振動，增加軸剛度會對動態(tài)嚙合力產(chǎn)生不同的影響，因此可以選擇特定的軸剛度來優(yōu)化機電耦合系統(tǒng)的動力性能。

5 結(jié)論

（1）在非線性磁網(wǎng)絡(luò)模型（PNM）的基礎(chǔ)上結(jié)合了行星齒輪系統(tǒng)的橫向扭轉(zhuǎn)特性，研究分析了電機?齒輪系統(tǒng)機電耦合模型的動態(tài)特性，在負載和空載狀態(tài)下，分別對比分析了PNM電機模型機電系統(tǒng)的響應(yīng)與動態(tài)電機模型機電系統(tǒng)的響應(yīng)。

（2）研究了磁飽和效應(yīng)對機電耦合系統(tǒng)動力學(xué)的影響。在忽略飽和效應(yīng)時，機電耦合系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力頻譜沒有顯著變化，轉(zhuǎn)矩頻譜中存在由飽和效應(yīng)引起的次諧波頻率，但負載時，嚙合力和轉(zhuǎn)速頻譜不會受到顯著影響。同時分析了軸剛度對動態(tài)嚙合力的影響，對于優(yōu)化電機?齒輪機電耦合動態(tài)特性具有重要參考價值。