航天器姿態(tài)機動規(guī)劃技術(shù)研究進展

徐 瑞，朱 哲，李朝玉，范宇麒，朱圣英，尚海濱

(1. 北京理工大學宇航學院， 北京 100081； 2. 深空自主導航與控制工業(yè)和信息化部重點實驗室(北京理工大學)， 北京 100081)

0 引 言

航天器在軌運行或深空探測過程中，需要執(zhí)行姿態(tài)機動。姿態(tài)機動是航天器從當前姿態(tài)轉(zhuǎn)換到目標姿態(tài)的再定向過程[1]。而姿態(tài)機動規(guī)劃是指對姿態(tài)機動過程中空間上的姿態(tài)路徑以及時間上的角速度、控制力矩等運動學、動力學參數(shù)進行綜合規(guī)劃求解，生成滿足各種約束的姿態(tài)機動路徑，本文中也稱作姿態(tài)規(guī)劃。姿態(tài)規(guī)劃是姿態(tài)控制系統(tǒng)中的重要環(huán)節(jié)，如圖1所示，在航天器自主姿態(tài)控制系統(tǒng)中，姿態(tài)測量敏感器獲取姿態(tài)和角速度參數(shù)在內(nèi)的測量數(shù)據(jù)，反饋輸出給姿態(tài)規(guī)劃和控制模塊。姿態(tài)規(guī)劃根據(jù)輸入的姿態(tài)約束和優(yōu)化目標，通過約束處理和指標優(yōu)化生成姿態(tài)機動路徑，以控制指令形式傳遞給姿態(tài)跟蹤控制模塊，進一步由執(zhí)行機構(gòu)執(zhí)行姿態(tài)機動軌跡。

圖1 航天器自主姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of spacecraft autonomous attitude control system

針對無指向約束下的姿態(tài)機動問題，采用姿態(tài)控制方法一般可得到有效的解決。多年來廣大學者在姿態(tài)控制領(lǐng)域進行了深入研究，采用經(jīng)典PID控制、根軌跡法和頻率響應(yīng)法、H2/H∞控制等方法對姿態(tài)控制器進行設(shè)計，可以有效地處理小角度姿態(tài)機動問題。近年來對滑模變結(jié)構(gòu)控制、模型預(yù)測控制、魯棒控制和最優(yōu)控制等多種現(xiàn)代控制理論的研究，使大角度姿態(tài)機動控制亦得到快速發(fā)展。然而在航天任務(wù)中，航天器姿態(tài)機動需要滿足一系列姿態(tài)指向約束，例如，強光天體(如太陽)的方向矢量不能進入相機和恒星敏感器等光學敏感器元件的視場；執(zhí)行目標探測任務(wù)時，天線要保持通信指向同時相機跟蹤目標等。在哈勃空間望遠鏡、卡西尼號以及深空一號等探測任務(wù)中都考慮了復(fù)雜姿態(tài)指向約束[2-4]，它們限制了航天器在姿態(tài)空間的機動路徑可行域。

在綜合考慮復(fù)雜多約束和能量消耗、機動時間等優(yōu)化指標的情況下，單獨采用姿態(tài)控制方法難以滿足約束和求解姿態(tài)機動路徑，姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)成為航天器姿態(tài)機動領(lǐng)域的重點研究方向之一[5-8]。在姿態(tài)規(guī)劃中綜合考慮各種復(fù)雜約束和優(yōu)化目標并通過規(guī)劃方法求解得到姿態(tài)機動路徑、運動學動力學參數(shù)，這樣既可以滿足多種姿態(tài)機動的約束，又能夠減少姿態(tài)機動的資源消耗和提高姿態(tài)控制精度。

姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)的應(yīng)用對于航天器姿態(tài)機動任務(wù)具有如下的意義：

(1)姿態(tài)規(guī)劃能夠有效處理多軸多約束，增強航天器在復(fù)雜空間環(huán)境限制下的姿態(tài)機動能力；

(2)姿態(tài)規(guī)劃生成參考路徑，再通過跟蹤控制執(zhí)行軌跡，能夠減少對復(fù)雜姿態(tài)控制方法的要求，降低控制系統(tǒng)復(fù)雜性并提高控制精度；

(3)航天器通過姿態(tài)規(guī)劃方法優(yōu)化姿態(tài)機動路徑，提高姿態(tài)機動解的全局最優(yōu)性；

(4)姿態(tài)規(guī)劃能夠有效實現(xiàn)工程應(yīng)用中的多種任務(wù)目標,處理模型誤差或者環(huán)境不確知等問題，提高航天器滿足多種任務(wù)需求的多目標優(yōu)化能力和姿態(tài)機動魯棒性；

(5)姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)能夠為航天器實現(xiàn)更高層次的自主運動規(guī)劃和自主智能運行提供關(guān)鍵技術(shù)支撐。

姿態(tài)規(guī)劃問題求解的難點在于，不僅需要考慮光學敏感元件或太陽帆板等載荷的姿態(tài)指向約束，還要考慮姿態(tài)動力學約束和有界約束。姿態(tài)指向約束是航天器的外部環(huán)境約束，限制了航天器姿態(tài)機動的可行解區(qū)域；姿態(tài)動力學約束和有界約束是航天器的內(nèi)部約束，即航天器姿態(tài)機動遵循特定的姿態(tài)動力學模型，同時執(zhí)行機構(gòu)輸出的控制力矩和姿態(tài)敏感器的測量角速度受到限制。在航天器姿態(tài)機動過程中，外部環(huán)境的變化會產(chǎn)生不同的姿態(tài)指向約束，當由此引發(fā)的復(fù)雜姿態(tài)指向約束和航天器自身動力學約束耦合在一起時，姿態(tài)機動路徑難以求解。對此類情況的可行解規(guī)劃方法是當前姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)研究的一個重要方向。

姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)在軌適用性可能受到如下性質(zhì)的影響：對復(fù)雜多約束的處理能力有限；輸出解的隨機性較大難以在軌應(yīng)用；計算效率較低占用過多星上資源。因此，姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)的在軌應(yīng)用需要快速高效地處理復(fù)雜多約束的能力的支持。同時，航天器在執(zhí)行姿態(tài)機動任務(wù)時通常需要優(yōu)化燃料消耗或姿態(tài)機動時間。在考慮這類優(yōu)化目標的情況下，姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)需要兼顧滿足復(fù)雜約束和計算高效性、規(guī)劃結(jié)果的確定性，以利于星上應(yīng)用?？偠灾?，提高規(guī)劃計算效率同時對燃料消耗和機動時間進行優(yōu)化，是姿態(tài)規(guī)劃中迫切需要解決的一個問題。

目前，國內(nèi)外研究人員根據(jù)姿態(tài)規(guī)劃問題建模、路徑求解、優(yōu)化等不同角度，對航天器姿態(tài)規(guī)劃問題進行了深入研究。從上述描述可以得出，對規(guī)劃問題的復(fù)雜約束處理是影響姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)方法特點和應(yīng)用性能的核心因素。本文根據(jù)不同的姿態(tài)規(guī)劃方法中的約束處理方法將航天器姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)分為約束評價規(guī)避方法、約束簡化松弛方法、約束幾何規(guī)避方法、約束解析滿足方法四大類，如圖2所示。

圖2 姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)方法分類Fig.2 Categorization of attitude planning methods

約束評價規(guī)避方法包括勢函數(shù)法、圖搜索方法、隨機規(guī)劃方法和元啟發(fā)式方法。勢函數(shù)法發(fā)端于20世紀80年代，于1994年首次應(yīng)用于航天器姿態(tài)規(guī)劃[9]。圖搜索方法以A*算法為典型，發(fā)表較早，但直到2013年才應(yīng)用于姿態(tài)規(guī)劃問題[10]。隨機規(guī)劃方法以概率路線圖法(1996年)[11]和快速搜索隨機樹方法(1999年)[12]為典型。元啟發(fā)式方法作為一種特殊的約束評價規(guī)避方法于2014年[13]開始應(yīng)用于姿態(tài)規(guī)劃問題。約束評價規(guī)避方法設(shè)計啟發(fā)式評價函數(shù)，當姿態(tài)空間中狀態(tài)節(jié)點通過局部搜索或隨機生成進行路徑擴展時，采用評價函數(shù)估計并選擇節(jié)點，連接節(jié)點生成路徑實現(xiàn)對約束的規(guī)避?？偟膩碚f，約束評價規(guī)避方法能處理復(fù)雜指向約束，但處理有界約束和姿態(tài)動力學約束時可能因方法不確定性使得星上獨立應(yīng)用可靠性不足。約束評價規(guī)避方法是一種非最優(yōu)解姿態(tài)規(guī)劃方法。

約束簡化松弛方法從傳統(tǒng)非線性規(guī)劃方法到偽譜法及其多種變型，經(jīng)歷了長期、持續(xù)的發(fā)展。約束簡化松弛方法將多約束姿態(tài)機動規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個非線性規(guī)劃問題，相比于使用非線性規(guī)劃工具直接求解，對原問題進行了適當?shù)暮喕冃?。該類方法能引入?yōu)化目標，但對復(fù)雜約束處理效果不足，魯棒性一般。其中，偽譜法將最優(yōu)控制問題離散化轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性規(guī)劃問題，采用正交多項式描述最優(yōu)解曲線，從而對多項式系數(shù)進行數(shù)值求解。偽譜法的應(yīng)用優(yōu)勢在2007年得到航天任務(wù)在軌驗證[14]，但選擇不同類型的偽譜法會得到不同的計算效率。

約束幾何規(guī)避方法最早于1992年用于航天器姿態(tài)機動可行路徑求解[15]。該方法利用空間矢量的幾何關(guān)系設(shè)計路徑上節(jié)點的指向約束檢測和規(guī)避方法，通過建立映射關(guān)系，在二維平面上處理三維指向約束，中間路徑節(jié)點使用球面幾何距離標定，得到姿態(tài)規(guī)劃序列。近年來該方法獲得了多方面拓展研究，能夠處理優(yōu)化問題，復(fù)雜約束處理能力較強，且計算效率較高。

約束解析滿足方法采用連續(xù)的參數(shù)化函數(shù)曲線來表示航天器的姿態(tài)機動路徑解析解，最早發(fā)展于多項式方法(2005年)[16]。這種方法通過求解或者優(yōu)化少量的路徑參數(shù)，即可實現(xiàn)問題求解，因此約束解析滿足方法計算效率較高。但是路徑參數(shù)的變化對姿態(tài)路徑的改變有限，難以有效地滿足復(fù)雜多軸指向約束。

除此之外，部分姿態(tài)規(guī)劃方法僅處理特殊姿態(tài)規(guī)劃問題，如約束監(jiān)測法；還有的姿態(tài)規(guī)劃方法利用特殊數(shù)學思想對規(guī)劃模型進行簡化，如基于函數(shù)空間梯度的路徑優(yōu)化方法。這些方法一般對姿態(tài)機動約束處理具有一定局限性。表1展示了圖2中主要的姿態(tài)規(guī)劃方法的不同特點及各自的局限性。

表1 姿態(tài)規(guī)劃方法比較Table 1 Comparison of different attitude planning methods

航天器姿態(tài)機動規(guī)劃技術(shù)能夠減少航天器姿控系統(tǒng)對復(fù)雜姿態(tài)控制方法的需求和依賴，豐富并增強復(fù)雜姿態(tài)機動任務(wù)場景下的機動執(zhí)行能力，使航天器具備自主規(guī)劃和運行能力。

1 航天器姿態(tài)機動規(guī)劃模型

航天器執(zhí)行姿態(tài)機動任務(wù)需要姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)規(guī)劃出合理的姿態(tài)機動路徑，該路徑需要滿足由航天器內(nèi)部特性及外部環(huán)境決定的多種復(fù)雜約束。航天器姿態(tài)機動規(guī)劃建立在約束表達和規(guī)劃模型的基礎(chǔ)之上。

在姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)中，剛體航天器的姿態(tài)運動學方程通常采用四元數(shù)表示如下：

(1)

式中：q=[q0,q1,q2,q3]T，四元數(shù)表示一個旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度，單位四元數(shù)滿足q2=1;ω=[ω1,ω2,ω3]T表示在本體系下的慣性角速度。

航天器約束分兩大類：內(nèi)部特性帶來的姿態(tài)約束和外部環(huán)境產(chǎn)生的姿態(tài)指向約束，分別稱為內(nèi)部姿態(tài)約束和外部姿態(tài)約束。在航天器姿態(tài)機動過程中這兩類約束會耦合在一起，限制姿態(tài)機動的可行域。

航天器內(nèi)部姿態(tài)約束主要包括動力學約束和有界約束。全驅(qū)動的剛體航天器能提供三軸姿態(tài)控制力矩，其滿足的動力學約束如下：

Iω=T-ω×Iω

(2)

式中：I=diag(I1,I2,I3)表示航天器相對本體系的慣量矩陣；T=[T1,T2,T3]T表示本體系下的控制力矩及其分量；ω×是ω的叉乘矩陣：

(3)

有界約束也即不等式約束，姿態(tài)規(guī)劃中主要包括控制力矩和角速度有界約束。航天器在姿態(tài)機動任務(wù)中執(zhí)行機構(gòu)輸出力矩幅值有限，形成了控制力矩的約束邊界：

|ui|≤γ1,i=1,2,3

(4)

式中：γ1表示航天器控制力矩的幅值。

同時，航天器的角速度敏感器有一定的量程，航天器的角速度需要保持在儀器測量范圍內(nèi)，由此形成了角速度約束邊界：

|ωi|≤γ2,i=1,2,3

(5)

式中：γ2表示航天器角速度的幅值。

外部姿態(tài)約束是指航天器在姿態(tài)機動任務(wù)時，其本體或可動部件的姿態(tài)受到在姿態(tài)空間中指向的約束，這類約束縮小了航天器姿態(tài)機動的可行域，也稱作姿態(tài)指向約束。姿態(tài)指向約束由于強光天體進入相機視場、天線偏離通信目標等而被違反時，航天器的導航定姿、科學觀測或通信傳輸能力將遭到損壞，影響任務(wù)正常執(zhí)行。姿態(tài)指向約束包括禁忌指向約束和強制指向約束。

在航天器姿態(tài)機動過程中，相機必須“禁止”非目標的強光天體進入視場角，類似這種規(guī)避特定指向的約束稱為禁忌指向約束[4,15,17]，簡稱禁忌約束。圖3為航天器禁忌指向約束示意圖，rg1,rg2表示兩個光敏元件在本體系下的視場中心方向矢量，rI表示禁忌指向(如強光天體)在慣性系下的方向矢量。

圖3 航天器禁忌指向約束示意圖Fig.3 Diagram of spacecraft keep-out constraints

禁忌指向約束要求禁忌指向和光學敏感載荷的視場中心方向矢量夾角不能小于視場角，表示為：

(6)

式中：i=1, 2;CIB與CBI表示本體系與慣性系之間的轉(zhuǎn)換矩陣。

特別地，將余弦矩陣展開，可以將指向約束表示為二次型[17]：

qTKCq≤0

(7)

式中：

(8)

圖4 航天器強制指向約束示意圖[19]Fig.4 Diagram of spacecraft keep-in constraint[19]

(9)

在姿態(tài)任務(wù)中，航天器不僅需要滿足上述復(fù)雜約束條件，還需要進一步地實現(xiàn)姿態(tài)機動快速和低能量等目標。綜合考慮航天器姿態(tài)機動過程中的復(fù)雜約束和優(yōu)化目標，航天器姿態(tài)機動規(guī)劃模型如下所示：

(10)

式中：p(x)表示姿態(tài)任務(wù)的目標優(yōu)化函數(shù)，如姿態(tài)機動時間最短或能量消耗最低。航天器姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)基于上述姿態(tài)機動規(guī)劃模型進行規(guī)劃求解，得到滿足多種約束和目標的姿態(tài)機動路徑。

2 航天器姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)研究現(xiàn)狀

航天器姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)對姿態(tài)機動問題的復(fù)雜多約束進行處理，建立并求解規(guī)劃模型，生成姿態(tài)機動的執(zhí)行路徑。約束處理方法體現(xiàn)了姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)的核心思想，據(jù)此可對航天器姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)作出分類及進一步劃分。

2.1 約束評價規(guī)避方法

約束評價規(guī)避方法運用于姿態(tài)規(guī)劃時，首先將動力學方程的姿態(tài)參數(shù)空間離散化，使用啟發(fā)式評價函數(shù)對網(wǎng)格化節(jié)點或隨機節(jié)點進行估計，再通過搜索算法或隨機擴展求解得到滿足指向約束的姿態(tài)機動路徑，該路徑即基于評價函數(shù)的啟發(fā)式路徑解。姿態(tài)空間通過勢函數(shù)構(gòu)造勢能場描述姿態(tài)空間及指向約束時，采用勢函數(shù)法；姿態(tài)空間進行節(jié)點網(wǎng)格劃分時采用圖搜索方法；姿態(tài)空間中節(jié)點隨機擴展時采用隨機規(guī)劃方法。特別地，對于姿態(tài)規(guī)劃的優(yōu)化方法，當約束評價規(guī)避方法中姿態(tài)參數(shù)空間的搜索模型以特定自然現(xiàn)象為模擬，實現(xiàn)局部搜索和隨機擴展的平衡時，認為其構(gòu)造的啟發(fā)式是廣義的、泛化可用的，稱為元啟發(fā)式方法，詳見2.2.3節(jié)。

2.1.1勢函數(shù)法

勢函數(shù)法(或人工勢場法)由Khatib[20]提出，其基本思想是根據(jù)目標和指向約束對姿態(tài)機動的影響設(shè)計啟發(fā)式的勢函數(shù)，將姿態(tài)空間構(gòu)造為勢能場，實現(xiàn)目標處吸引、禁忌約束處排斥的效果。勢函數(shù)法用于姿態(tài)規(guī)劃有兩個步驟，一是勢函數(shù)的設(shè)計，勢函數(shù)包括吸引勢函數(shù)和排斥勢函數(shù)，用于產(chǎn)生描述機動路徑過程中目標姿態(tài)和指向約束的吸力和斥力；二是姿態(tài)控制器的設(shè)計，需要考慮有界約束并回避勢函數(shù)的局部極小值。勢函數(shù)法的構(gòu)造示意圖如圖5 所示。

圖5 兩個禁忌約束下的勢函數(shù)構(gòu)造示意圖[9]Fig.5 Diagram of potential function with two keep-out constraints[9]

針對光學載荷視場需要規(guī)避太陽的姿態(tài)機動問題，McInnes[9]采用姿態(tài)歐拉角的描述方式并且首次引入勢函數(shù)法，通過排斥勢函數(shù)產(chǎn)生高勢能從而規(guī)避禁忌約束，同時運用李雅普諾夫(Lyapunov)第二法，得到控制力矩的解析表達式。針對星敏感器需要規(guī)避太陽的姿態(tài)機動問題，Wisniewski等[21]利用勢函數(shù)法規(guī)避指向約束，同時實現(xiàn)了對四飛輪驅(qū)動航天器的最優(yōu)控制力矩分配。隨后的研究逐漸將勢函數(shù)法的應(yīng)用范圍擴展到姿態(tài)指向約束、有界約束、隨機干擾和抗退繞等方向。Lee等[22]在對單位四元數(shù)空間內(nèi)姿態(tài)指向約束集合的凸參數(shù)化的基礎(chǔ)上，設(shè)計了凸對數(shù)勢函數(shù)，處理姿態(tài)指向約束。Shen等[23]采用單位四元數(shù)的姿態(tài)描述方式設(shè)計了凸二次勢函數(shù)，在不顯式使用速率反饋的基礎(chǔ)上實現(xiàn)了禁忌約束下?lián)闲院教炱鞯淖藨B(tài)機動。進一步地，Shen等[24]在采用凸二次勢函數(shù)規(guī)避姿態(tài)指向約束的基礎(chǔ)上，又設(shè)計了凸對數(shù)勢函數(shù)來處理角速度有界約束，最后將兩種勢函數(shù)與滑模控制方法結(jié)合得到自適應(yīng)的非線性姿態(tài)控制律。Chen等[25]應(yīng)用參數(shù)選擇方法，改進了單位四元數(shù)表示的排斥勢函數(shù)的存在條件，而后結(jié)合反步法，研究了姿態(tài)指向約束、輸入飽和以及隨機干擾同時存在下的姿態(tài)機動問題。為了解決四元數(shù)雙值性所帶來的退繞問題，Hu等[26]在姿態(tài)指向約束的勢函數(shù)的基礎(chǔ)上加入抗退繞的姿態(tài)誤差函數(shù)，以滿足姿態(tài)指向約束。

勢函數(shù)法計算簡單，實時性好，路徑平滑，易于應(yīng)用，但是存在以下缺點：

1)容易陷入局部極小值而導致違反約束。2)只適合處理簡單指向約束的情況。對于多軸復(fù)雜指向約束，采取線性加權(quán)組合的方式，具有一定的局限性。3)無法對能量消耗和機動時間等指標進行優(yōu)化。

2.1.2圖搜索方法

圖搜索方法以已知信息的姿態(tài)和約束空間為基礎(chǔ)，通過構(gòu)建地圖搜索尋找到達目標的機動路徑，需要首先對姿態(tài)空間或者姿態(tài)參數(shù)空間進行投影離散網(wǎng)格劃分，然后采用圖搜索算法求解得到滿足指向約束的姿態(tài)機動路徑。相應(yīng)的圖搜索算法常見的采用 A*搜索算法，其最初由Stanford研究院的Hart等[27]發(fā)表，通過構(gòu)造啟發(fā)式函數(shù)，A*算法可以獲得較好的尋的性能，其原理圖如圖6所示。

圖6 以A*算法為例的圖搜索算法原理圖Fig.6 Diagram of graph search algorithm using A* as an example

圖搜索方法能夠有效地處理多軸復(fù)雜指向約束，但是只適用于幾何類型約束，且無法處理角速度和控制力矩有界約束以及姿態(tài)動力學約束。對于內(nèi)部姿態(tài)約束只能在姿態(tài)跟蹤控制算法中考慮。

2.1.3隨機規(guī)劃方法

空間離散化隨機規(guī)劃方法首先是在機器人運動規(guī)劃領(lǐng)域得到了大量的應(yīng)用。Kavraki等[11]首先提出了概率路線圖法，這是一種靜態(tài)空間中的運動規(guī)劃方法。LaValle團隊[12,28-29]在此基礎(chǔ)上提出了快速搜索隨機樹(Rapidly-exploring random tree, RRT)方法，其原理流程圖如圖7所示。針對復(fù)雜指向約束下的姿態(tài)機動問題，F(xiàn)razzoli團隊[30-31]利用基于概率路線圖和RRT的混合方法作為全局規(guī)劃器進行姿態(tài)擴展，并且基于李雅普諾夫函數(shù)建立局部制導律，最終得到安全可行的姿態(tài)機動路徑。仲維國等[32]采用羅德里格斯參數(shù)的姿態(tài)描述方式，將指向約束表示成羅德里格斯參數(shù)空間中的單頁雙曲面，并且證明了姿態(tài)的直接歐拉旋轉(zhuǎn)對應(yīng)著該空間內(nèi)兩姿態(tài)點的直線連接，同時結(jié)合RRT算法規(guī)劃出安全可行的姿態(tài)路徑。但是他們都未考慮控制輸入受限和角速度受限問題，即有界約束。Cheng等[33]以RRT為框架規(guī)劃滿足指向約束的全局路徑，通過滑?？刂粕蓾M足有界約束和動力學約束的局部擴展節(jié)點，從而得到從初始狀態(tài)到目標狀態(tài)的可行路徑。Xu等[34]同樣將RRT作為全局規(guī)劃器，而在局部擴展時將運動學、動力學和有界約束轉(zhuǎn)化為線性約束后用二次規(guī)劃方法求解，并且對新生成的節(jié)點進行障礙檢測確保滿足指向約束。

圖7 RRT方法原理流程圖Fig.7 Flow diagram of RRT method

隨機規(guī)劃方法能高效適應(yīng)航天器的各種復(fù)雜約束情況，但其隨機擴展過程生成的路徑具有不確定性，而且姿態(tài)機動路徑容易產(chǎn)生退繞問題。

2.1.4元啟發(fā)式方法

特別地，當處理姿態(tài)路徑的優(yōu)化問題時，以特定自然現(xiàn)象的模擬為搜索模型，即高層次的通用型啟發(fā)式，稱為元啟發(fā)式方法。元啟發(fā)式方法廣泛應(yīng)用于姿態(tài)機動、姿態(tài)確定和軌跡規(guī)劃等領(lǐng)域，可以適用于能量消耗或者機動時間等不同優(yōu)化目標，在姿態(tài)空間的狀態(tài)節(jié)點擴展中兼顧了局部搜索和隨機生成的平衡性。

如圖8所示，基于個體的元啟發(fā)式方法以各種模擬搜索算法為主，基于群體的元啟發(fā)式方法主要包括不同的群智能算法。Melton[13]檢驗了粒子群優(yōu)化、差分進化和細菌覓食等方法，然后將這些方法得到的解用作偽譜法的初值猜測。隨后，Melton[35]又檢驗了自適應(yīng)協(xié)方差矩陣進化策略算法，評價了該算法單獨處理無指向約束下時間最優(yōu)姿態(tài)機動問題以及作為偽譜法的初值猜測來解決單軸禁忌約束下時間最優(yōu)姿態(tài)機動問題的性能?？娺h明等[36]以快速最優(yōu)為目標，基于比例微分控制設(shè)計編碼方法并用于評價函數(shù)，而后采用粒子群優(yōu)化算法求解單軸禁忌約束下的快速姿態(tài)機動路徑。Spiller等[37]將粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于姿態(tài)運動學過程，并且結(jié)合逆動力學方法求解控制力矩。Pontani等[38]針對無指向約束和單軸禁忌約束這兩種時間最優(yōu)姿態(tài)機動問題分別研究了多種元啟發(fā)式方法，包括逆動力學下的粒子群優(yōu)化和煙花算法以及自適應(yīng)協(xié)方差矩陣進化策略算法和間接元啟發(fā)式算法。Wu等[39]通過優(yōu)化算法計算中間節(jié)點，間接實現(xiàn)姿態(tài)規(guī)劃的全局時間最優(yōu)，最后采用差分進化算法實現(xiàn)約束滿足和路徑求解。Spiller等[40]又進一步地將逆動力學粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于求解飛輪控制下的單軸禁忌約束時間最優(yōu)姿態(tài)機動問題。Wu等[41]在近似能量最優(yōu)姿態(tài)機動規(guī)劃問題中對差分進化算法進行了改進并求解。

圖8 元啟發(fā)式方法的分類Fig.8 Categorization of metaheuristic algorithms

元啟發(fā)式方法具有姿態(tài)機動路徑的能量或時間優(yōu)化問題求解能力，但是現(xiàn)有的算法主要針對單軸禁忌約束的情況，而且目前的元啟發(fā)式方法計算效率不高。

2.2 約束簡化松弛方法

約束簡化松弛方法將航天器姿態(tài)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題(Nonlinear programming, NLP)，將復(fù)雜多約束進行適當簡化松弛變形，求得滿足約束的非線性解。約束簡化松弛方法總的來說計算資源要求低，有較好的在軌適用性。約束簡化松弛方法從傳統(tǒng)非線性規(guī)劃方法發(fā)展而來，傳統(tǒng)非線性規(guī)劃方法解決了二次規(guī)劃、半正定規(guī)劃和非凸姿態(tài)指向約束的凸化等問題，進一步引入松弛思想，增強了復(fù)雜指向約束下能量最優(yōu)問題的求解能力。偽譜法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為離散的非線性規(guī)劃問題，將最優(yōu)解曲線參數(shù)化簡化，實現(xiàn)對姿態(tài)規(guī)劃的能量最優(yōu)和時間最優(yōu)問題的求解。

2.2.1傳統(tǒng)非線性規(guī)劃方法

傳統(tǒng)非線性規(guī)劃方法以非凸二次規(guī)劃問題為對象，進行一定程度的簡化。序列二次規(guī)劃(Seque-ntial quadratic programming, SQP)和半正定規(guī)劃是其中較為基礎(chǔ)和典型的兩種方法。

對于姿態(tài)機動的非線性規(guī)劃問題，序列二次規(guī)劃算法在每次迭代中對目標函數(shù)泰勒展開至二階，然后求解二次規(guī)劃子問題。其優(yōu)點是易收斂、計算資源要求低，缺點在于對于復(fù)雜規(guī)劃問題的計算量很大。

半正定規(guī)劃是線性規(guī)劃的一種推廣，又是非線性規(guī)劃問題的簡化，半正定規(guī)劃與非線性規(guī)劃的關(guān)系見圖9。半正定規(guī)劃求解線性函數(shù)極大極小值問題，它同時是一個非光滑的凸優(yōu)化問題。其優(yōu)點是在滿足嚴格松弛條件時能夠獲得全局最優(yōu)解，缺點在于對于不滿足松弛條件的系統(tǒng)只能獲得全局最優(yōu)解的一個不可行的下界, 求解中等以上規(guī)模系統(tǒng)時計算時間過長。

圖9 非線性規(guī)劃和半正定規(guī)劃的關(guān)系Fig.9 Relationship of nonlinear programming and semi-definite programming

傳統(tǒng)非線性規(guī)劃方法需要解決非凸姿態(tài)指向約束的凸化問題，以半正定規(guī)劃為例，Kim團隊[42-43]采用姿態(tài)四元數(shù)的描述方式，將邊界條件表示成二次目標函數(shù)，將姿態(tài)指向約束轉(zhuǎn)化成凸化二次型，轉(zhuǎn)化為半正定規(guī)劃問題求解得到姿態(tài)機動路徑。但是該算法采用的單步規(guī)劃模式在有界約束的限制下容易造成違反指向約束的情況，而且無法對機動時間等指標進行優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，程小軍等[44]證明了姿態(tài)機動過程中禁忌約束滿足非凸二次約束。構(gòu)造正定海塞矩陣實現(xiàn)約束凸化。最后采用預(yù)測控制方法克服了姿態(tài)機動路徑求解的收斂性和指向約束規(guī)避問題。Walsh等[4]將Kim的工作擴展到由旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成的矩陣李群SO(3)上，同樣采用半正定規(guī)劃方法生成姿態(tài)機動路徑解。

傳統(tǒng)非線性規(guī)劃方法引入松弛思想，通過松弛方法標定非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)值范圍，主要用于求解能量最優(yōu)問題。Sun和Dai[8,45]將原問題半定松弛為半定規(guī)劃問題，迭代得到能量最優(yōu)解。武長青等[5]將原非凸二次規(guī)劃問題線性松弛，求出低能量的近優(yōu)解。這些方法可以得到低能量的姿態(tài)機動路徑，但是計算效率較低。

傳統(tǒng)非線性規(guī)劃方法對原有的航天器姿態(tài)機動的非線性規(guī)劃問題進行簡化，但是在路徑節(jié)點或者約束數(shù)量較多的時候非線性規(guī)劃工具的求解效率和求解能力就會顯著下降。

2.2.2偽譜法

偽譜法是一種求解最優(yōu)控制問題的直接法，也是一種非線性規(guī)劃方法，既能求解能量最優(yōu)問題，又能求解時間最優(yōu)問題。偽譜法采用正交配置法設(shè)計基函數(shù)，利用正交多項式對狀態(tài)和控制變量進行插值近似，實現(xiàn)微分代數(shù)方程的簡化配置，對最優(yōu)控制問題利用現(xiàn)有的非線性規(guī)劃算法進行求解。偽譜法在正交多項式(如拉格朗日多項式)上通過配點法插值近似最優(yōu)解曲線，如式(11)：

(11)

式中：任意函數(shù)u(x)的譜表示為其在≤N次多項式ψn(x)空間上的正交投影。

根據(jù)所采用的插值配點的不同也衍生出不同的偽譜法(如圖10)，傳統(tǒng)上比較有代表性的是勒讓德偽譜法、高斯偽譜法和切比雪夫偽譜法，如勒讓德偽譜法選擇勒讓德(Legendre)多項式的根為配點。新的偽譜法經(jīng)過Brikhoff變型，包括勒讓德-高斯法、勒讓德-高斯-羅貝托法、切比雪夫-高斯-羅貝托法[46]。國際空間站通過跟蹤由勒讓德偽譜法產(chǎn)生的姿態(tài)機動路徑先后完成了數(shù)次大角度姿態(tài)機動[14]。蔡偉偉等[47]為了消除微分方程約束和降低設(shè)計空間維數(shù)，運用微分平坦理論建立原問題到平坦輸出空間的映射，給出了參數(shù)化平坦輸出的切比雪夫偽譜法，最終轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題求解。易中貴等[48]利用勒讓德偽譜法離線規(guī)劃得到僅帶有兩組噴氣推力器的非軸對稱欠驅(qū)動航天器的最短時間姿態(tài)機動參考軌跡。

圖10 偽譜法按原理分類Fig.10 Categorization of pseudospectral methods

偽譜法通過構(gòu)造節(jié)點求姿態(tài)規(guī)劃問題的離散優(yōu)化解，節(jié)點處滿足約束而未對離散節(jié)點間的連續(xù)路徑進行約束檢測。如果增加離散節(jié)點個數(shù)，則會降低偽譜法的計算效率。

2.3 約束幾何規(guī)避方法

約束幾何規(guī)避方法通過幾何方法設(shè)計路徑規(guī)避復(fù)雜指向約束。該方法將以禁忌約束為代表的指向約束標示為禁入?yún)^(qū)域，采用路徑約束檢測消除無效約束。通過建立映射關(guān)系，在二維平面上處理三維指向約束，使用球面幾何距離計算推導中間路徑節(jié)點并生成約束規(guī)避路徑。得到姿態(tài)機動路徑的規(guī)劃指令集后，由控制器執(zhí)行跟蹤控制。

約束幾何規(guī)避方法根據(jù)姿態(tài)指向矢量、約束方位矢量等計算球面幾何距離從而設(shè)計姿態(tài)機動可行路徑。Frakes等[15]設(shè)計了一個速度避障算法來保護大型重離子望遠鏡儀器視線軸遠離航天器軌道附近的空間危險碎片。該算法保持了望遠鏡視線軸與航天器速度矢量的夾角不小于90°。Hablani[49]在天球面上基于明亮天體建立排斥域，在姿態(tài)機動過程中設(shè)計切線路徑并得到機動轉(zhuǎn)角和排斥夾角，從而實現(xiàn)指向約束規(guī)避。較為典型的約束幾何規(guī)避方法包括節(jié)點分解置換方法和路徑轉(zhuǎn)移方法，前者是Xu等[50]提出的基于多節(jié)點分解置換的遞歸規(guī)劃方法，該方法采用先規(guī)劃出路徑后進行約束違背路徑分解置換及重校驗的方式，處理了指向和有界約束；后者是Wang等[51]提出的基于路徑轉(zhuǎn)移策略的快速規(guī)劃方法，該方法建立安全路徑映射模型簡化姿態(tài)約束，遞進式生成姿態(tài)參考路徑、松弛路徑和指向路徑，有效處理多約束問題的同時進一步提高了規(guī)劃效率。

2.3.1節(jié)點分解置換方法

如圖11所示，節(jié)點分解置換方法當初始姿態(tài)路徑陷入約束區(qū)域時，在約束區(qū)域附近設(shè)計旋轉(zhuǎn)路徑規(guī)避約束，遞歸分解得到新的安全的姿態(tài)機動路徑，但是需要多次約束檢查來判斷姿態(tài)機動路徑是否滿足姿態(tài)指向約束和有界約束。雖然算法速度優(yōu)于傳統(tǒng)的規(guī)劃算法，但仍存在一定的時間資源浪費。

圖11 節(jié)點分解置換方法的指向約束處理示意圖[50]Fig.11 Diagram of pointing constraint processing in multi-node decomposition-and-substitution method[50]

2.3.2路徑轉(zhuǎn)移方法

如圖12所示，路徑轉(zhuǎn)移方法在進行參考路徑規(guī)劃之后，通過松弛路徑規(guī)劃和遞進式路徑轉(zhuǎn)移規(guī)劃實現(xiàn)了初始參考路徑生成、有界約束滿足和指向約束的路徑搜索規(guī)避，具有一定的時間優(yōu)化效果。

圖12 路徑轉(zhuǎn)移方法的指向約束處理示意圖[51]Fig.12 Diagram of pointing constraint processing in path transfer method[51]

對約束幾何規(guī)避方法的研究近年來集中于對復(fù)雜約束規(guī)避策略的設(shè)計，同時將該方法用于求解優(yōu)化問題。約束幾何規(guī)避方法的優(yōu)點是能夠滿足復(fù)雜約束并靈活處理優(yōu)化問題，解決約束規(guī)避問題同時節(jié)省姿態(tài)機動時間。由于是確定性算法，沒有隨機因素，約束幾何規(guī)避方法簡單直觀、計算效率高。但缺點是對于多軸多約束的情況，需要設(shè)計合適的規(guī)避策略。

2.4 約束解析滿足方法

約束解析滿足方法采用連續(xù)解析的參數(shù)化姿態(tài)路徑表達式，通過優(yōu)化表達式系數(shù)實現(xiàn)約束滿足。由于離散形式的姿態(tài)機動結(jié)果能夠滿足一般的航天器姿態(tài)任務(wù)需求，目前關(guān)于約束解析滿足方法的研究相對較少。當姿態(tài)機動的連續(xù)解析路徑采用多項式表示時，采用多項式方法；近年來微分幾何方法也逐步應(yīng)用于姿態(tài)規(guī)劃問題。

2.4.1多項式方法

多項式方法[16,52-54]通常采用一定階數(shù)的多項式來表示航天器姿態(tài)機動過程中的姿態(tài)機動曲線(如圖13)，然后結(jié)合逆動力學方法求解角速度和控制力矩。通過優(yōu)化多項式系數(shù)，實現(xiàn)匹配邊界條件和滿足指向約束等多種功能。Caubet等[55]利用直接歸一化的多項式表示姿態(tài)四元數(shù)變化曲線，通過迭代自由系數(shù)規(guī)避簡單指向約束。然后利用逆動力學方法和尋根法求解得到滿足有界約束的控制力矩和機動時間。最后運用比例-微分四元數(shù)反饋控制器跟蹤規(guī)劃得到姿態(tài)四元數(shù)和角速度曲線，并將規(guī)劃得到的控制力矩曲線引入前饋控制。

圖13 多項式方法的姿態(tài)機動曲線[16]Fig.13 Attitude maneuver curve of polynomial methods[16]

多項式方法求解效率高，求解結(jié)果連續(xù)，但是對指向約束的處理能力較弱。

2.4.2微分幾何方法

微分幾何方法近幾年被應(yīng)用于求解多約束姿態(tài)機動規(guī)劃問題。該類方法通?；趲缀慰刂评碚摵蜆O小值原理等理論方法推導一定條件下的姿態(tài)機動解析解，而后通過對時間參數(shù)或其他虛擬參數(shù)的優(yōu)化實現(xiàn)指向約束和有界約束等約束滿足。

Maclean等[56]利用剛體的自然運動來規(guī)劃小型航天器的姿態(tài)機動。該方法通過利用角速度解析解和拉克斯對積分，推導得到航天器姿態(tài)在四元數(shù)形式下的解析表達式，并通過對解析表達式中自由參數(shù)的優(yōu)化來實現(xiàn)對邊界條件和簡單指向約束的滿足。所求解的參考運動可以被簡單的比例微分控制器跟蹤控制。Biggs等[57]采用的微分幾何方法基于一種旋轉(zhuǎn)矩陣的半解析形式，能夠?qū)崿F(xiàn)指向約束和有界約束處理。該方法在迭代中賦予代價函數(shù)不同權(quán)值使姿態(tài)路徑能夠規(guī)避指向約束，同時路徑機動角速度隨時間參數(shù)化改變，并通過虛擬域和逆動力學的方式來確保滿足控制力矩和角速度有界約束。

微分幾何方法計算代價較小，解析解的表達方式易于應(yīng)用，求解結(jié)果連續(xù)，但是只適合處理簡單的小范圍姿態(tài)指向約束。

3 航天器姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)發(fā)展趨勢

隨著任務(wù)需求的不斷變化，姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)的發(fā)展需要適應(yīng)于航天器在形態(tài)結(jié)構(gòu)、控制系統(tǒng)、飛行模式、執(zhí)行機構(gòu)等方面的發(fā)展。面對新一代航天任務(wù)中姿態(tài)機動任務(wù)的約束條件復(fù)雜且較多、對不確定干擾敏感、實時性要求較高的特點，需要從姿態(tài)機動的可行解生成、姿態(tài)路徑優(yōu)化等方面建立新形式的姿態(tài)動力學及規(guī)劃與優(yōu)化模型，滿足航天器姿態(tài)機動規(guī)劃需求。姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)發(fā)展趨勢如下：

1)由單一航天器向多航天器協(xié)同發(fā)展

在多航天器協(xié)同飛行任務(wù)中，航天器之間存在姿態(tài)機動的協(xié)同問題，且可能存在姿軌耦合。因此，提出了多航天器協(xié)同姿態(tài)規(guī)劃技術(shù)的應(yīng)用需求，需要建立多航天器協(xié)同的相對動力學模型，姿態(tài)機動路徑既兼顧飛行參考軌跡，又滿足姿態(tài)機動約束。

2)考慮撓性部件的航天器姿態(tài)機動規(guī)劃

未來航天器向大型化、柔性化發(fā)展，撓性附件的存在對姿態(tài)機動路徑提出了減振需求，基于剛性模型的姿態(tài)規(guī)劃方法難以符合工程需要。針對柔性航天器，重點研究新的姿態(tài)動力學模型以及柔性機動路徑的平滑處理方法，使姿態(tài)規(guī)劃結(jié)果適應(yīng)于姿態(tài)機動控制需求。

3)考慮含可動部件的多自由度姿態(tài)規(guī)劃

航天器在任務(wù)中往往安裝多個含自由度的敏感器對其他航天器進行跟蹤，其中本體與可動部件在姿態(tài)上相耦合，需要考慮本體姿態(tài)機動和可動部件姿態(tài)機動相耦合的動力學模型，通過設(shè)計有效的航天器姿態(tài)規(guī)劃方法使本體盡可能少的轉(zhuǎn)動，從而以可動部件的轉(zhuǎn)動代替減少航天器姿態(tài)機動的燃料消耗。

4)由單執(zhí)行機構(gòu)向多執(zhí)行機構(gòu)組合姿態(tài)機動規(guī)劃發(fā)展

傳統(tǒng)力矩執(zhí)行機構(gòu)在提供高精度大力矩時能量效率較低；與之相比，控制力矩陀螺具有能量效率高、不產(chǎn)生污染等特點，但受奇異問題影響較大。同時，單執(zhí)行機構(gòu)異常可能導致航天器姿態(tài)控制受限。隨著航天器單執(zhí)行機構(gòu)向多執(zhí)行機構(gòu)組合的發(fā)展，姿態(tài)機動規(guī)劃問題的控制力矩約束也將更加復(fù)雜化、非線性化。

4 結(jié)束語

隨著姿態(tài)機動規(guī)劃技術(shù)的深入發(fā)展，對地觀測、交會對接、地外天體探測等航天任務(wù)廣泛應(yīng)用了相關(guān)技術(shù)解決姿態(tài)機動任務(wù)中的規(guī)劃問題。根據(jù)姿態(tài)規(guī)劃的約束處理方法，本文將目前研究中較為成熟的航天器姿態(tài)機動規(guī)劃技術(shù)劃分為約束評價規(guī)避、約束簡化松弛、約束幾何規(guī)避、約束解析滿足四種方法類別，梳理了方法的發(fā)展脈絡(luò)，分析、比較并總結(jié)了每種方法的優(yōu)缺點和應(yīng)用現(xiàn)狀。最后基于新一代航天器姿態(tài)機動任務(wù)的需求，指出了姿態(tài)機動規(guī)劃技術(shù)協(xié)同化、柔性化、含可動部件、多執(zhí)行機構(gòu)組合的發(fā)展趨勢，需要提出新的姿態(tài)動力學和規(guī)劃模型，在約束處理中考慮耦合、時變的復(fù)雜多約束條件，推動姿態(tài)機動規(guī)劃技術(shù)在空間科學和工程領(lǐng)域的應(yīng)用與突破。