芻議分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用

陳新建

(南通市通州區(qū)育才中學(xué)，江蘇 南通 226300)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開思維邏輯的運(yùn)用，因為在思考、解決數(shù)學(xué)問題的過程中，需要學(xué)會將一個大問題分解成若干個小問題，并選擇最為簡潔的步驟和路徑進(jìn)行解決.這種總結(jié)、分類能力不僅要求學(xué)生對不同體系的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)要有一個準(zhǔn)確且清晰地把控，更要做到不重復(fù)、不遺漏.可以說，對學(xué)生分類思想的訓(xùn)練能夠幫助他們形成更為直觀、實(shí)用的數(shù)學(xué)思維，以提高初中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 初中數(shù)學(xué)中分類思想種類概述

1.1 基本概念引申的分類

很多數(shù)學(xué)概念都源自于分類理念，通過分類進(jìn)行概念區(qū)分.因此教師在講述概念含義的過程中，可以從分類思想的角度出發(fā)，幫助學(xué)生區(qū)分不同概念之間的差異與聯(lián)系，形成更為立體、直觀的概念認(rèn)知，比如“有理數(shù)”與“無理數(shù)”，“因數(shù)”與“質(zhì)數(shù)”等.

尤其是在學(xué)習(xí)幾何概念時，將方位空間概念與分類思想結(jié)合，能夠幫助學(xué)生形成更為立體化的幾何概念，將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來.比如何為“外角”“內(nèi)角”“外角和”“內(nèi)角和”？如何在多邊形中進(jìn)行合理地幾何劃分和計算？等等，都可以讓學(xué)生通過分類來更加清晰地認(rèn)知和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識.在學(xué)習(xí)函數(shù)時，根據(jù)自變量的取值范圍，可以實(shí)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式的分類，區(qū)分不同函數(shù)的求解方式等等.可以說，分類思想是幫助學(xué)生了解、理解概念的一個重要方式.

1.2 法則性質(zhì)引申的分類

法則與性質(zhì)類的數(shù)學(xué)概念一般需要學(xué)生通過計算或推理來實(shí)現(xiàn).在推理和論證的過程中，教師可以讓學(xué)生嘗試用“分類”的方法來整理思路.比如論證“可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的都是有理數(shù)”“過兩點(diǎn)有且只有一條直線”“同位角相等，兩直線平行”等等，這些性質(zhì)的論證過程是學(xué)生鍛煉自我批判思維和探究能力的過程.只有不斷嘗試不同的方向、思路，才能真正脫離既有結(jié)論和思維定式，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯方面的能力鍛煉和成長.

2 分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 結(jié)合教材內(nèi)容，融合分類思想

新課改教材中融合了很多探究性的教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合生活實(shí)踐給予學(xué)生理論知識之外的思維引導(dǎo).比如通過跨海大橋結(jié)構(gòu)來探究全等三角形的穩(wěn)固性，通過紫禁城來認(rèn)知軸對稱圖形等等.可以說從教材出發(fā)進(jìn)行分類思想的教學(xué)，不僅能夠幫助學(xué)生更加清晰地總結(jié)、歸納教材中的內(nèi)容，更將理論知識與實(shí)踐體驗進(jìn)行了細(xì)化和內(nèi)化，將所學(xué)真正融入到自己的思維邏輯架構(gòu)中去.特別是在對概念性內(nèi)容進(jìn)行講解時，從分類概念出發(fā)而進(jìn)行的概念認(rèn)知能夠讓學(xué)生系統(tǒng)性地建立知識架構(gòu)，形成更為完整的數(shù)學(xué)知識體系.

比如在學(xué)生最初接觸三角形時，教師可以給出一組多條線段交疊的幾何畫面，讓學(xué)生從圖片中尋找出盡量多的三角形，并給這些三角形進(jìn)行分類.如果給出其中一個或幾個角的度數(shù)，推算出盡量多的角度等等，讓學(xué)生通過自我探尋發(fā)現(xiàn)三角形的種類、特性.在此基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合教材總結(jié)：三角形分為三邊都不相等的三角形和有兩邊相等的三角形，后者又分為等邊三角形和底邊和腰不相等的等腰三角形.教師提醒學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形的定理、性質(zhì)時應(yīng)注意對比不同類三角形的特性，以此培養(yǎng)學(xué)生隨時復(fù)核、對比的思維習(xí)慣，起到溫故知新、推陳出新的教學(xué)效果.

2.2 利用課堂探究，細(xì)化分類思想

利用分類思想進(jìn)行課堂教學(xué)，有利于引導(dǎo)學(xué)生自主探究，培養(yǎng)發(fā)散思維.在教學(xué)中，教師要從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，結(jié)合素質(zhì)教育的分層概念，給予全體學(xué)生均衡的可探究內(nèi)容.從思想觀念角度來講，分類思想講求系統(tǒng)性和素材的累積，雖然并不能通過一兩節(jié)課達(dá)到明顯的教學(xué)效果，但卻能夠在日積月累中培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和學(xué)科素養(yǎng)，特別是在自主探究能力和意識培養(yǎng)方面，起到了舉足輕重的作用.就像驅(qū)策一群小羊進(jìn)入到特定的區(qū)域“進(jìn)食”一樣，利用分類思想來細(xì)化課堂教學(xué)，就如同給學(xué)生劃分了不同的去往“草場”的道路，讓學(xué)生自己選擇最適合的那條路前往目的地，盡量發(fā)揮學(xué)生自己的選擇權(quán)和支配權(quán)，貼合初中生正處于“叛逆”心理高發(fā)期的客觀情況，給予學(xué)生感受、拒絕、選擇的權(quán)利，往往會取得比被動驅(qū)策更好的教學(xué)效果.

其實(shí)，在古代中國數(shù)學(xué)中，“有理數(shù)”和“無理數(shù)”是沒有進(jìn)行明確區(qū)分的，這兩者是在希臘哲學(xué)家們的研究中被區(qū)分開來的.可以說對“有理數(shù)”和“無理數(shù)”的區(qū)分是一種較為“理論化”的數(shù)學(xué)概念研究形式，能夠幫助人們以更為理性的方式來看待“數(shù)”的分類，對學(xué)生分類思想的培養(yǎng)有著指導(dǎo)意義.教師可以將此思路進(jìn)行延伸，鼓勵學(xué)生尋找數(shù)字之間、題目之間，甚至圖形之間的內(nèi)在區(qū)分，建立自己的邏輯概念.比如通過分類東、西方數(shù)學(xué)知識的研究領(lǐng)域，理解數(shù)學(xué)文化背后的深刻歷史含義，加深對數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)涵的認(rèn)知；通過分類幾何圖形在點(diǎn)、線、面等不同方面的概念，將幾何知識形成一個有總有分的整體，讓學(xué)生可以靈活提取、巧妙轉(zhuǎn)換，從而突破幾何困境.可以說，將分類思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)課堂上，是以理性帶動感性的過程，讓學(xué)生通過有條理的思維去發(fā)散自由的想象力和創(chuàng)造力，提高對數(shù)學(xué)知識的理解與應(yīng)用能力.

2.3 引導(dǎo)思維認(rèn)知，深化分類思想

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師將數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)依托于試題中，通過布置大量試題來鍛煉學(xué)生熟練應(yīng)對不同類型數(shù)學(xué)題目的能力.在“以一對多”的戰(zhàn)役中，難免會出現(xiàn)“打偏”的情況.素質(zhì)教育改革以來，教育部門推行“分層教學(xué)”，讓教師必須對不同層面的學(xué)生負(fù)責(zé)，從核心素養(yǎng)出發(fā)，尊重學(xué)生的個性化發(fā)展，讓學(xué)生能夠在“苦讀書”的時候有目標(biāo)、有方向，而不是一味地被驅(qū)趕著“跟上隊伍”，不看前方，只一味地盯著自己面前的一方天地.因此，從思維認(rèn)知的角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類思想的學(xué)習(xí)，是一種可行性較強(qiáng)的“個性化”課堂指導(dǎo)方向.從初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，學(xué)生在經(jīng)過小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，基本具有了自己的學(xué)習(xí)思路，在迎接更為復(fù)雜的高階數(shù)學(xué)概念時，需要在原有框架的基礎(chǔ)上搭建更為復(fù)雜、立體的思維架構(gòu).

比如小學(xué)階段學(xué)習(xí)了數(shù)字與計算的聯(lián)系，將數(shù)字分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù).也學(xué)習(xí)了基本的平面幾何知識，將幾何分為正方形、圓形、三角形的面積計算以及柱狀體、圓錐體、立方體的體積計算等等.而到了初中，這些分類都將被重新劃分，之前的數(shù)字需要劃分出“有理數(shù)”與“無理數(shù)”；之前的方程會在計算方面細(xì)化，包括多元方程中的合并同類項計算以及與概率、幾何、速率等應(yīng)用題相結(jié)合的方程計算等等，都需要學(xué)生將之前的認(rèn)知進(jìn)行重新地分類，這些都十分考驗學(xué)生的邏輯思維能力.比如對于下列題目：“小紙盒的長為a，寬為b，高是c，大紙盒的長度是小紙盒的1.5倍，寬和高都是小紙盒的2倍，那么做大紙盒和小紙盒共需要多少平方厘米的料？而大紙盒又需要比小紙盒多用多少料呢？”對于這個題目的思考，就需要分為幾何體積計算和方程計算兩個部分，在列出基本的方程之后再進(jìn)行方程的換算，同時通過兩種紙箱的用料對比，也能夠?qū)⒎匠痰膿Q算與應(yīng)用題計算結(jié)合起來.

2.4 鼓勵實(shí)踐所學(xué)，落實(shí)分類思想

數(shù)學(xué)是一門源自生活的科學(xué)，也是一門用于生活的科學(xué)，它可以是與人們生活息息相關(guān)的小細(xì)節(jié)，也可以是國家基建與軍事國防力量的保證.研究數(shù)學(xué)分類就是從根本上理解數(shù)學(xué)存在的意義，讓學(xué)生抓得住重點(diǎn)，理解自己所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)究竟從何而來？為什么學(xué)？又有何用處？而在不同的分類中研究所學(xué)知識并與生活實(shí)踐聯(lián)系起來，能夠幫助學(xué)生更加真切地理解理論知識，同時形成更為牢固的理論知識基礎(chǔ).

以思維導(dǎo)圖的繪制為例，繪制思維導(dǎo)圖和整理錯題集一樣，都是幫助學(xué)生回顧所學(xué)、內(nèi)化知識的重要過程，是將“學(xué)”與“思”結(jié)合起來的重要方式.但在這個過程中，如果學(xué)生只針對“錯題”去反復(fù)記憶、反思，而不去結(jié)合新的思路進(jìn)行思考和拓展，就喪失了“思”的意義，變成了單純的經(jīng)驗積累，最終原地踏步，無法獲得新的知識和更多的數(shù)學(xué)價值認(rèn)知.比如在學(xué)習(xí)《三角函數(shù)》這一章節(jié)時，思維導(dǎo)圖上就可以結(jié)合古人“以井口半徑推測水深”的案例來進(jìn)行實(shí)踐拓展.該案例是古人巧用勾股定理進(jìn)行勞動實(shí)踐的例子，在沒有精確測量儀器的前提下，古人能夠運(yùn)用三角函數(shù)的知識簡化勞動過程，這便是中華民族對數(shù)學(xué)思想活學(xué)活用的表現(xiàn).教師可以引導(dǎo)學(xué)生以此為啟發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)原理的分類總結(jié)，結(jié)合所學(xué)到的三角函數(shù)知識延伸該思路，思考在日常生活中三角函數(shù)還能有哪些應(yīng)用？又比如利用科學(xué)家測量“金字塔”高度的方式，來測量自己家所在樓層的高度等等.這些都能夠幫助學(xué)生豐富自己的“分類思維導(dǎo)圖”，形成一個個獨(dú)特的記憶點(diǎn)，為以后的學(xué)習(xí)提供延伸和發(fā)散的新思路.

我們的國家要實(shí)現(xiàn)數(shù)字技術(shù)的突破和創(chuàng)新，完成技術(shù)強(qiáng)國的中國夢，絕對離不開數(shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)新性研究.因此，我國的數(shù)學(xué)教育更需要大力培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，營造更為寬松、和諧的學(xué)術(shù)研究氛圍，讓更多學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想的寶貴、數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力和數(shù)學(xué)精神的內(nèi)核.從數(shù)學(xué)教學(xué)的整體來看，初中數(shù)學(xué)是重要的“打基礎(chǔ)”階段，這時的學(xué)生開始有意識地建立自己的數(shù)學(xué)邏輯架構(gòu).如果在這個階段讓學(xué)生錯失分類、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)解題思考的能力，那么就會使得更多有資質(zhì)和天賦的學(xué)生喪失數(shù)學(xué)高階研究與創(chuàng)新的能力.因此，在這一階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類思想，是提高當(dāng)代學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的重要途徑，為未來社會培養(yǎng)創(chuàng)新人才打下了基礎(chǔ).