一道二模壓軸題的解法探究及溯源

楊 新

(江蘇省華東師范大學(xué)鹽城實驗中學(xué) 224005)

1 原題呈現(xiàn)

題目(2022年成都市二模第12題)在ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，若c=1，且4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3，則tanA的最大值是( ).

2 總體認識

此題有三個創(chuàng)新之處，一是已知的關(guān)系式“4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3”中常數(shù)項有深意；二是已知邊角齊次式中正、余弦交替出現(xiàn)；三是問題以tanA的最值呈現(xiàn)(一般以求三角形周長、面積的最值居多).基于以上創(chuàng)新，試題難度上升了，放在第12題，它就成為試卷的壓軸題，因此，值得我們思考探究.正、余弦的平方啟發(fā)我們應(yīng)該考慮同角三角函數(shù)的平方和關(guān)系；要求tanA的最值，分離變量構(gòu)造關(guān)于角A的三角函數(shù)應(yīng)該是條有效途徑；求最值常用基本不等式、對勾函數(shù).二次函數(shù)等工具，我們應(yīng)努力創(chuàng)設(shè)條件，用上這些工具，方可破解這個難題.

3 試題解答

3.1 把常數(shù)代換成字母

思路從齊次式的角度出發(fā)，將題設(shè)中的常數(shù)項-3代換為-3c2，利用正、弦定理實現(xiàn)邊化角，借助同角三角函數(shù)平方關(guān)系減少三角函數(shù)類型，進而向tanA靠近，最后利用均值不等式和三角函數(shù)的單調(diào)性求出最值.

解法1 因為4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3，c=1，所以4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2.

由正弦定理,得

4sin2Acos2B+4sin2Bsin2A=3sin2B-3sin2C.

進而4sin2A(cos2B+sin2B)=3sin2B-3sin2C.

即4sin2A=3sin2B-3sin2C.

再由正弦定理，得

4a2=3b2-3c2.

由余弦定理，得

由銳角范圍內(nèi)余弦函數(shù)單調(diào)遞減知，此時角A最大，由銳角范圍內(nèi)正切函數(shù)單調(diào)遞增知，此時tanA最大.

故選C.

評注這種齊次化處理的技巧在解斜三角形的題中常用.人教A版(2004年審定)必修4第138頁B組第3題也做了專項訓(xùn)練.在高考中，這類試題也屢見不鮮.只要恰當(dāng)使用正、余弦定理，問題一般均能準(zhǔn)確解決.例如：

題2 (2020年全國Ⅱ卷理科第17題)ΔABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3,求△ABC的周長最大值.

3.2 整體代換實現(xiàn)消元

思路本題已知中a2cos2B顯得不“和諧”，增加了題目的變量.我們可以設(shè)法消去它，并且最好不產(chǎn)生新的變量.那么我們要綜合考慮三角形中的基礎(chǔ)知識和已知條件，將它們勾連起來，事實上,已知中的“c=1”已經(jīng)埋下了伏筆，正是此題經(jīng)典之處.

解法2 在三角形中，

acosB+bcosA

所以acosB=1-bcosA.

由4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3,得

4(1-bcosA)2+4b2sin2A=3b2-3.

整理,得b2-8bcosA+7=0.

以下同解法1.

評注本解法中用到了教材結(jié)論：人教A版(2004年審定)必修5第22頁第3題第二小題.有資料稱(※)為射影定理(另外還有類似的兩個).在教學(xué)中，一方面我們需要教會學(xué)生證明，另一方面還需有意識地加強應(yīng)用.本結(jié)論在高考中經(jīng)常被考查，但是一些學(xué)生并不知曉.這很遺憾！下面再現(xiàn)兩個真題：

題3 (2017年全國Ⅱ卷文科第16題)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA,則B=____.

注直接應(yīng)用射影定理解題.

題4 (2013年全國Ⅱ卷理科第17題)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

(1)求B；

(2)若b=2，求ΔABC的面積的最大值.

注間接應(yīng)用射影定理解題.

3.3 逆用切化弦

思路已知是正、余弦的關(guān)系式，問題是正切函數(shù).因此，我們可以模仿人教A版(2004年審定)必修四第128頁上正切和角公式的推導(dǎo)，實現(xiàn)弦化切，直接構(gòu)造以tanA為因變量的函數(shù).其間需要我們盡力消去其它變量，本質(zhì)就是一個三角運算的過程.

解法3 由解法1得4sin2A=3sin2B-3sin2C，

即4sin2(B+C)=3(sinB+sinC)(sinB-sinC).

由和差化積公式,得

由二倍角公式,得

4sin2(B+C)=3sin(B+C)sin(B-C).

所以4sin(B+C)=3sin(B-C).

即4sinBcosC+4cosBsinC=3sinBcosC-3cosBsinC.

整理,得sinBcosC=-7cosBsinC.

同除cosBcosC,得

tanB=-7tanC.

于是tanA=-tan(B+C)

故選C.

評注本解法能夠充分反映高考題的特征之一：源于教材，高于教材.很多學(xué)生不重視公式的推導(dǎo)，不重視知識的生成，只在意刷題，這是不可取的.遇到這種對核心素養(yǎng)要求高的試題時，就舉步維艱，不知所措.本題中還用到了和差化積公式，人教A版必修四在139頁以例題和141頁以練習(xí)題的形式給出了這組公式，若不注意積累，也會出現(xiàn)“無緣”見面不相識的情況.有人會說，積化和差、和差化積等知識考綱已經(jīng)不要求記憶，那就臨時推導(dǎo)吧，事實上，不熟悉就不認識，不認識就不可能應(yīng)用，推導(dǎo)也沒有方向.建議加強日常積累！一道小題能考查諸多知識，堪稱好題.

3.4 代數(shù)問題幾何化

思路初中三角函數(shù)就是在直角三角形中定義的，我們不妨將問題放置在銳角三角形中，利用高線構(gòu)造直角三角形，將抽象問題直觀化，不僅能減少運算，還可以開拓思路，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識.

解法4 不妨設(shè)ΔABC為銳角三角形，如圖1.

那么acosB=DB,bcosA=DC,b2=DA2+DC2.

由前文得4a2=3b2-3.

所以4(BD2+CD2)=3(AD2+CD2)-3.

所以CD2=3AD2-4BD2-3.

在Rt△ADC中，

故選C.

圖1 圖2

評注本解法巧妙地將三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化在直角三角形中，利用二次函數(shù)求得了tanA的最值，并且在解題結(jié)束時，取等號的條件還揭示了三角形更精準(zhǔn)的形狀,如圖2,又一次發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的強大功能和重要用途.無獨有偶，再舉一例.

分析tanB,tanC可以看作直角三角形的直角邊的比值，借助關(guān)系式tanB=2tanC，把它們構(gòu)造于共一直角邊的兩個直角三角形中，如圖3.然后再在圖中構(gòu)造sinB,sinC，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于比值的函數(shù)問題.

解析如圖3，因為tanB=2tanC，所以設(shè)AD⊥BC，BD=x，CD=2x，AD=y.

圖3

4 變式演練

變式1 (變換題設(shè)，增加迷惑性)在ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，若c=1，且4a2sin2A-4b2sin2A=3+4a2-3b2，則tanA的最大值是____.

變式2 (變換問題，出口收緊)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，若c=1，且4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3，則ΔABC是( ).

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.正三角形

5 解后反思

高考中，壓軸題為了起到把關(guān)作用都較難，都有很好的區(qū)分度，往往會考查多個知識點和一些解題技巧.要想突破壓軸題，首先我們應(yīng)當(dāng)注重課本知識的生成教學(xué)，讓學(xué)生知其然，并知其所以然，形成完整的良好的知識結(jié)構(gòu)；其次我們要善于總結(jié)，把表象上脫節(jié)的內(nèi)容融會貫通起來，讓知識相互支撐，連點成線，連線成網(wǎng)，打通各個堵點；還要加強數(shù)學(xué)思想方法的積累和應(yīng)用，做到解題時思路開闊，流程清晰，路徑便捷，防止解題的盲目性；最后我們還要善于學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中比較，在比較中選擇，通過一題多解訓(xùn)練能力，提高素養(yǎng)，并表現(xiàn)為解答壓軸題的較高準(zhǔn)確率.