運(yùn)用求導(dǎo)法證明不等式

安徽省無為中學(xué)(238300) 朱小扣 魯賢龍

不等式的證明一直是聯(lián)賽?？嫉目键c(diǎn),其證明方法千變?nèi)f化.往往讓人毫無頭緒,本文闡述了用求導(dǎo)的方法來證明一類不等式,希望能幫助大家.

一、求導(dǎo)法與琴生不等式結(jié)合

例1(數(shù)學(xué)通訊問題455)已知正實(shí)數(shù)a,b,c,求證:

證明考慮到待證不等式是齊次的,不妨設(shè)a+b+c=1,故只需證:

令f(x)=(0＜x ＜1),則:f′′(x)=恒成立.由琴生不等式得:即:故原不等式得證.

例2(數(shù)學(xué)通訊問題416)已知正數(shù)a,b滿足a+b= 2,求證:≥a2+b2.

證明將待證不等式≥a2+b2兩邊同除以2ab得:

故只需證明①式成立即可.令f(x)=x2,則f′′(x)=2＞0,故由加權(quán)琴生不等式可得:

故①式成立,原不等式得證.

二、求導(dǎo)法與切線法結(jié)合

例3(數(shù)學(xué)通訊問題455)已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，求證:

證明(權(quán)方和不等式)故只需證明:即要證:

由切線法易知f(x)=x(x-1)(x-2)在處的切線方程是y=故只需證

由②式得到:a(a-1)(a-2)≤b(b-1)(b-2)≤,c(c-1)(c-2)≤三式相加得: ∑a(a-1)(a-2)≤即①式成立,故原不等式得證.

例4(數(shù)學(xué)通訊問題332)已知正數(shù)x,y,z滿足xy+yz+zx≤3,求證:

證明先證:

實(shí)際上,

同理:

①與上兩式作和得:

令a=xy,b=yz,c=zx,則問題轉(zhuǎn)化為在:a+b+c≤3的條件下,求證:由切線法得只需證:

實(shí)際上4 ≥(1+a)(3-a)?(a-1)2≥0,故②成立.同理,②上兩式作和得:故原命題得證.

利用求導(dǎo)求出切線法,可以推廣到構(gòu)造支撐函數(shù)解題,只要可以構(gòu)造一元的局部不等式即可.

例5(2004年波蘭奧林匹克)已知正數(shù)a,b,c且滿足a2+b2+c2=1,求證:

證明嘗試構(gòu)造支撐函數(shù):≥A · x2+B,由再由以下證明:

實(shí)際上,

三、固定變量求導(dǎo)法

例5(數(shù)學(xué)通訊問題27)已知a,b,c ＞0 且a+b+c=3,求證: 2(a3+b3+c3)+3abc≥9.

證明不妨設(shè)a≥b≥c,先固定b,則c=3-a-b,c′a=-1.記f(a)=2(a3+b3+c3)+3abc,則

由a≥b≥c及a+b+c= 3 知b ＜2,故f′(a)=9(a-c)(2-b)≥0,故f(a)單增

記h(b)=2b3+2b3+2(3-2b)3+3b2(3-2b),則

例6(第25 屆IMO)已知x,y,z≥0 且x+y+z= 1,求證: 0 ≤xy+yz+zx-2xyz≤

證明先證:

xy+yz+zx-2xyz≥xyz+yzx+zxy-2xyz=xyz≥0,故①式成立.再證:

不妨設(shè)x≤y≤z,先固定y,則z= 1-x-y,z′x=-1.記f(x)=xy+yz+zx-2xyz,則f′(x)=y-y+z-x-2yz+2xy=(z-x)(1-2y).由x≤y≤z及x+y+z=1知y≤故f′(x)=(z-x)(1-2y)≥0,可知f(x)單增.故f(x)≤f(y)=y2+y(1-2y)+y(1-2y)-2y2(1-2y)=4y3-5y2+2y.

由x=y≤z及x+y+z= 1 知0 ≤y≤記h(y)= 4y3-5y2+ 2y,則h′(y)= 12y2-10y+ 2 =2(2y-1)(3y-1)≥0,h(y)max=f(x)≤h(y)max=當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=時取等號.故②式成立.綜合①②可得原不等式成立.

如果有三個變量,可以先固定一個,再用求導(dǎo)法就可以了.

例7(數(shù)學(xué)通訊問題370)已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=3,求P=的最大值.

解不妨設(shè)a≥b≥c,a+b+c= 3.先固定住a,將c看成b的函數(shù),則c=3-a-b,c′=-1,將P看成是b的函數(shù): 令f(b)=則

故

當(dāng)a=b=c= 1 時,P=猜測Pmax=往證: 當(dāng)0＜c≤1 時,

故Pmax=當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1 時取等號.

四、全導(dǎo)數(shù)法

例8(數(shù)學(xué)通訊問題27)已知a,b,c ＞0 且a+b+c=3,求證: 2(a3+b3+c3)+3abc≥9.

證明齊次化后即證: 2(a3+b3+c3)+ 3abc≥記f(a,b,c)= 2(a3+b3+c3)+ 3abc -不妨設(shè)a≥b≥c,令t ∈[0,c],再令a1=a-c,b1=b-c.記

故h(t)在[0,c]上單調(diào)遞增,從而

可得原不等式成立.

例9已知a,b,c ＞0,求證:a3+b3+c3+ 3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a).

證明記f(a,b,c)=a3+b3+c3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a).不妨設(shè)a≥b≥0,令t ∈[0,c],再令a1=a-c,b1=b-c.記

從而h(t)在[0,c]上單增,故有

可得原不等式成立.

不難得到上述兩題h′(t)≥0 與f(a,b,c)對a,b,c偏導(dǎo)數(shù)之和大于零等價.如例8 中,

與h′(t)≥0 等價,出于寫法的簡潔,所以有時我們用偏導(dǎo)數(shù)之和——全導(dǎo)數(shù)[f(a,b,c)] =f′a(a,b,c)+f′b(a,b,c)+f′c(a,b,c)≥0 來代替h′(t)≥0.

五總結(jié)

上述介紹了四類求導(dǎo)法證明不等式的方法,實(shí)際上用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法還有很多,希望大家能繼續(xù)延拓.