基于高中新教材背景下的“對數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計*

廣東省江門市新會第一中學(xué)(529100) 梁必文

1 教學(xué)背景

作為對標(biāo)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》及新高考改革的需要,2019年6 月人民教育出版社課程教材研究所出版了萬眾期待的新一套高中數(shù)學(xué)教材,作為高中數(shù)學(xué)教師,面對新時代教育教學(xué)的挑戰(zhàn),弄懂參透課程標(biāo)準(zhǔn),學(xué)好用好新教材成為迫在眉睫的頭等大事.“對數(shù)的概念”一節(jié)是筆者于2020年11 月在廣東省江門市普通高中數(shù)學(xué)新教材培訓(xùn)會上的展示課,是基于新課標(biāo)新教材背景下的教學(xué)探索,得到教材主編在內(nèi)的與會專家與同行的一致好評.本文著重介紹該節(jié)課的教學(xué)設(shè)計及意圖,即利用詳實的數(shù)學(xué)史教學(xué)為學(xué)生有效形成“對數(shù)”的概念,并且結(jié)合“對數(shù)”的具體數(shù)學(xué)應(yīng)用價值,為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升奠定堅實的基礎(chǔ).通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能夠利用數(shù)學(xué)史的視角理解對數(shù)概念,利用邏輯推理的思考過程推導(dǎo)對數(shù)的性質(zhì),利用數(shù)學(xué)建模的途徑在解決實際問題的過程中運用對數(shù)知識,希望能對高中數(shù)學(xué)教師在使用新教材時有所啟發(fā).

2 教學(xué)內(nèi)容

2.1 教學(xué)范圍與教材分析

“對數(shù)的概念”是2019年人教版必修第一冊第四章第三小節(jié)第一課時的內(nèi)容,它是學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)與指數(shù)函數(shù)之后,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)打下基礎(chǔ).學(xué)習(xí)對數(shù)的概念是對指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)習(xí)和深化.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),讓學(xué)生掌握對數(shù)的概念及其性質(zhì),讓學(xué)生在追溯人類研究對數(shù)的歷史進(jìn)程中感知體會轉(zhuǎn)化與化歸、對立統(tǒng)一的思想,學(xué)會用聯(lián)系的觀點辯證的分析和解決數(shù)學(xué)問題.

2.2 教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

(1)幫助學(xué)生理解并掌握對數(shù)的概念,能進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化,從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

(2)引導(dǎo)學(xué)生了解常用對數(shù)與自然對數(shù)的意義,推導(dǎo)對數(shù)性質(zhì)及對數(shù)恒等式并能靈活運用于有關(guān)對數(shù)求值問題,進(jìn)而培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

(3)通過數(shù)學(xué)史教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,引導(dǎo)學(xué)生追尋數(shù)學(xué)大師的腳步,在仰望大師風(fēng)采中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3 教學(xué)重點與教學(xué)難點

重點對數(shù)的概念.難點 使學(xué)生了解對數(shù)概念的合理形成,并深刻理解對數(shù)概念.

4 教學(xué)過程與設(shè)計意圖

4.1 數(shù)學(xué)史教學(xué)

在開展“對數(shù)的概念”一課的教學(xué)時,教師首先可在課前布置學(xué)生分組通過互聯(lián)網(wǎng)收集下列有關(guān)資料:

(1)對數(shù)的創(chuàng)始人蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾的有關(guān)資料.(2)對數(shù)發(fā)明的歷史背景.(3)對數(shù)發(fā)明對科學(xué)界的影響.

然后在課堂的導(dǎo)入環(huán)節(jié),教師可讓各組派代表上臺分享本組資料收集的成果.

通過對資料的收集整理后發(fā)現(xiàn),隨著16—17 世紀(jì)西方國家在天文、航海等領(lǐng)域的科學(xué)研究發(fā)展,數(shù)學(xué)的運算量不斷擴大,改進(jìn)運算方法以達(dá)到簡化運算的目的成為了緊迫的數(shù)學(xué)研究需要.蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾在天文學(xué)研究的過程中,為了實現(xiàn)簡化大數(shù)運算而發(fā)明了對數(shù),對于大數(shù)據(jù)運算的研究發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn).恩格斯曾經(jīng)將對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的始創(chuàng)、微積分的建立并稱為17 世紀(jì)數(shù)學(xué)三大成就.伽利略也曾說過:“給我空間、時間及對數(shù),我就可以創(chuàng)造一個宇宙! ”了解了本節(jié)課的學(xué)習(xí)背景之后,由教師為學(xué)生設(shè)置本課的探究提綱: 1.為什么要研究對數(shù)? 2.對數(shù)是什么? 3.學(xué)習(xí)了對數(shù)的概念之后該研究它的哪些方面?

設(shè)計意圖: 通過學(xué)生分組合作學(xué)習(xí),為學(xué)生解讀“對數(shù)”概念的產(chǎn)生與發(fā)展歷程.充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和參與度,通過三個問題為主線,追尋大師的足跡,仰望大師的風(fēng)采,充分發(fā)揮對數(shù)的育人功能.

4.2 問題導(dǎo)入

由教師提出以下數(shù)學(xué)運算問題,引導(dǎo)學(xué)生在不使用計算器的前提下,進(jìn)行小組合作運算,并在各小組學(xué)生完成計算之后,去探究這些復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算題是否還有簡便的運算方法,鼓勵學(xué)生各抒己見,勇敢表達(dá)自身想法,從而找到利用對數(shù)進(jìn)行簡化計算的途徑.

例1.32×256=( ).例2.4096÷128=( ).

例3.163=( ).例4.=( ).

設(shè)計意圖: 提出數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生親身經(jīng)歷大數(shù)運算過程,啟發(fā)學(xué)生多角度去考慮問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng),感受大數(shù)運算所帶來的困擾,引導(dǎo)學(xué)生通過問題思考,理解在大數(shù)簡化運算中對數(shù)所起的作用.

4.3 新課探究

4.3.1 探究發(fā)現(xiàn)

閱讀下列資料,回答問題: 1714年,德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾研究了下面的兩行數(shù):

斯蒂菲爾發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律:f(n)=2n.

教師: 后來,蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律可以用來簡便計算剛才的式子,同學(xué)們知道他是怎么做到的嗎?

例1.32×256=25×28=25+8=213=8192.

例2.4096÷128=212÷27=212-7=25=32.

例3.163=(24)3=24×3=212=4096.

總結(jié)提煉: 把每一個正整數(shù)轉(zhuǎn)化為2x,從而將整數(shù)的乘法、除法、乘方、開方轉(zhuǎn)化為對應(yīng)指數(shù)的加法、減法、乘法、除法.

4.3.2 變式思考

設(shè)問一: 運用以上的方法,可否計算132×156=?

設(shè)問二: 132 和156 能不能寫成2x?

總結(jié)提煉: 利用函數(shù)y= 2x圖象,通過數(shù)形結(jié)合可知方程2x=132 存在唯一的實數(shù)解.

4.3.3 解決問題

132×156=27.04×27.29=27.04+7.29=214.33=20592.

總結(jié)提煉: 將132,156 轉(zhuǎn)化為2x的思路,將132 轉(zhuǎn)化為27.04,將156 轉(zhuǎn)化為27.29,從而根據(jù)表格中的數(shù)值,快速計算出132×156 的結(jié)果.

4.3.4 形成概念

一般地,如果ax=N(a ＞0,且a /= 1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm),記作x= logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).

ax=N ?x= logaN(a ＞0,且a /= 1),其中N ＞0,即負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).

常用對數(shù): 以10 為底的對數(shù),即把log10N記作lgN.

自然對數(shù): 以e 為底的對數(shù),即把logeN記作lnN.

歸納性質(zhì):alogaN=N其中a ＞0,且a/=1.

4.3.5 概念辨析

根據(jù)對數(shù)的定義,判斷對錯:

(1)若3x=2,則x=log23;

(2)若(-2)3=-8,則log(-2)(-8)=3.

4.3.6 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

根據(jù)對數(shù)的定義,計算: (1)log28; (2)log21; (3)loga1;(4)logaa.

歸納性質(zhì): (1)loga1=0;(2)logaa=1.

設(shè)計意圖: 通過對于數(shù)學(xué)史的加工整理,引導(dǎo)學(xué)生見證對數(shù)概念的提出、發(fā)展過程,從實際問題到建立對數(shù)概念的體驗中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),從具體到抽象的思維過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4.4 強化練習(xí)

例1.把下列指數(shù)式化為對數(shù)式,對數(shù)式化為指數(shù)式:

(1)54= 625; (2)2-6== 5.73; (4)=-4;(5)lg 0.01=-2;(6)ln 10=2.303.

例2.求下列各式中x的值:

(1)log64x=(2)logx8 = 6; (3)lg 100 =x; (4)-ln e2=x.

設(shè)計意圖: 引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)了對數(shù)概念的基礎(chǔ)上,通過利用對數(shù)的定義,強化對數(shù)式與指數(shù)式的互化意識,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

4.5 總結(jié)提升

4.5.1 提煉對數(shù)的意義

教師: 通過對于“對數(shù)的概念”內(nèi)容的學(xué)習(xí),同學(xué)們覺得為什么要研究對數(shù)?

學(xué)生A:通過研究對數(shù)能夠有效縮小運算量,提升大數(shù)運算的效率.

學(xué)生B:研究對數(shù)可以利用對數(shù)的基本性質(zhì),對復(fù)雜的算式實現(xiàn)簡化計算.

4.5.2 明確對數(shù)的本質(zhì)

教師: 經(jīng)過本節(jié)課程的學(xué)習(xí),大家認(rèn)為對數(shù)到底是什么呢?

學(xué)生: 對數(shù)是數(shù)的一種表示方法.

4.5.3 思考對數(shù)的用途

教師: 對數(shù)既然是數(shù)的一種表示方法,接下來我們該研究它的哪些方面?

學(xué)生: 利用對數(shù)的基本概念,研究對數(shù)的運算性質(zhì),提高運算效率.

設(shè)計意圖: 帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)“對數(shù)的概念”一課知識,促進(jìn)學(xué)生對于對數(shù)知識的掌握,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

4.6 課后作業(yè)

必做作業(yè): 教材第123 頁練習(xí)1,2,3;第126 頁復(fù)習(xí)鞏固1,2.

選做作業(yè): 參考以下選題,查閱與對數(shù)有關(guān)的文獻(xiàn),寫一篇數(shù)學(xué)小論文.

(1)對數(shù)產(chǎn)生的背景;(2)對數(shù)發(fā)明的過程;(3)對數(shù)的具體應(yīng)用;(4)對數(shù)對簡化運算的作用;(5)對數(shù)對人類文明進(jìn)步的貢獻(xiàn).

5 教學(xué)反思

在本節(jié)課的教學(xué)過程中,本人課前布置學(xué)生收集有關(guān)對數(shù)的歷史知識,使學(xué)生能夠追尋大師的足跡了解到對數(shù)產(chǎn)生的背景.之后通過問題導(dǎo)入環(huán)節(jié),為學(xué)生提出了能夠利用對數(shù)知識進(jìn)行簡化運算的具體問題,使學(xué)生在問題的思考過程中了解了對數(shù)對于大數(shù)運算的意義.接下來我們利用新課探究的教學(xué)過程,為學(xué)生明確了對數(shù)知識的基礎(chǔ)概念,使學(xué)生初步形成了對數(shù)運算能力.繼而設(shè)置強化練習(xí)的教學(xué)環(huán)節(jié),有效提升了學(xué)生的對數(shù)運算能力.最后回歸到本節(jié)課開始所設(shè)置的探究提綱這一條主線,進(jìn)一步鞏固了學(xué)生對于“對數(shù)的概念”一課的知識掌握.

通過“對數(shù)的概念”一課的教學(xué)實踐,有效地幫助學(xué)生認(rèn)識到了對數(shù)產(chǎn)生的背景以及對數(shù)發(fā)明的過程,科學(xué)地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).若是在教學(xué)的設(shè)計過程中,還能充分利用前面所學(xué)的指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的知識,讓學(xué)生對于指數(shù)與對數(shù)形成“休戚與共”的整體性理解與把握,必將提升學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知水平,為學(xué)生在今后研究某一數(shù)學(xué)對象的能力奠定更加堅實的基礎(chǔ).