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    問題視角下數(shù)學(xué)例題的變式設(shè)計(jì)及思考

    2023-03-15 11:41:27吳靜
    關(guān)鍵詞:教學(xué)思考變式例題

    吳靜

    [摘? 要] 要想發(fā)揮例題教學(xué)的功能,除了精選典型例題,還要進(jìn)行例題變式的設(shè)計(jì). 可從問題的視角看例題,把例題看作源問題,通過水平變式和垂直變式這兩類問題的變式結(jié)構(gòu)分析并設(shè)計(jì)變式題,讓學(xué)生在不斷變式的過程中看清問題的本質(zhì),達(dá)到對問題結(jié)構(gòu)的透徹理解,同時(shí)給出對水平變式和垂直變式的教學(xué)思考.

    [關(guān)鍵詞] 例題;問題;變式;教學(xué)思考

    例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分. 在學(xué)生習(xí)得例題的基本方法后,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘例題的潛在因素,挖掘例題的教育功能. 在例題教學(xué)中,教師應(yīng)通過變式將例題的條件、結(jié)論、情境、問題結(jié)構(gòu)等進(jìn)行延展變通,使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握例題所闡述的概念、原理、規(guī)律,積累解決問題的經(jīng)驗(yàn). 教師應(yīng)讓學(xué)生洞察問題的深層結(jié)構(gòu),真正把例題研究透徹,進(jìn)而通過遷移解決其他的問題,只有這樣,才能幫助學(xué)生走出“題?!保瑢?shí)現(xiàn)由知識立意向能力立意的轉(zhuǎn)換,培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

    變式教學(xué)是一種傳統(tǒng)且經(jīng)典的中國教學(xué)方式,中國數(shù)學(xué)教師關(guān)于變式教學(xué)的研究主要是立足教材談變式,從教材的例題出發(fā)編制變式題[1]. 顧泠沅教授認(rèn)為,變式教學(xué)是促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式. 所謂“變式”,就是指教師有目的、有計(jì)劃地對命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征;變換問題中的條件或結(jié)論;轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式;配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境,但保留對象中的本質(zhì)因素,從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.

    在例題教學(xué)中,由于教學(xué)內(nèi)容多、教學(xué)任務(wù)緊,部分教師只是簡單講講例題或者與學(xué)生一起做題. 這樣的教學(xué),使得學(xué)生傾向于記憶某種方法和發(fā)展某項(xiàng)具體技能,不利于學(xué)生形成高層次的數(shù)學(xué)思維,而學(xué)生的學(xué)習(xí)也只是停留在淺層次,不能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 為實(shí)現(xiàn)由知識立意向能力立意的轉(zhuǎn)換,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),有必要對當(dāng)前的例題教學(xué)加以研究. 下面筆者從問題的視角把例題作為源問題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)并加以研究.

    從問題的視角看例題

    在例題教學(xué)中,“例題”既可以選擇教材中的例題或習(xí)題,又可以選擇其他資料或出版物中的題目. 但到底應(yīng)該怎樣選擇合適的題目作為例題呢?潘小梅老師認(rèn)為應(yīng)該選擇內(nèi)容常出現(xiàn)、方法能遷移、思路可借鑒、具有生長性的題目. 從問題的視角看,每個(gè)例題都應(yīng)該是一個(gè)好問題,每個(gè)問題都具有“表面內(nèi)容”和“內(nèi)在結(jié)構(gòu)”兩重屬性. “表面內(nèi)容”指問題呈現(xiàn)涉及的事件、背景、對象等的淺層特征;“內(nèi)在結(jié)構(gòu)”指涉及問題本質(zhì)的概念、關(guān)系與原理等的深層特征. 如果把例題看作源問題,那么變式題就是由源問題變換而得的新問題. 源問題與新問題之間存在四種關(guān)系:①表面內(nèi)容相同,內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同;②表面內(nèi)容不同,內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同;③表面內(nèi)容相同,內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同;④表面內(nèi)容不同,內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同[2]. 像①②改變源問題的表面內(nèi)容,不改變問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變式稱為水平變式,像③④改變了源問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變式稱為垂直變式. 在例題教學(xué)中,教師常常通過水平變式幫助學(xué)生認(rèn)識問題的本質(zhì)屬性;通過垂直變式發(fā)展原來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),建立新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),促進(jìn)學(xué)生對問題結(jié)構(gòu)的理解,深入探究問題生長的思維過程.

    例題的變式設(shè)計(jì)分析

    在蘇教版教材七年級下冊“10.3? 解二元一次方程組”的例題教學(xué)中,教師從問題的視角,將如下例題看作源問題,并通過水平變式和垂直變式設(shè)計(jì)變式題.

    例題 籃球比賽規(guī)則規(guī)定:贏一場得2分,輸一場得1分.在中學(xué)生籃球聯(lián)賽中,某球隊(duì)賽了12場,共得20分.該球隊(duì)贏了幾場?輸了幾場?

    解 設(shè)該球隊(duì)贏了x場,輸了y場.

    分析 本例題是根據(jù)中學(xué)生籃球比賽這一生活實(shí)際,以應(yīng)用題的形式展現(xiàn)出來的,通過設(shè)兩個(gè)未知數(shù),求解二元一次方程組可以得出結(jié)論.例題作為源問題,它的表面內(nèi)容是籃球比賽,輸贏的得分,比賽幾場,總得分,這些內(nèi)容中的數(shù)字可以改變,對問題的本質(zhì)影響不大. 內(nèi)在結(jié)構(gòu)的特征是贏一場的得分,輸一場的得分,比賽場次與輸贏幾場之間的關(guān)系,總得分與輸贏比賽的關(guān)系等.

    變式1 某校積極推進(jìn)“陽光體育”工程,本學(xué)期在九年級11個(gè)班級中開展籃球單循環(huán)比賽(每個(gè)班級與其他班級分別進(jìn)行一場比賽,每個(gè)班級需進(jìn)行10場比賽). 比賽規(guī)則規(guī)定:每場比賽都要分出勝負(fù),勝一場得3分,負(fù)一場得1分. 如果某班級在所有的比賽中只得24分,那么該班級勝負(fù)場數(shù)分別是多少?

    分析 變式1與源問題相比,只改變了比賽場次和得分,屬于水平變式①,即表面內(nèi)容相同,內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同.從遷移的角度來看,屬于源問題的近遷移題.

    變式2 若x+y-12+(2x+y-20)2=0,求x,y的值.

    變式3 若單項(xiàng)式2ax+yb20與-2a12b2x+y是同類項(xiàng),求x,y的值.

    分析 變式2、變式3與源問題相比,改變了問題的表面內(nèi)容特征,但內(nèi)在結(jié)構(gòu)幾個(gè)變量之間的關(guān)系仍未改變,屬于水平變式②,即表面內(nèi)容不同,內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同. 從遷移的角度來看,屬于源問題的中遷移題.

    (1)甲隊(duì)聯(lián)賽積分為______;

    (2)甲隊(duì)共打贏______場比賽.

    變式5 寶應(yīng)縣是江蘇省青少年足球訓(xùn)練基地,每年都舉行全縣中小學(xué)生足球聯(lián)賽.比賽規(guī)則規(guī)定:勝一場得3分,平一場得1分,負(fù)一場得0分. 2022年的足球聯(lián)賽中某校足球隊(duì)參加了16場比賽,共得30分. 已知該足球隊(duì)只輸了2場,那么這個(gè)足球隊(duì)勝了幾場,平了幾場?

    分析 變式4、變式5與源問題相比,沒改變問題的表面內(nèi)容特征. 變式4給出了贏一場和輸一場的得分,給出了幾個(gè)變量之間的關(guān)系,去求比賽的場次和得分;變式5除了勝場次和負(fù)場次,還多了平場次,給出了幾個(gè)變量之間的關(guān)系,去求比賽勝和平的場次. 變式4、變式5的內(nèi)在結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生了變化,屬于垂直變式③,即表面內(nèi)容相同,內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同.從遷移的角度來看,屬于源問題的中遷移題.

    變式6 某家居專營店用2730元購進(jìn)A,B兩種新型玻璃保溫杯共60個(gè),這兩種玻璃保溫杯的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如表1所示.

    這兩種玻璃保溫杯各購進(jìn)多少個(gè)?

    變式7? 若關(guān)于x的一元一次方程(a+b-12)x=2a+b-20有無數(shù)多個(gè)解,試求a,b的值.

    例題的變式設(shè)計(jì)思考

    1. 對水平變式的教學(xué)思考

    水平變式只改變問題的表面內(nèi)容,不改變問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu).而問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征才是問題的核心. 水平變式雖然只是內(nèi)在結(jié)構(gòu)的不斷重復(fù),但形式各異的水平變式仍有重要的教學(xué)價(jià)值. 在學(xué)生眼里,通過水平變式對源問題的重復(fù),是源問題的再認(rèn)識,是不斷鞏固和掌握源問題的過程. 在教學(xué)中通過水平變式問題的解決,可以幫助學(xué)生認(rèn)識問題的本質(zhì)屬性,突出問題的主要因素,發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu). 因此,水平變式的意義在于讓學(xué)生強(qiáng)化對問題的理解,形成問題解決的策略,發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu),看清問題的本質(zhì),并為過渡到垂直變式做好鋪墊.

    水平變式雖然只是解題技能的簡單重復(fù),但Marton變式學(xué)習(xí)理論認(rèn)為:經(jīng)驗(yàn)不斷重復(fù)才能形成認(rèn)知,第一次關(guān)注理論描述效度;當(dāng)?shù)诙谓?jīng)歷時(shí),第一次所經(jīng)歷的方面會被放大;第二次的經(jīng)歷“豐富”并“加深”第一次經(jīng)歷的各個(gè)方面[3]. 通過水平變式可以幫助學(xué)生形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在反復(fù)的水平變式活動(dòng)中,學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)會發(fā)生變化,不斷積累新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),再經(jīng)過學(xué)生自我摸索和反思領(lǐng)悟,思維也會隨之而發(fā)展.

    2. 對垂直變式的教學(xué)思考

    當(dāng)然,只有水平變式,而沒有垂直變式也不行,那樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只會停留在淺表層面. 只有垂直變式才能生成抽象化和深層次的數(shù)學(xué)理解.垂直變式改變了問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu),增加了新的認(rèn)知元素,加大了問題區(qū)分的認(rèn)知負(fù)荷. 垂直變式是問題結(jié)構(gòu)的深層次加工,它不拘泥于問題的表面內(nèi)容,提取了內(nèi)在結(jié)構(gòu),形成變式題的“結(jié)構(gòu)骨架”. 垂直變式的核心是數(shù)學(xué)深層結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí),它不斷增加認(rèn)知負(fù)荷,逐漸驅(qū)動(dòng)高階思維發(fā)展,由表層類比向結(jié)構(gòu)類比轉(zhuǎn)化,增加對問題本質(zhì)的深層理解,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由例題(起點(diǎn))向垂直變式題(終點(diǎn))過渡,由淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí),逐步發(fā)揮例題的深層教學(xué)價(jià)值.

    3. 從遷移的角度來看變式題

    從遷移的角度來看變式題,可以分為源問題的近遷移題、中遷移題和遠(yuǎn)遷移題. 遷移量隨著近、中、遠(yuǎn)遷移題而逐漸增加. 同時(shí),變式題要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來設(shè)計(jì),盡量讓變式的難度控制在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi). 若學(xué)生對于源問題的理解不夠,則需要設(shè)計(jì)近遷移題;若學(xué)生已經(jīng)掌握了源問題,則需要設(shè)計(jì)中、遠(yuǎn)遷移題. 另外,變式的“度”和“量”至關(guān)重要,如果變的“度”太小,變的“量”太多,學(xué)生就會陷入“題?!鄙顪Y. 而變的“度”太大,跳過學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),使學(xué)生不能理解,就會讓學(xué)生產(chǎn)生挫敗感,同樣達(dá)不到促進(jìn)高階思維發(fā)展的目的. 總之,在進(jìn)行問題變式設(shè)計(jì)時(shí),教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際學(xué)情設(shè)計(jì)適度、適量的近、中、遠(yuǎn)遷移題,促進(jìn)學(xué)生掌握源問題、理解問題的深層結(jié)構(gòu),從而達(dá)到對問題的理解和知識的遷移的目的,真正實(shí)現(xiàn)從知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 章建躍,王嶸. 中國數(shù)學(xué)教科書使用變式素材的途徑和方法[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2015,54(10):1-8,48.

    [2] 喻平. 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)與評價(jià)研究[M]. 上海:華東師范大學(xué)出版社,2021.

    [3] 孫旭花,黃毅英,林智中,等. 問題變式:結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一[J]. 課程·教材·教法,2006(05):38-42.

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