數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的理論理解與培養(yǎng)路徑

林全德

［摘 ?要］ 數(shù)學(xué)運(yùn)算可以說(shuō)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的環(huán)節(jié)，隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷深入，隨著學(xué)生從小學(xué)走向初中再走向高中，數(shù)學(xué)運(yùn)算不斷發(fā)生著深刻變化，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求也越來(lái)越高. 每一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師，都應(yīng)當(dāng)以新高考作為教學(xué)背景，應(yīng)當(dāng)在新高考的視野下去理解數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的相關(guān)理論，去探究有效的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)途徑. 對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算及其能力的認(rèn)識(shí)，不能局限于傳統(tǒng)的應(yīng)試教育，而應(yīng)當(dāng)站在學(xué)生的角度，去梳理學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)的認(rèn)知過(guò)程，把握學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要影響因素. 行之有效的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的模式可以概括為：高中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)以具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題或習(xí)題作為載體，立足學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中的知識(shí)整合、思維發(fā)展、能力提升等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程有純正式的體驗(yàn)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程中有自主發(fā)現(xiàn)，并且能夠?qū)⑦@些發(fā)現(xiàn)上升為屬于自己的數(shù)學(xué)運(yùn)算理論.

［關(guān)鍵詞］ 新高考；數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；培養(yǎng)

從當(dāng)前高中教育的實(shí)際情況來(lái)看，考試依然發(fā)揮著指揮棒的作用，考試模式的改變對(duì)學(xué)科教學(xué)更是有著直接影響. 對(duì)于當(dāng)前的高考情形，最直接的概括用語(yǔ)就是新高考，相對(duì)于傳統(tǒng)的高考而言，新高考通常采用的是“3+1+2”的模式，強(qiáng)調(diào)對(duì)核心素養(yǎng)以及關(guān)鍵能力的考查. 那么在新高考的視野下，作為數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力重要組成部分的數(shù)學(xué)運(yùn)算，應(yīng)當(dāng)給予怎樣的理解？又應(yīng)當(dāng)如何尋找有效的培養(yǎng)途徑呢？

筆者認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題是重要的，其原因在于數(shù)學(xué)運(yùn)算可以說(shuō)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最基本的能力，從學(xué)生接觸數(shù)學(xué)的那一天開(kāi)始，數(shù)學(xué)運(yùn)算就發(fā)生了. 隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷深入，隨著學(xué)生從小學(xué)走向初中再走向高中，數(shù)學(xué)運(yùn)算不斷發(fā)生著深刻變化，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求也越來(lái)越高. 在前一階段的課程改革中，出現(xiàn)過(guò)一種思潮，那就是注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，而輕視數(shù)學(xué)知識(shí)（其中就包括數(shù)學(xué)運(yùn)算）的教學(xué). 很快人們就發(fā)現(xiàn)這種思潮是有問(wèn)題的，數(shù)學(xué)思想方法不可能脫離數(shù)學(xué)知識(shí)而存在，學(xué)生只有在掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)（其中自然也包括數(shù)學(xué)運(yùn)算）的過(guò)程中，才能真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法. 因此從這個(gè)角度來(lái)看，即使是高中數(shù)學(xué)教學(xué)，也必須夯實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)基礎(chǔ)，也必須注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，才能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有所領(lǐng)悟. 今天的新高考模式，更是強(qiáng)調(diào)對(duì)關(guān)鍵能力的考查，作為關(guān)鍵能力重要組成部分的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，應(yīng)當(dāng)重新回歸高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的中央.

因此每一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師，都應(yīng)當(dāng)以新高考作為教學(xué)背景，應(yīng)當(dāng)在新高考的視野下去理解數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的相關(guān)理論，去探究有效的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)途徑. 也正是基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者才明確了應(yīng)以數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)作為教學(xué)抓手，并帶動(dòng)其他數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力開(kāi)展教學(xué). 下面結(jié)合具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)實(shí)例，談?wù)劰P者的一些理論學(xué)習(xí)的成果認(rèn)識(shí)以及探究的相關(guān)心得.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的理論理解

談到數(shù)學(xué)運(yùn)算能力這一概念，可以說(shuō)沒(méi)有一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師是陌生的，哪怕是最簡(jiǎn)單、最直接的概念理解，也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力就是關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力. 但是這種理解有時(shí)候容易導(dǎo)致教師視野狹隘，認(rèn)為數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)就是通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算去培養(yǎng)學(xué)生的能力，容易讓教師和學(xué)生都陷入題海泥淖，從可持續(xù)發(fā)展的角度來(lái)看是得不償失的. 因此一個(gè)睿智的教師，在新高考的視野下，首先要理解關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力最基本的理論，只有有了正確的理論理解，后續(xù)實(shí)踐才能擁有正確的方向.

從宏觀角度來(lái)看，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)能力，直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，高中數(shù)學(xué)作為高考中重要的一門(mén)科目，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力、思維能力、空間能力等都有著較高的要求，而運(yùn)算能力則是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ). 因此，在高中階段，數(shù)學(xué)教師如何培養(yǎng)和強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力尤為重要. 實(shí)際上，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與思維能力以及空間想象能力同等重要——當(dāng)然從學(xué)生學(xué)習(xí)歷程的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是優(yōu)于思維能力和空間想象能力的，畢竟學(xué)生從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的那一刻開(kāi)始發(fā)展的就是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如果從廣義理解的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力就是借助對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的理解，在運(yùn)算相關(guān)數(shù)學(xué)題的過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的能力. 其涉及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的記憶與理解，涉及學(xué)生將具體的運(yùn)算情境與運(yùn)算法則對(duì)應(yīng)結(jié)合，當(dāng)然還涉及最基本的數(shù)學(xué)計(jì)算.

這里必須強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)計(jì)算是兩個(gè)不同的概念，前者更為寬泛，而且與學(xué)生的思維能力以及數(shù)學(xué)建模能力等密切相關(guān). 畢竟數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程，除了最基本的數(shù)學(xué)計(jì)算外，還包括復(fù)雜的心理過(guò)程. 這意味著對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解必須深入微觀視角，教師要認(rèn)識(shí)到學(xué)生開(kāi)始數(shù)學(xué)運(yùn)算，大腦當(dāng)中會(huì)激活與數(shù)學(xué)運(yùn)算相關(guān)的諸多要素，其中既涉及原有知識(shí)和運(yùn)算法則的調(diào)用，又涉及原有知識(shí)與題目情境的關(guān)系判斷……只有當(dāng)這些過(guò)程能夠順利進(jìn)行時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算才能夠有效開(kāi)展，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也才能在這一過(guò)程當(dāng)中得以培養(yǎng). 這里來(lái)看一道例題：

例1 已知一給定函數(shù)的解析式為y=f（x），其圖象在下列圖中，并且對(duì)任意a1∈（0，1），由關(guān)系式an+1=f（an）得到的數(shù)列｛an｝滿足an+1>an（n∈N*），則該函數(shù)的圖象是（ ?）

當(dāng)學(xué)生面對(duì)這道題目的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)說(shuō)解題思路存在著一定的挑戰(zhàn)，而解題思路的挑戰(zhàn)就可以理解為數(shù)學(xué)運(yùn)算的挑戰(zhàn). 站在學(xué)生的角度來(lái)分析學(xué)生面對(duì)這道題目時(shí)的思維，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生加工題目給出的信息時(shí)，思維會(huì)在一定程度上發(fā)生混亂. 相當(dāng)一部分學(xué)生都無(wú)法將題目給出的函數(shù)、函數(shù)解析式、函數(shù)圖象與數(shù)列等概念結(jié)合起來(lái)，即使部分學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)兩者結(jié)合，也難以根據(jù)題目給出的“由關(guān)系式an+1=f（an）得到的數(shù)列｛an｝滿足an+1>an（n∈N*）”這一條件，得到有用的信息. 如果這個(gè)環(huán)節(jié)得不到突破，那么數(shù)學(xué)運(yùn)算自然就不會(huì)發(fā)生，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)也就是一句空話.

事實(shí)上，突破這道題目的關(guān)鍵，在于建立函數(shù)、函數(shù)解析式、函數(shù)圖象之間的關(guān)系后，能夠根據(jù)題目給出的“由關(guān)系式an+1=f（an）得到的數(shù)列｛an｝滿足an+1>an（n∈N*）”這一條件，得到f（an）>an，即f（x）>x（可以從“an+1=f（an），an+1>an”中推導(dǎo)出來(lái)）. 一旦得到這一結(jié)論，就可以進(jìn)一步推導(dǎo)出f（x）=x實(shí)際上就是圖中正方形的對(duì)角線，既然f（x）>x，那么曲線肯定在正方形對(duì)角線的上方. 因此正確選項(xiàng)就是A．

比較學(xué)生最初遇到困難與思維突破后數(shù)學(xué)運(yùn)算的順利開(kāi)展，可以得出的一個(gè)基本結(jié)論就是，對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的認(rèn)識(shí)，不能局限于傳統(tǒng)的應(yīng)試教育，而應(yīng)當(dāng)站在學(xué)生的角度，去梳理學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)的認(rèn)知過(guò)程，把握學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要影響因素，比如舊知識(shí)的激活以及新結(jié)論的得出，等等. 理解了這一點(diǎn)，那么隨后的教學(xué)實(shí)踐就有了正確的方向，同時(shí)也有了理論保證.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)路徑

既然認(rèn)識(shí)到了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算是一個(gè)復(fù)雜的認(rèn)知過(guò)程，那么培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，就要從學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)的認(rèn)知出發(fā)，去建立一個(gè)行之有效的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的模式. 對(duì)于這樣的模式，筆者將其概括為：高中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)以具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題或習(xí)題作為載體，立足學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中的知識(shí)整合、思維發(fā)展、能力提升等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程有純正式的體驗(yàn)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程中能夠自主發(fā)現(xiàn)，并且將這些發(fā)現(xiàn)上升為屬于自己的數(shù)學(xué)運(yùn)算理論. 盡管這種理論不一定是放之四海而皆準(zhǔn)的，更多的只是屬于學(xué)生個(gè)體的樸素理論，但是這種理論真正表征著學(xué)生個(gè)體的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，因此應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的重要思路.

值得一提的是，關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的途徑，如果在相關(guān)的數(shù)據(jù)庫(kù)中搜索的話，可以發(fā)現(xiàn)豐富的文獻(xiàn). 這說(shuō)明關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)實(shí)際上是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)熱門(mén)話題. 但是梳理這些文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)是站在教師的角度甚至是站在應(yīng)試的角度去研究的，在新高考的視角下這些思路已經(jīng)不能完全使用，甚至完全不能使用，教師必須開(kāi)辟新的途徑，必須真正站在學(xué)生的角度尤其站在學(xué)生認(rèn)知的角度，通過(guò)把握影響學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的認(rèn)知要素，去尋找行之有效的培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的路徑. 這里仍然通過(guò)一道例題來(lái)說(shuō)明.

例2 函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱(chēng)為函數(shù)f（x）在［a，b］上的面積. 已知函數(shù)y=sinnx在0，上的面積為（n∈N*），則

（1）函數(shù)y=sin3x在0，上的面積為_(kāi)_______.

（2）函數(shù)y=sin（3x-π）+1在，上的面積為_(kāi)_______.

解答這道題目，對(duì)于相當(dāng)一部分學(xué)生而言是具有挑戰(zhàn)性的，數(shù)學(xué)運(yùn)算很難順利開(kāi)展，作為教師就必須想方設(shè)法帶著學(xué)生去突破思維窠臼. 從題目來(lái)看，這道題目綜合了文字信息與圖象信息，涉及定比分點(diǎn)問(wèn)題. 從數(shù)學(xué)運(yùn)算開(kāi)展的角度來(lái)看，一個(gè)重要的突破點(diǎn)就是數(shù)形結(jié)合——實(shí)際上，很多時(shí)候數(shù)形結(jié)合就是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重要組成部分，如果一個(gè)學(xué)生能夠?qū)?shù)形結(jié)合運(yùn)用得非常嫻熟，那么數(shù)學(xué)運(yùn)算能力就不會(huì)差到哪里去. 這道題目的優(yōu)點(diǎn)在于，其具有一定的開(kāi)放性，且包含的信息比較豐富，對(duì)學(xué)生的思維分析能力的考查非常到位. 從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的角度來(lái)看，讓學(xué)生在閱讀題目的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，題目給出的信息“函數(shù)y=sinnx在0，上的面積為（n∈N*）”，說(shuō)明“函數(shù)y=sinnx半個(gè)周期長(zhǎng)度的面積為（n∈N*）”（如圖1所示），于是“函數(shù)y=sin3x在0，上的面積為”.

得出這一結(jié)論后，結(jié)合圖2，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=sin（3x－π）+1在，上的面積，就是y=sin（3x－π）+1與直線y=1圍成的半個(gè)周期長(zhǎng)度的面積與矩形的面積之和. 進(jìn)一步分析，由第（1）問(wèn)的結(jié)論可得y=sin（3x－π）+1與直線y=1圍成的半個(gè)周期長(zhǎng)度的面積為，所圍的矩形的面積是－×1=π. 于是y=sin（3x－π）+1在，上的面積就是+π.

這樣的教學(xué)過(guò)程對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生而言都是適合的，主要原因在于這樣的教學(xué)過(guò)程按照具體的邏輯展開(kāi)，而且過(guò)程相對(duì)詳細(xì)，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠接受并理解. 當(dāng)然，從數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的角度來(lái)看，只將這樣的運(yùn)算過(guò)程提供給學(xué)生還是不夠的，需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)這一過(guò)程是如何展開(kāi)的，這才是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的關(guān)鍵. 當(dāng)然，這樣的過(guò)程也不復(fù)雜，高中生最大的特點(diǎn)就是善于理性思考、善于反思，因此只要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察這一過(guò)程，看看其中哪些環(huán)節(jié)是自己獨(dú)立思考時(shí)沒(méi)有出現(xiàn)的，再去思考為什么自己沒(méi)有想到這些環(huán)節(jié)……如此引導(dǎo)學(xué)生去對(duì)比、去反思，學(xué)生就能夠發(fā)現(xiàn)自己思維的不足. 從數(shù)學(xué)運(yùn)算認(rèn)知心理的角度來(lái)看，這樣的教學(xué)實(shí)際上就是引導(dǎo)學(xué)生梳理與反思數(shù)學(xué)運(yùn)算心理，并在反思中發(fā)現(xiàn)且彌補(bǔ)自己的不足. 只要這一心理過(guò)程能夠?qū)崿F(xiàn)，那么數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)就是水到渠成的事情.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的教學(xué)總結(jié)

對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，教師常常有兩種界定角度：一是現(xiàn)實(shí)的需要就是高考的需要，二是理想的需要就是學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的需要. 這兩種需要都必須滿足，才能同時(shí)兼顧學(xué)生的當(dāng)下與未來(lái). 數(shù)學(xué)學(xué)科是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)不僅影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)積累，還影響著學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的培養(yǎng)以及核心素養(yǎng)的發(fā)展. 因此教師必須抓住包括數(shù)學(xué)運(yùn)算在內(nèi)的每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，真正立足能力培養(yǎng)去實(shí)施教學(xué)，這一點(diǎn)對(duì)于新高考背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，是一個(gè)兼具現(xiàn)實(shí)意義與歷史意義的教學(xué)選擇.

有人說(shuō)，運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，是高考考查的重點(diǎn)［1］. 簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的一句話卻從兩個(gè)角度界定了數(shù)學(xué)運(yùn)算，即數(shù)學(xué)運(yùn)算能力既與學(xué)生的思維能力和運(yùn)算技能有關(guān)，也影響著學(xué)生參加高考. 當(dāng)然，這兩者并行不悖，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力本質(zhì)上既有服務(wù)高考的目的，也有在新高考的引導(dǎo)下發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目的. 在實(shí)際教學(xué)中，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力為抓手，促使教師以及學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)教學(xué)，在課堂上形成教師與學(xué)生默契的教學(xué)關(guān)系，這可以為數(shù)學(xué)運(yùn)算的展開(kāi)提供一個(gè)友好環(huán)境. 應(yīng)當(dāng)說(shuō)，這種環(huán)境也是新高考背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)努力的方向，畢竟數(shù)學(xué)運(yùn)算作為一個(gè)復(fù)雜的心理過(guò)程，也是在具體的課堂情境中發(fā)生的，這一情境越友好，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)過(guò)程就會(huì)越順利.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王海. 新高考背景下對(duì)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的幾點(diǎn)思考［J］. 高考，2017（18）：36-38.