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    與二次函數(shù)相關(guān)的最值問題求解策略

    2023-03-14 02:23:06甘肅省甘谷縣西關(guān)中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2023年4期
    關(guān)鍵詞:對稱軸四邊形拋物線

    甘肅省甘谷縣西關(guān)中學(xué)

    王彩蘭

    對于與二次函數(shù)相關(guān)的線段最值問題的考查,往往涉及到的知識點主要有以下幾點:其一是兩點之間線段最短;其二是垂線段最短;其三是三角形三邊關(guān)系等內(nèi)容.如何針對這一考點引導(dǎo)學(xué)生對“動”和“定”之間的關(guān)系進行思考研究,處理問題中運動變化關(guān)系與幾何元素的位置、數(shù)量關(guān)系,提升學(xué)生的解題能力和識別能力,從而落實相關(guān)的探究活動過程,真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求?本文中結(jié)合常見的幾種類型作簡單的說明.

    1 求動點到直線距離的最值:建立二次函數(shù)

    例1如圖1,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,OA=OC=3,頂點為D.在AC下方的拋物線上有一點P,過點P作PH⊥AC于點H,求線段PH的最大值及此時點P的坐標.

    圖1

    圖2

    圖3

    如圖2,我們可以過點P作PE垂直x軸于點E,交直線AC于點F.根據(jù)直線AC的解析式判斷其與x軸的夾角,從而確定PF與PH的關(guān)系,結(jié)合點P在二次函數(shù)上,可以直接寫出線段PF的函數(shù)關(guān)系式,建立二次函數(shù),利用二次函數(shù)求解最值,問題得到解決.

    再如:如圖3,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸相交于點C(0,-3).若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點,PH垂直x軸于點H,與BC交于點M,連接PC.求線段PM的最大值.

    這道題可以根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標與較小的縱坐標的差,可得二次函數(shù),進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.

    2 求動點與其他兩定點組成的三角形周長的最值:建立“將軍飲馬”模型

    例2如圖4,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C(0,-3).在其對稱軸上確定一點P,使得△BCP的周長最小,試求周長的最小值和點P的坐標.

    圖4

    圖5

    要使△BCP的周長最小,因為點B和點C固定,BC為定長,則只要PB+PC最小即可.如圖5,由于點A與點B關(guān)于對稱軸對稱,從而連接AC交對稱軸于點P,則PA+PC=PB+PC=AC,根據(jù)兩點之間,線段最短,可得PB+PC的最小值,故可求△ABP周長的最小值.本題在處理三角形周長最小值的過程中,將PB+PC轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型進行研究,從而將問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”問題即可得到解決.

    圖6

    3 求動點到兩定點距離之差的最值:轉(zhuǎn)化為三點共線問題

    圖7

    例3如圖7,已知拋物線過點O(0,0),A(5,5),且它的對稱軸為x=2.點B是拋物線對稱軸上的一點,且點B的坐標為(2,8),若P是拋物線上的動點,當PA-PB的值最大時,求點P的坐標以及PA-PB的最大值.

    圖8

    如何探求其差最大呢?我們

    不妨建立新的圖形進行研究.如圖8所示,連接AB并延長,交x軸于點P,任取一點P′,連接AP′,BP′,在△ABP′中,根據(jù)三角形的性質(zhì),兩邊之差小于第三邊,即AP′-BP′

    對于例3,運用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式為y=-x+10,當PA-PB的值最大時,點A,B,P在同一條直線上,聯(lián)立方程組求解即可求得點P的坐標,利用兩點間距離公式可求得AB,即PA-PB的最大值.

    4 “一定兩動”三角形面積的最值:定底求高轉(zhuǎn)化為線段最值

    此類問題往往考查“拋物線上是否存在一動點,使之與一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”,這類問題我們也可以簡稱為“一定兩動”求面積最值問題.解答過程中可以先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度,然后利用拋物線上動點到該線段的距離確定最大值,之后再利用三角形的面積公式即可確定其最大值,在求解過程中,切點即為符合題意的點.當然也可以將所求三角形分割成兩個基本模型的三角形,根據(jù)切割后三角形的底和高的情況進行求解,這種方法常常會通過二次函數(shù)表示,根據(jù)二次函數(shù)最值求解即可得到.

    圖9

    例4如圖9,二次函數(shù)y=-x2+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B(4,0),另一個交點為A,且與y軸相交于點C.在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M,使得它與B,C兩點構(gòu)成的三角形面積最大?若存在,求出此時點M的坐標;若不存在,請簡要說明理由.

    圖10

    5 “兩定兩動”四邊形面積的最值:轉(zhuǎn)化為三角形求解

    圖11

    例5如圖11,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過A(5,0),B(4,4).在第一象限的拋物線上存在點M,使以O(shè),A,B,M為頂點的四邊形面積最大,求點M的坐標.

    根據(jù)題意可知,以O(shè),A,B,M為頂點的四邊形中,△OAB的面積固定,如圖12,因此只要另外一個三角形面積最大,則四邊形面積即最大.求出另一個三角形面積的表達式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值即可.顯然,本題中四點所構(gòu)成的四邊形,因點M的位置不確定,故可根據(jù)情況進行分類討論:當0

    圖12

    圖13

    根據(jù)上述內(nèi)容,我們可以在探究幾何模型過程中挖掘求線段最值問題圖形的本質(zhì),再結(jié)合相關(guān)內(nèi)容涉及到的最基本的原理、法則,將多種問題轉(zhuǎn)化為同一類問題來解答,實現(xiàn)方法、思路歸一的結(jié)果.同時在計算過程中引導(dǎo)學(xué)生感悟化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)、方程建模的應(yīng)用,從而將各種方法靈活運用于問題探究過程中.

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