構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體 提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)

林曦

“學(xué)習(xí)”日益成為教育研究的重要領(lǐng)域，教師不能只局限于“教”，不能眼里只有教材和教法，更要看得見“人”，將重心落于如何指導(dǎo)、幫助學(xué)生更好地“學(xué)”。構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體，給予學(xué)生課堂主體地位，讓學(xué)生有公平、潤澤的學(xué)習(xí)環(huán)境，使其在自主學(xué)習(xí)和合作交流中展開真實(shí)、有品質(zhì)的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)是一門邏輯性、抽象性較強(qiáng)的學(xué)科，只有讓數(shù)學(xué)基礎(chǔ)各異的學(xué)生學(xué)有所思、學(xué)有所獲，體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂趣、數(shù)學(xué)的智趣，才可以為可持續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體，創(chuàng)設(shè)公平的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)

學(xué)生經(jīng)歷六年的小學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入初中階段，因?yàn)樗季S能力、學(xué)習(xí)習(xí)慣的不同以及各種非智力因素的影響已經(jīng)形成不同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而初中階段課業(yè)要求加大、節(jié)奏加快，使得不同層次的學(xué)生均面臨新的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)。對(duì)教師而言，傳統(tǒng)秧田模式的講授課堂和多年課改引進(jìn)嘗試的小組合作學(xué)習(xí)，哪個(gè)才是公平、高效的？如何才能真正讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)，收獲知識(shí)的增長和素養(yǎng)的提升？佐藤學(xué)提出：真正好的教育是“公平”與“質(zhì)量”的兼顧，教師的責(zé)任“不是教一節(jié)好課，而是保障所有學(xué)生的學(xué)習(xí)權(quán)”。秧田模式的講授課堂多數(shù)只見教師不見學(xué)生，或者課堂只屬于可以呼應(yīng)教師的部分學(xué)生。小組合作學(xué)習(xí)又往往停留在簡(jiǎn)單地分小組，進(jìn)行表面化的合作學(xué)習(xí)，更多時(shí)候?yàn)楣_教學(xué)的表演而生。而學(xué)習(xí)共同體是要形成課堂內(nèi)外長效的學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓每個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)共同體中都能感受到被看見、受重視。基礎(chǔ)偏弱的學(xué)生覺得課堂也有他們的一席之地，而不是被動(dòng)地被課堂拋棄；思維靈活的學(xué)生感覺學(xué)習(xí)可控而又有挑戰(zhàn)，不同層次的學(xué)生都能感受到公平、安全、滋潤，從而生發(fā)出更多的主動(dòng)性，真實(shí)學(xué)習(xí)而又互相促進(jìn)。佐藤學(xué)將“民主性”“公共性”和“卓越性”作為學(xué)習(xí)共同體的三大教育哲學(xué)，教師構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體亦要將這個(gè)教育哲學(xué)付諸實(shí)踐。

構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體的第一步是分組。有的教師會(huì)單一以學(xué)生在教室的空間位置，如前后桌、同行同列等形式劃分，雖然便于課堂交流，但忽視了其他影響因素。構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體應(yīng)結(jié)合學(xué)生的興趣愛好、性格特征以及成績等多維度進(jìn)行分組，還應(yīng)結(jié)合每個(gè)共同體小組的發(fā)展目標(biāo)來構(gòu)建。在實(shí)踐過程中，不同的班級(jí)生情應(yīng)有不同的策略，在學(xué)生程度差異較大的班級(jí)甚至可構(gòu)建多模式的共同體。比如，基礎(chǔ)較好、思維活躍的學(xué)生可以招募式自由組合形成3～5人小組，這類共同體可在課堂之外自發(fā)地對(duì)拓展問題展開鉆研探討，甚至開展一些專題性的研究，成員間的思維碰撞有利于激發(fā)更多的學(xué)習(xí)興趣，提高思維層次。而其他大部分的學(xué)生由教師綜合考量后組建共同體，也可征詢學(xué)生意見進(jìn)行個(gè)別調(diào)整。這種模式的共同體是課堂教學(xué)活動(dòng)關(guān)注的主體，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)適合他們的思維能力，充分調(diào)動(dòng)他們的積極性，讓他們?cè)诠餐w中能開展自我學(xué)習(xí)，同時(shí)獲得幫助和滋養(yǎng)。

二、推進(jìn)學(xué)習(xí)共同體，保障真實(shí)的學(xué)習(xí)過程

學(xué)習(xí)共同體設(shè)立后，教與學(xué)都應(yīng)有所調(diào)整，以便推進(jìn)學(xué)習(xí)共同體的開展，保障真實(shí)的學(xué)習(xí)過程，而不是把共同體作為一種表面存在的形式。以“完全平方公式”教學(xué)為例，談?wù)務(wù)n堂設(shè)計(jì)與教學(xué)如何推進(jìn)學(xué)習(xí)共同體的開展。

“完全平方公式”在人教版教材中的設(shè)計(jì)是通過一組特例的計(jì)算、比較、分析、歸納，抽象出一般結(jié)論，進(jìn)而通過符號(hào)推理獲得公式的符號(hào)表示及語言表述，體現(xiàn)從特殊到一般的思想方法。故從“完全平方公式”的代數(shù)運(yùn)算功效上考慮，筆者在“綜合共同體”中設(shè)計(jì)了從數(shù)字的計(jì)算—猜想—簡(jiǎn)單驗(yàn)證—部分抽象驗(yàn)證—證明，這樣的探究過程（方案1），以期遵循探究數(shù)學(xué)原理的一般程序：觀察—?dú)w納猜想—驗(yàn)證—證明，這是初中階段大部分的原理教學(xué)采用的探究路徑，特別在幾何的一些定理中，如內(nèi)角和公式、勾股定理等。數(shù)學(xué)思維中，歸納推理在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，歸納能力是創(chuàng)新能力的重要基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)教學(xué)過去強(qiáng)調(diào)“雙基”，缺少對(duì)學(xué)生歸納能力的培養(yǎng)，而概念、定理、公式、法則等原理教學(xué)的核心就是“歸納”。方案1的設(shè)計(jì)，旨在讓學(xué)生真正經(jīng)歷“由特殊到一般”公式的發(fā)現(xiàn)和歸納過程。

問題：1012=（100+1）2=？

計(jì)算猜想：1012=（100+1）2=（100+1）（100+1）=

=

口算驗(yàn)證：112=

212=

計(jì)算驗(yàn)證：（a+1）2=

一般地：（a+b）2=

從單元整體考慮，在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了“平方差公式”，類似方案1的設(shè)計(jì)用“平方差公式”來探究比較合適，而在乘法公式的第二節(jié)課“完全平方公式”中，教師可以引導(dǎo)“自由共同體”的學(xué)生思考知識(shí)的生發(fā)點(diǎn)?！捌椒讲罟健焙汀巴耆椒焦健倍际嵌囗?xiàng)式乘法（a+b）（p+q）的特例，因此在方案2中抓住多項(xiàng)式乘法這個(gè)知識(shí)生發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上探究特例，切合知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程和內(nèi)在的邏輯線索，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并且應(yīng)用與“平方差公式”類比的方法，從符號(hào)、文字、圖形角度全面認(rèn)識(shí)“完全平方公式”。這樣的過程，讓學(xué)生在參與中更加自然地收獲了公式原理。

方案2：

（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq

（1）當(dāng)p=a，q=-b時(shí)，（a+b）（p+q）=（a+b）（a-b）=a2-ab+ba-b2=a2-b2

（2）當(dāng)p=a，q=b時(shí)，（a+b）（p+q）=（a+b）（a+b）

即（a+b）2=

語言表述：兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于? ? 。

（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq

（a+b）（a-b）=a2-ab+ba-b2=a2-b2

思考：你能類比以上圖形，畫圖說明“完全平方公式”嗎？（請(qǐng)先獨(dú)立思考，嘗試畫圖，再互相討論。）

原理教學(xué)中若能讓學(xué)生去追尋、探索知識(shí)的生發(fā)和相關(guān)知識(shí)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，就能使學(xué)生更加自然地學(xué)習(xí)相關(guān)的知識(shí)、原理，同時(shí)在“自然而然”中享受“水到渠成”的成就，感受知識(shí)生發(fā)的魅力。初中數(shù)學(xué)中“無理數(shù)”“直角坐標(biāo)系”等內(nèi)容都是人類數(shù)學(xué)探索歷程中閃亮的火花，教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)若能讓其體驗(yàn)它們的生發(fā)，在“生發(fā)”中掌握相關(guān)的知識(shí)，同時(shí)感受知識(shí)流淌、思維前進(jìn)的美好，這對(duì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心無疑有巨大的作用。因此，教師可借助學(xué)習(xí)共同體，力求讓不同思維和能力的學(xué)生都能學(xué)好原理，課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)要符合不同學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，關(guān)注學(xué)生的“四基”發(fā)展，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，使學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”，優(yōu)化思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。

初中數(shù)學(xué)有著諸多的公式、定理、規(guī)律，要想讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得知識(shí)，并了解知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程，理解探索知識(shí)的研究方法，就要引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待問題。這節(jié)“完全平方公式”知識(shí)、技能的掌握是顯性的，是學(xué)習(xí)的“明線”；而思維的發(fā)展是隱性的，是教學(xué)中的“暗線”。數(shù)學(xué)課堂既要“授之以魚”，又要“授之以漁”，離開知識(shí)、技能的掌握來說思維的發(fā)展是“空中樓閣”，而只有知識(shí)、技能的掌握卻不關(guān)注思維發(fā)展的教學(xué)是“鼠目寸光”。知識(shí)、技能與思維發(fā)展相輔相成、相得益彰。這節(jié)課中貫穿著一般到特殊、特殊到一般，既有歸納的合情推理，又有應(yīng)用的邏輯推理，既有數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，又有差與和的轉(zhuǎn)化，這些都能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展、學(xué)習(xí)能力的提升，于學(xué)生可終身受益且可持續(xù)發(fā)展，這樣的教學(xué)才是有生命力的，學(xué)生在共同體中“雙線”的牽引下的學(xué)習(xí)才是深入有效的。

當(dāng)然，不同的共同體采用不同的導(dǎo)學(xué)方式，對(duì)課堂時(shí)間的分配，課堂中各共同體的引導(dǎo)、調(diào)動(dòng)上都是個(gè)考驗(yàn)。日常的教學(xué)要根據(jù)教材和生情采用分中有合、合中有分的方式推進(jìn)共同體的每一節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，這樣絕大部分的學(xué)生可以在自己的共同體中開展真實(shí)有效的學(xué)習(xí)。教學(xué)只有適合共同體特質(zhì)的節(jié)奏、梯度、難度才能兼顧“公平”和“質(zhì)量”。

三、鞏固學(xué)習(xí)共同體，提升科學(xué)的學(xué)習(xí)品質(zhì)

共同體的學(xué)習(xí)包含三個(gè)層次的目標(biāo)：就學(xué)生個(gè)體而言，學(xué)生要能夠安心而真實(shí)地學(xué)習(xí)；就學(xué)生群體而言，學(xué)生之間相互平等，彼此傾聽，互相學(xué)習(xí)，從而讓課堂成為“交響樂”；就品質(zhì)而言，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該有更高的品質(zhì)，學(xué)生可以通過完成高挑戰(zhàn)、高質(zhì)量的學(xué)習(xí)任務(wù)得到全方位的發(fā)展，最終成為一個(gè)自主的學(xué)習(xí)者乃至深度學(xué)習(xí)者和創(chuàng)造者。因此，共同體的學(xué)習(xí)活動(dòng)不局限于課堂，課后的學(xué)習(xí)也可以繼續(xù)鞏固、延伸學(xué)習(xí)共同體的作用。

對(duì)于“自由共同體”中的學(xué)生，“完全平方公式”這節(jié)課中無論是知識(shí)的發(fā)展還是學(xué)習(xí)思考的深入都有值得再進(jìn)一步的價(jià)值，而此時(shí)若能挖掘好這個(gè)價(jià)值，無疑對(duì)這類學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有很大的幫助。因此，筆者設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)。

（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq

當(dāng)p=a，q=b時(shí)，（a+b）2=a2+2ab+b2

“完全平方公式”是多項(xiàng)式相乘的特殊形式，探究將“完全平方公式”特殊化或一般化能得出什么有價(jià)值的公式？

（1）兩數(shù)和的平方若改成三數(shù)和的平方、n數(shù)和的平方，如何解決？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）兩數(shù)和的平方若改成兩數(shù)和的立方、兩數(shù)和的n次方，如何解決？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

當(dāng)然，這個(gè)環(huán)節(jié)在課堂中因時(shí)間原因只能拋磚引玉，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在課后通過研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，形成小組的研究報(bào)告。這樣既拓展了課堂的時(shí)間，又讓學(xué)生對(duì)“完全平方公式”有了更完整的認(rèn)識(shí)，既明確它的“源”（多項(xiàng)式乘法），又清晰它的“比”（平方差公式，自身還有和與差兩種形式），還看見它的“展”（n項(xiàng)和的完全平方、兩項(xiàng)和的n次方）。

學(xué)生真正經(jīng)歷這樣的探究，就好像參與到“完全平方公式”的“前世”“今生”和“未來”，充分感受知識(shí)生成、發(fā)展的魅力，同時(shí)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)也能得到提升，在感受歸納和演繹的過程中邏輯推理能力和有條理的表達(dá)能力得以提升，科學(xué)精神和探究品質(zhì)、創(chuàng)新能力得以升華。數(shù)學(xué)課堂離不開數(shù)學(xué)的本源，但數(shù)學(xué)課堂又不能僅止于數(shù)學(xué)。教師在整個(gè)課堂內(nèi)外的學(xué)習(xí)共同體中，也能感受到學(xué)生的思考過程，思維的成長變化，進(jìn)展與卡殼的節(jié)點(diǎn)，欣喜和沮喪的真實(shí)，于教師也是一個(gè)不可復(fù)制的過程，是一個(gè)與學(xué)生發(fā)展共育的生命旅程。同樣，對(duì)于“綜合共同體”中的學(xué)生，通過多種形式的課內(nèi)自我評(píng)價(jià)、相互評(píng)價(jià)及課后互助等多渠道激發(fā)學(xué)生的自我學(xué)習(xí)和共同學(xué)習(xí)，以達(dá)到提升學(xué)習(xí)效率和品質(zhì)的目標(biāo)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)“要讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”，通過構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體，指導(dǎo)不同水平的學(xué)生在“生發(fā)”處學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，學(xué)生在思考探索的“深化”中把握數(shù)學(xué)的邏輯，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，感悟其間所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維，并在師生的共同學(xué)習(xí)探索過程中達(dá)成素養(yǎng)的“升華”，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，最大限度地收獲學(xué)習(xí)的價(jià)值。

（作者單位：福建省福州第八中學(xué)）

編輯：趙文靜