基于核心問題培養(yǎng)模型意識

張馨月

教師以蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊“植樹問題”一課教學(xué)為例，基于核心問題，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測、推理等活動，自主探索出植樹問題的數(shù)學(xué)模型，并嘗試運用該數(shù)學(xué)模型來解決生活中的實際問題，以此達到培養(yǎng)學(xué)生模型意識的目的。

一、多維整合分析，提煉核心問題

核心問題既是一節(jié)課的“課眼”，也是一節(jié)課的核心任務(wù)。聚焦核心問題，既是指引學(xué)生正確學(xué)習(xí)方向的自然選擇過程，也是課堂教學(xué)活動的價值體現(xiàn)。筆者結(jié)合多年的實踐探索，認(rèn)為應(yīng)通過教材的問題、教師的問題和學(xué)生的問題三個層面進行分析，其中，教材的問題是根本點，是對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的知識性問題；教師的問題是著力點，是指能夠引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)知識和積極思維的問題；學(xué)生的問題是切入點，是指學(xué)生結(jié)合已有知識經(jīng)驗，針對新知提出的本源性問題或疑難問題。

教材的問題：在蘇教版教材中，一改植樹問題中建構(gòu)“點與段的關(guān)系”模型為“找規(guī)律”，著重讓學(xué)生在理解“一一間隔排列”的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)并理解“看頭尾”法比較一一間隔排列中兩種物體數(shù)量的規(guī)律。這樣以“一一對應(yīng)”的思想來幫助學(xué)生建立“點段”模型，從而解決植樹問題。

教師的問題：如何讓學(xué)生感受和體驗生活中的間隔現(xiàn)象？進而從這些生活現(xiàn)象中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型。

學(xué)生的問題：本課知識對于學(xué)生而言，都是生活中的間隔現(xiàn)象，學(xué)生雖然比較熟悉，但未經(jīng)過一個系統(tǒng)的梳理和“數(shù)學(xué)化”的過程。他們思考問題的重點聚焦在生活中的間隔現(xiàn)象究竟有什么規(guī)律？

圍繞以上三個層面，筆者提煉出核心問題：間隔排列的規(guī)律是什么？

二、呈現(xiàn)核心問題，感知“植樹”模型

以核心問題，引導(dǎo)學(xué)生充分感知，積累表象，感知數(shù)學(xué)模型，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型意識的基礎(chǔ)。

呈現(xiàn)教材78頁的插圖（見圖1），提出核心問題：森林里的景色真美??！小兔子在草地上跳著舞，小小的手帕在空中迎風(fēng)飄揚，小路邊郁郁蔥蔥的樹木，紅藍(lán)相間的花朵競相開放。圖中的小兔與蘑菇是怎樣排列的？

生1：一只兔子，一朵蘑菇，又一只兔子，一朵蘑菇，這樣排列下去的。

生2：可以把一只兔子和一朵蘑菇看作一組，一組一組地出現(xiàn)。

師：是的，像這樣兩只兔子間隔著一朵蘑菇，兩朵蘑菇間隔著一只兔子，相間排列，就叫作“一一間隔排列”。

三、聚焦核心問題，建構(gòu)“植樹”模型

（一）觀察情境，了解“一一間隔排列”的特征

師：再次觀察圖片，你還能發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生1：手帕和夾子是一一間隔排列，一個夾子，一塊手帕，這樣排列下去。

生2：木樁和籬笆是一一間隔排列，一個木樁，一個籬笆，這樣進行排列。

師：的確，這兩組物體也是一一間隔排列的。你們還能發(fā)現(xiàn)什么特點嗎？

生3：兩邊的事物是相同的。

師：咱們來具體看一看。

此處重點學(xué)生表達：前面是（? ），后面是（? ），中間是（? ）。在第一組圖形中，前面是兔子，后面是兔子，中間是蘑菇，因此，兔子為兩端物體，蘑菇排在中間把兔子隔開為間隔物體。學(xué)生仿照說一說另外兩組中的兩端物體和間隔物體。

師：同學(xué)們，你們能比一比這三幅圖里兩種物體的數(shù)量嗎？你有什么新發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生填寫表格1，分析數(shù)量之間的關(guān)系，并分享交流自己的發(fā)現(xiàn)。

生4：兩邊的比中間的要多1個。

師：你能說得更具體一點嗎？

生4：第一組圖中，兔子8只，蘑菇7個，所以兔子的數(shù)量要比蘑菇的多1個；第二組圖中，夾子10個，手帕9個，所以夾子的數(shù)量要比手帕的多1個，同樣，第三組圖中，木樁13個，籬笆12個，木樁比籬笆的數(shù)量要多1個。

師：能說說你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生4：我發(fā)現(xiàn)兩端物體的數(shù)量比中間間隔物體的數(shù)量多1個。

（二）比較歸納，探索兩端相同的間隔排列兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系

師：同學(xué)們，請你們想一想，為什么會“多1”呢？

學(xué)生自主思考，但大部分學(xué)生都是從數(shù)量上給出了“多1”的結(jié)論，卻無法說清楚緣由。為此，筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對比觀察圖2和圖1，并說一說它們之間有什么不同。

生：圖2中的一只兔子對應(yīng)著一朵蘑菇，兔子和蘑菇的數(shù)量同樣多，但圖1中最后一只兔子沒有蘑菇對應(yīng)，所以兔子比蘑菇多1。

教師利用課件隱去了圖2中的蘑菇，只留下兔子，如圖3所示。

師：這幅圖又有了變化，現(xiàn)在只剩下兔子，但兔子與兔子之間出現(xiàn)了什么呢？

生1：出現(xiàn)了間隔。

師：看一看兔子之間的間隔數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生2：兔子和蘑菇本來是一一對應(yīng)的，但最后一只兔子沒有了對應(yīng)，所以，兔子比間隔數(shù)多1。

生3：可以把空著的地方想象成蘑菇，這樣就跟圖2的情況一樣了。

師：那圖1中其他兩組排列里也是這種現(xiàn)象嗎？咱們來看一看。

師：一個物體有規(guī)律地擺放，也可以當(dāng)作物體與間隔之間的一一對應(yīng)。

從前面的學(xué)習(xí)我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兔子和蘑菇依次擺放，當(dāng)它們完全對應(yīng)時，兔子和蘑菇的數(shù)量是相等的；當(dāng)不完全對應(yīng)時，只要第一個和最后一個都是兔子，兔子的數(shù)量就要比蘑菇的數(shù)量多1。

師：圖1中其他兩組排列里也是這種現(xiàn)象嗎？咱們來看一看。

生1：第二組中，排列的兩端都是夾子，中間間隔物是手帕，所以，由于兩端物體要比中間間隔物體多1，所以，夾子的數(shù)量比手帕多1。

生2：第三組中兩端相同，排在兩端的物體比中間多一個，木樁是排在兩端的，所以就多了一根木樁。

師：像圖1這樣曬手帕，曬15塊手帕需要幾個夾子？20只小兔站成一排，每兩只小兔中間有一個蘑菇，一共有多少個蘑菇？你能不計算就得出結(jié)果嗎？

學(xué)生自主探究、仔細(xì)觀察，并運用前面得出的結(jié)論進行分析，很好地促進了學(xué)生對“植樹”模型的初步構(gòu)建。

（三）動手操作，進一步完善對間隔排列的兩種物體數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識

師：在平時的生活中，你見過上述一一間隔排列的現(xiàn)象嗎？

學(xué)生提出電線桿、鋸木頭、種樹等生活現(xiàn)象，在分享交流中進一步鞏固間隔排列中“一一對應(yīng)”的分析方法。

師：你能用你喜歡的數(shù)字、圖形或字母創(chuàng)造一個“一一間隔排列”嗎？

學(xué)生自主創(chuàng)造，完成表2，并小組分享自己的成果。

學(xué)生從表格中發(fā)現(xiàn)：兩種物體一一間隔排列，它們在數(shù)量上只有兩種情況，可能多1，也可能相等。

（四）遷移升華，構(gòu)建“植樹問題”模型

1.對比分析，厘清點、段

從間隔問題“物與間隔”上升到植樹問題中的“點與段”，首先需要學(xué)生厘清點與段的概念。

問題1：30米的一段公路，每5米一段，一共分為幾段？

問題2：30米的一段公路，每5米種一棵樹（兩端要栽），一共可以種幾棵樹？

對于問題1，大部分學(xué)生給出的答案是：30米長的小路，每5米分成一段，可以分為6段。但有少部分學(xué)生得出了如下答案：30÷5=6，6+1=7。

師：為什么會選擇用除法進行計算呢？

生1：每5米一段。

師：這句話說明了什么呢？

生1：是將這段公路進行平均分。

由此可見，生1將平均分的問題等同為“植樹問題”，這也是學(xué)生在學(xué)習(xí)植樹問題時經(jīng)常犯的錯誤。

對于問題2，大部分學(xué)生利用畫圖的方式，最后給出的答案是：30米公路，每5米種一棵樹，可以先把30米分成6段，由于頭尾都要種樹，所以需要加上1棵，即6個間隔種7棵樹。

師：你們覺得問題1和問題2有什么異同之處？

生2：相同點：都是30米公路。

生3：在計算時都要做除法，30÷5=6。

師：那它們的不同之處在哪里呢？

生：問題1只需要做除法，而問題2還需要進一步做加法計算。

師：這是為什么呢？

生：樹是種植在段與段相交的點上？

師：那么一段有幾個點呢？兩段有幾個點呢？三段？四段呢？點與段之間有什么關(guān)系呢？

學(xué)生自主探究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在平均分的除法里面，點比段多1。

2.遷移運用，強化模型運用

習(xí)題1：沿河岸的一邊共栽了50棵柳樹，每相鄰兩棵柳樹中間栽一棵桃樹，可以栽（? ）棵桃樹。

習(xí)題2：池塘一周種了100棵柳樹，還要再種上一些桃樹，和柳樹一一間隔排列，那要種多少棵桃樹呢？

習(xí)題3：五路公共汽車行駛路線全長12km相鄰兩站之間的路程都是2km。一共設(shè)有多少個車站？

（五）教學(xué)總結(jié)

本節(jié)課要建立的模型即：一一間隔排列兩種物體頭尾相同則數(shù)量相差1，頭尾不同數(shù)量相等。整個教學(xué)過程，基于核心問題為學(xué)生提供獨立思考、動手操作、合作探究、展示交流的時間和空間。學(xué)生從中經(jīng)歷了提出數(shù)學(xué)問題—解決數(shù)學(xué)問題—發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律—建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程。

1.“植樹問題”一課，對于學(xué)生來說最主要的難點就在于：為什么要在“間隔數(shù)”的基礎(chǔ)上，或者“＋1”或者“－1”，又或者“不加不減”？為了讓學(xué)生能厘清這個主要的難點，筆者的設(shè)想是：以核心問題為驅(qū)動，利用具體事物幫學(xué)生理解“間隔”，初步學(xué)會根據(jù)全長與間距求出“間隔數(shù)”，最后通過自主探究的方式，讓學(xué)生充分理解植樹的方式?jīng)Q定了植樹棵數(shù)與間隔數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。

2.植樹問題中轉(zhuǎn)化思想的滲透，主要體現(xiàn)在由解決基本問題的“線”轉(zhuǎn)化到能解決類似植樹問題的“面”來研究，讓學(xué)生進一步體會現(xiàn)實生活中的許多相似的現(xiàn)象，它們都可以利用“植樹問題”模型來解決，從而感悟數(shù)學(xué)建模的重要意義。

（作者單位：宿遷市蘇州外國語學(xué)校）

編輯：陳鮮艷