新課標視域下尺規(guī)作圖學材思考

文|林志輝 陳柯柯

一、課改過渡期面臨的學力尷尬

1.學習內(nèi)驅(qū)力不足

尺規(guī)作圖是指通過借助沒有刻度的直尺和圓規(guī)進行有限次畫圖，可學生明明用刻度尺、量角器等測量工具就可以快速解決問題，利用尺規(guī)作圖反而增加了學習難度。

2.教學知識序紊亂

現(xiàn)在使用的教材編排和新課標相關(guān)尺規(guī)作圖的知識內(nèi)容分布存在著出入。

面對課改期間的學力尷尬，該如何激活學生探索的興趣，還有哪些內(nèi)容可以加強探索？筆者通過本文嘗試提出破解課改過渡期間困境的學材，以供同行參考。

二、適配過渡期的學材探索

小學階段的尺規(guī)作圖有別于初中的尺規(guī)作圖，側(cè)重于加深學生對圖形特征的理解，激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)造力，培養(yǎng)學生的幾何直觀和推理意識。在尺規(guī)作圖教學前，明確適配學生現(xiàn)行知識點編排順序的教學內(nèi)容是不可或缺的。為此筆者進行了“小初”尺規(guī)作圖的共性內(nèi)容對比梳理，嘗試發(fā)掘更多的知識載體，通過系統(tǒng)的序列推進，進行適配過渡期的尺規(guī)作圖通盤設計。

1.共性“小初”知識羅列

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中安排了三個課例說明尺規(guī)作圖的教學建議，對照初中的尺規(guī)作圖的五個基本作圖，筆者發(fā)現(xiàn)小學的例26 和例29通過作等長線段和通過作圖認識三角形周長對應著初中的“作一條線段等于已知線段”。例32 側(cè)重借由尺規(guī)作圖理解三邊關(guān)系，作一個相同的三角形對應初中的“作一個角等于已知角”。如張丹教授團隊的研討課中，學生在探究三邊關(guān)系中，經(jīng)歷探索嘗試到用尺規(guī)作已知三邊的三角形，既感悟了三邊關(guān)系又滲透了穩(wěn)定性，充分尊重了學生的認知水平。

2.增性“尺規(guī)”內(nèi)容梳理

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中尺規(guī)作圖看似內(nèi)容前移，實則是豐富學生的經(jīng)驗感悟，正如核心素養(yǎng)的螺旋培養(yǎng)一樣，小學階段著重意識，初中階段著重觀念，而到了高中才是走向能力的培養(yǎng)。尺規(guī)作圖也一樣，筆者理解并不是單純的知識前移，而是在學有余力的前提下，讓學生進一步理解圖形的特征，感悟數(shù)學的魅力，積累豐富的經(jīng)驗。小學階段除了提及的這三個課例，是否還有其他可以探索尺規(guī)作圖的知識載體呢？初中的另外三種基本作圖學生是否也可以嘗試呢？

（1）過渡增加：菱形

學生既然會尺規(guī)作三角形，那么尺規(guī)作四條邊都相等的四邊形（菱形）是否也可以嘗試？菱形雖然是初中的教學內(nèi)容，但小學生并不陌生，不揭示其本質(zhì)屬性僅以四邊形視之，菱形其實是很好的尺規(guī)作圖感悟素材。菱形隱含著四邊形可以分成兩個三角形的知識，學生用尺規(guī)作菱形可以分成兩個以AB 為底的等邊三角形（如圖1 左所示），學生還可以以線段AB 為腰，作兩個等腰三角形（如圖1 中所示），而這樣的點C和點D 可以有無數(shù)組，學生在畫的過程中感受四邊形的不穩(wěn)定性，進一步對比加深對三角形穩(wěn)定性的感悟（如圖1 右所示）。

圖1 以線段AB 為底作菱形（左）以線段AB 為腰作菱形（中）感悟四邊形的不穩(wěn)定性（右）

（2）拓展增加：角平分線和垂線

有了畫菱形的經(jīng)驗，學生對于第四個點的形成具備一定的作圖經(jīng)驗和感悟，畫角平分線時自然而然遷移了畫法經(jīng)驗，如圖2左所示，畫四條邊相等的四邊形，此時通過連接線段OC，說明三角形OCB 和三角形OAC 一樣大，所以∠BOC 和∠COA 是一樣大的。又可如圖2 右所示，不拘泥于四條邊都相等，作線段BC 等于線段AC，獲得兩個一般性的三角形OCB 和三角形OAC。但究其本質(zhì)學生都是在遷移尺規(guī)作圖兩個等腰三角形OAB 和三角形ACB。角平分線看似是初中的知識，但小學生借由小學階段的知識和經(jīng)驗也是可以初步感悟的，這樣的感悟又豐厚了對四邊形和三角形的特征理解。

圖2 角平分線的尺規(guī)作圖（左）角平分線的尺規(guī)作圖（右）

眾所周知，尺規(guī)作圖的實際應用中垂徑定理是被高頻使用的，但是小學生對于垂徑定理確實存在很大的難度，筆者思考是否可以基于角平分線的基礎，引導學生將直線看成平角，如圖3所示，作線的垂線。聚焦這樣的垂線作圖，學生也是用尺規(guī)作三角形的方法推進，在方法經(jīng)驗的遷移下，感悟垂直作圖的過程，拓寬學生的知識邊界，將知識進行關(guān)聯(lián)化的融通。

圖3 尺規(guī)作圖——垂線

三、基于實證性的通盤設計

基于可以嘗試拓展的尺規(guī)作圖內(nèi)容，聚焦學生的知識、經(jīng)驗起點，將尺規(guī)作圖的教學安排在六年級學習完《圓的認識》單元之后，如表1所示。筆者串聯(lián)設計三課時，基于簡單的學材，通過序列的螺旋推進，帶領學生經(jīng)歷尺規(guī)作圖，豐厚圖形認識，通過描述、刻畫的互譯發(fā)展學生的幾何直觀，在綜合運用知識的情況下，感受數(shù)學知識之間的聯(lián)系，體會理性思維的魅力，激發(fā)數(shù)學學習的興趣。

表1 尺規(guī)作圖課例表

三節(jié)課皆是圍繞著尺規(guī)作圖三角形，不增加學生的知識難度，串聯(lián)學生小學階段的圖形知識，如課時1 聚焦簡單的兩條線段，通過畫線段的累加和等腰三角形，因為素材的巧妙設計（2a＜b），感悟只能以線段a 為底，感悟三角形的三邊關(guān)系，又在對比不同位置的擺放中感悟三角形的穩(wěn)定性。課時2 通過畫四條邊都相等的四邊形進一步感悟三角形的特征，理解三角形的雙拼法和四邊形的不穩(wěn)定性。課時3 通過畫三等分圓、六等分圓和多等分圓進一步融會貫通圖形特征的感悟。

尺規(guī)作圖在小學的引入是學生理解圖形特征很好的載體，但筆者建議要求不宜過高，不必進行嚴格論述每一步的作圖方法，只要能清晰說明自己的方法，在感悟為什么可以這樣作背后的道理就可以。