只能“平行于x軸”嗎？
——一道高考解析幾何試題的拓展探究

張培強(qiáng)

江蘇省徐州市第一中學(xué) (221004)江蘇省高中數(shù)學(xué)名師工作室 (213001)

1 問題呈現(xiàn)

(1)求E的方程；

2 解法探究

圖1

直線HN的截距的化簡是圓錐曲線中的非對(duì)稱問題，基本處理策略是配湊出y1，y2的和與積，分子、分母都只留下y1，也可以利用韋達(dá)定理直接消去y2．

先猜后證是處理動(dòng)態(tài)問題的常用策略．先考慮極端情況，當(dāng)直線MN越來越靠近點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M，N，T，H都越來越靠近點(diǎn)A，因此猜想動(dòng)直線HN過定點(diǎn)A，再通過斜率不存在的特殊情況確認(rèn)，繼而證明一般性即可．

解法2：當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，M(1,

證明三點(diǎn)共線比探求動(dòng)直線過未知的定點(diǎn)要簡單．此解法也有效地避開了非對(duì)稱的麻煩．還有別的方式避開非對(duì)稱嗎？事實(shí)上，我們可以將(y+2)看作一個(gè)整體，往(y1+2)與(y2+2)的和、積轉(zhuǎn)化．

3 拓展探索

考題中，直線PA是橢圓的切線，也平行于x軸，因此“平行于x軸”與“平行于PA”是一樣的．在一般性地推廣中，兩種說法是否還一樣呢？

由此可知，點(diǎn)A與點(diǎn)P相互制約，隨著t的變化而在相對(duì)位置上發(fā)生改變．那么，改變MN所過的定點(diǎn)P，是否還會(huì)有類似的結(jié)論？

圖2

一般地，我們可以得到如下結(jié)論：

由命題0可知，當(dāng)A為下頂點(diǎn)時(shí)，改變t的值，點(diǎn)P只能落在直線y=-b上．那么當(dāng)點(diǎn)P落在直線外，點(diǎn)A就不再是下頂點(diǎn)了，類似構(gòu)圖，是否還會(huì)有相關(guān)結(jié)論呢？

先用“GeoGebra”動(dòng)態(tài)觀察．如圖3，一般情況下，當(dāng)點(diǎn)A在某象限內(nèi)，直線PA與橢圓C是相交的狀態(tài)．過M作平行于x軸的直線，與直線AN交于點(diǎn)H，作出MH的中點(diǎn)T，轉(zhuǎn)動(dòng)直線MN，可見當(dāng)MN轉(zhuǎn)向切線PQ時(shí)，點(diǎn)T逐漸靠近切點(diǎn)Q，當(dāng)MN轉(zhuǎn)向切線PR時(shí)，點(diǎn)T逐漸靠近點(diǎn)A，過程中，點(diǎn)T落在直線AQ上．下面嘗試求證.

圖3

設(shè)A(x0，y0)，

于是，我們得到如下結(jié)論：

圖4

圖5

于是，我們得到如下結(jié)論：

這里的點(diǎn)P和直線y=y0恰是橢圓C的一對(duì)極點(diǎn)和極線(考題中的點(diǎn)P和直線AB也是橢圓C的一對(duì)極點(diǎn)和極線)．

圖6

再回到一般，如圖6，當(dāng)點(diǎn)A不是切點(diǎn)時(shí)，仍然過M作切線PR的平行線，考慮點(diǎn)H在AN上和在RN上兩種情況．若MH與AN交于點(diǎn)H，可見MH的中點(diǎn)T的軌跡是一條經(jīng)過A，R，Q三點(diǎn)的曲線．這就說明，如果考題中的A不是下頂點(diǎn)，那么“AB”就不是直線段了，因此MH就只能“平行于x軸”而作了．

若MH與NR交于點(diǎn)H，可見MH的中點(diǎn)T在極線RQ上(過M作切線PQ的平行線，也有類似的結(jié)果)．

于是，我們得到了橢圓極點(diǎn)和極線的一個(gè)性質(zhì)：

圖7

(證明留給讀者自行完成)

通過以上的探究，可見考題是“命題2+命題4”下的特殊狀態(tài)：點(diǎn)A與切點(diǎn)R重合于橢圓的下頂點(diǎn)，切線PA與x軸平行．而在一般的狀態(tài)下，切線PR與x軸不平行，平行線的不同作法，會(huì)造就不一樣的動(dòng)點(diǎn)T在定直線上和動(dòng)直線NH過定點(diǎn)，更顯解析幾何“動(dòng)中取靜”的精彩．

圓錐曲線的魅力就在于一個(gè)結(jié)論的精彩往往不只在一條曲線中綻放．在雙曲線、拋物線中同樣可探得如下的結(jié)論：

命題8 已知P為拋物線C：y2=2px(p>0)外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的切線，切點(diǎn)分別為Q，R，過點(diǎn)P的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于PR(PQ)的直線與直線RN(QN)交于點(diǎn)H，則線段MH的中點(diǎn)T在直線RQ上．