基于傅里葉級數(shù)的PWM波形分析

王慶宇 呂晨晨

四川大學(xué)機械工程學(xué)院 四川 成都 610207

1 PWM技術(shù)介紹

1.1 技術(shù)背景

PWM（Pulse Width Modulation）技術(shù)，即脈沖寬度調(diào)制技術(shù)，是通過對于一系列信號脈沖的寬度進行調(diào)制來達到所需要波形的一種重要電子信息技術(shù)[1]。它在電子電路技術(shù)、通信、機械測量、信號分析等領(lǐng)域有著非常重要的作用?；赑WM技術(shù)而起的新型技術(shù)和產(chǎn)業(yè)于上世紀末迅速地發(fā)展起來[2]?？梢哉f，人類的科技在PWM技術(shù)的推進下走入了一個新的紀元。對于機械專業(yè)而言，PWM的直接應(yīng)用便在對于信號的分析、研究和測量的領(lǐng)域上。PWM技術(shù)在電機的調(diào)速、燈盞亮滅的交替控制等與機械專業(yè)相結(jié)合的新型領(lǐng)域內(nèi)也有很重要的應(yīng)用[3]。

1.2 技術(shù)現(xiàn)狀

電機的調(diào)速和變速對于機械領(lǐng)域有著相當(dāng)重要的作用，在實際生產(chǎn)和應(yīng)用中，電機的轉(zhuǎn)速應(yīng)該適當(dāng)且符合特殊生產(chǎn)條件。就比如高轉(zhuǎn)速的電機往往被應(yīng)用于重量較輕物件的起吊或者是高差很大的起吊作業(yè)之中，而低轉(zhuǎn)速的電機則更多地被用在精細操作以及需要很大力量才能進行的作業(yè)之中。對于電機調(diào)速而言，PWM信號波形可謂是極其重要的。在PWM技術(shù)得到大力發(fā)展之前，人們在保持電機輸出動力的同時對于電機調(diào)速采取的方式往往是降低電流強度或者是磁場強度[4]，由安培力的公式F=BIL可知，這種方法在保持電機不卡阻的前提下很好用。但在長期使用這種方式的過程中，人們也早已發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)實中的電機往往需要越過初相才可以起步，且在轉(zhuǎn)動過程中存在外界阻尼，這些阻礙作用就決定了電機在電流不足的情況下將無法正常啟動或工作[5]。如果在降低電流強度或者磁場強度后，電機出現(xiàn)未能正常轉(zhuǎn)動、卡阻在初相或轉(zhuǎn)動速率低于額定速率的情況，再長時間地對電機輸入直流電就可能會使得電機線圈燒毀。因此對于一般的電機來說，調(diào)速的方式只有依靠PWM波形來實現(xiàn)。在近代，對于PWM信號波形的研究在很長的一段時間內(nèi)也都受制于確定波形解析式的問題[6]。

2 對于PWM波形的引入和概念解釋

根據(jù)前文的說明，電機不能僅僅通過一般電路的變量方法來控制電機的轉(zhuǎn)速，而是要通過PWM波形的改變?nèi)タ刂妻D(zhuǎn)速[7]。PWM技術(shù)的內(nèi)核是通過調(diào)節(jié)高低電平所占一個周期時間的比例來控制電路的輸出功率[8]。這就是說，在PWM波形中，電平（電壓強度）的精確值（瞬時值）只能為高、低電平的各自取值兩種。就比如說在一個高低電平確定且分別為U1和U0的PWM波形中，電平的精確值只能有U1和U0兩種，并不可能出現(xiàn)其他的情況。

在了解了PWM的內(nèi)核技術(shù)后，對于電機的PWM調(diào)速問題，還要再說明幾個概念：

PWM波形的頻率(f)和周期(T)：頻率(f)即為在1秒內(nèi)信號值從高電平回到低電平的次數(shù)；周期(T)為頻率的倒數(shù)，PWM波形的占空比(D)：在一個信號周期內(nèi)，高電平時間（也稱脈寬時間）占整個周期時間的比例，單位為%，取值范圍在[0,100]%之間[9]。

說明概念后，可以清晰地知道的是，在PWM技術(shù)中，雖然一個脈沖瞬時電平的準確值只能為高低電平的兩個取值之一，但是一個周期甚至整個脈沖周期的模擬值（有效電平值，下都稱作“有效值”）就有所不同了。因此可以通過調(diào)節(jié)占空比來得到很多組電平相同但是有效電平值不同的PWM信號，由此可以得到電機不同的輸出功率[10]。并且很容易知道的是，電機某時的功率相對于全功率的百分比即為占空比?，F(xiàn)給出有效值的計算式為：

下圖列舉了幾組不同占空比下模擬出的PWM信號示意圖：

圖1 不同占空比下模擬出的PWM信號示意圖

在了解了具體的概念后，我們不難發(fā)現(xiàn)，在信號分析領(lǐng)域，除了一些具有比較特殊的占空比的PWM信號外，大多數(shù)方波的一些重要數(shù)值，如波形擬合參數(shù)、波形表達式等在一般的分析中很難被確定下來。在這其中，波形表達形式的確定則更是一件十分困難的事情。這些問題對于深度剖析PWM原理造成了一定的困難，為了解決這些問題，更高級的數(shù)學(xué)工具就需要參與其中。傅里葉級數(shù)作為波形函數(shù)分析“利器”，在信號領(lǐng)域中的應(yīng)用就變得十分重要了起來。對于更加廣泛的電機應(yīng)用領(lǐng)域而言，基于傅里葉級數(shù)展開的PWM波形的模擬與仿真計算便成為分析其具象化波形的重要一環(huán)[11]。

3 對于一般型PWM波形傅里葉展開的分析

下面將對一般的PWM波形進行數(shù)學(xué)建模分析。

假設(shè)現(xiàn)有一PWM波形，其周期為T，占空比為α，高電平為U(V)，低電平為0(V)。則可推知：高電平占一個周期所用時間

對其進行有限單位長度的平移或恰當(dāng)?shù)慕ㄏ担沟酶唠娖剿趨^(qū)段關(guān)于y軸對稱。并設(shè)函數(shù)為U(t)，則該函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式為：

為便于理解，繪圖如圖2所示：

圖2 PWM波形示意圖

這樣便在不改變波形的情況下簡化了對其的討論，此時的PWM波形即可看做由一個直流波形分量與很多個波形頻率為原PWM波整數(shù)倍的余弦波組合而成[12]。

則不妨設(shè)組合波中直流波部分的幅值為 ，由于直流波反應(yīng)在坐標系中為一條直線，故幅值即為直流波形函數(shù)（常函數(shù)）的函數(shù)值。為保證一般性，再設(shè)其余所有的余弦波依次為：即幅值分別設(shè)為：圓頻率分別設(shè)為：...的一組余弦波，并由此給出方波展開后的預(yù)測表達式：

上式又可化為：

由三角函數(shù)的正交性得：

于是得：

現(xiàn)將U(t)代入，得：

最終整合得PWM信號的傅里葉級數(shù)展開式為：

上式即為PWM波形在本研究環(huán)境下的傅里葉級數(shù)展開式。我們將可以由此式的形式和推導(dǎo)過程，得出一般化的分析方法：先通過坐標系下的平移，將任意的PWM波形化為一組關(guān)于y軸對稱的直流波和余弦波的組合，然后再對每一個分波進行分析。傅里葉級數(shù)展開計算和分析對于本問題研究的最大實用價值便在于此，可根據(jù)上式將一般的PWM波形通過簡單的計算展開成為很多個波的組合，由此分別分析每一個波形的幅值、頻率等等，給實際分析和研究PWM波形帶來了很大程度上的便利[13]。

4 傅里葉級數(shù)展開對PWM波形調(diào)速實際問題的解決

下面通過兩個與機械有關(guān)的實際問題來說明和應(yīng)用上文所推出的公式：

實例1：現(xiàn)有一占空比為50%，高電平為1V，低電平為0V的PWM波驅(qū)動電機運轉(zhuǎn)，電機可在該電信號下維持半功率運轉(zhuǎn)?，F(xiàn)試分析出其分解得到的直流波以及前四次諧波的幅值。

表1 諧波的值

表1 諧波的值

次數(shù) 0 1 2 3 4幅值 0.50 0.64 0.00 -0.21 0.00

（0次波即為直流波）

由上述列舉出的一個實際問題，我們可以通過已推公式，清晰地分析出PWM波的一部分組成，這對于波形分拆與分析和周密地對一個PWM波形進行設(shè)計與計算都很有幫助。

實例2：現(xiàn)已知一驅(qū)動電機運轉(zhuǎn)的PWM波的高電平為100V，低電平為0V，且該電機的功率為以下4個檔位可調(diào)：0%、25%、75%、100%，現(xiàn)分別求出這4個檔位所對應(yīng)的PWM波的傅里葉展開式。

解：首先算出四種檔位對應(yīng)的占空比。（為了統(tǒng)一上下文總的符號設(shè)定，此處占空比的代表字母設(shè)為D，故有：

由前文討論知：電機的功率百分比即為占空比(D)，所以可分別寫出四種檔位對應(yīng)的占空比（D）：

再由PWM波形的傅里葉展開總表達式：

分別計算4種檔位對應(yīng)波形的傅里葉展開式，具體如下。

4.1 功率0%檔位

4.2 功率25%檔位

4.3 功率75%檔位

4.4 功率100%檔位

由此，便完美地解決并應(yīng)用了PWM波形展開式的計算和分析問題。

5 結(jié)束語

利用傅里葉級數(shù)展開的相關(guān)知識對PWM波形進行分析和計算，可將復(fù)雜的波型簡化[14]。方法通過將任意的PWM波形化為一組直流波和三角波的組合，然后再對每一個分波進行分析，從而得到更加精細化的結(jié)論，對于實際PWM波形相關(guān)應(yīng)用問題的分析大有裨益。類似的方法也可以應(yīng)用到未知波形的分析中去，由此方能達到化繁為簡地對一簇未知的信號波進行詳盡分析的目的。這種方法主要在電信號的分析和設(shè)計領(lǐng)域進行使用，對于機械行業(yè)來說，集中體現(xiàn)在對于電機調(diào)速和控制功率的輸出等相關(guān)問題上。通過對于實際應(yīng)用問題的不斷解決，基于傅里葉級數(shù)的PWM波形分析方法也將同PWM技術(shù)的本身一起，對測量、電子電路技術(shù)等涉及人們生活方方面面領(lǐng)域的研究帶來更多的便利[15]。