實(shí)際電極系系數(shù)的有限元模擬研究

劉子強(qiáng)，齊興華，王有龍

（1.新疆煤田地質(zhì)局一五六勘探隊(duì) 新疆 烏魯木齊 830023；2.新疆工程學(xué)院 新疆 烏魯木齊 830022）

高密度電阻率法（HDR）是一種網(wǎng)絡(luò)勘探方法。根據(jù)巖石和土壤導(dǎo)電性的差異，研究了人工穩(wěn)定電流場(chǎng)作用下土壤中導(dǎo)電電流的分布?，F(xiàn)場(chǎng)測(cè)量時(shí)，所有電極（幾十到幾百個(gè)）都可以放置在觀測(cè)段的測(cè)量點(diǎn)上。然后利用程控電極轉(zhuǎn)換裝置和微機(jī)工程機(jī)電測(cè)量?jī)x實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的快速自動(dòng)采集。將測(cè)量結(jié)果發(fā)送到微機(jī)后，還可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并給出地電剖面分布的圖形結(jié)果[1-2]。

電阻率采集過程中，電極系系數(shù)是將測(cè)得的電阻值轉(zhuǎn)換為電阻率值的關(guān)鍵系數(shù)。一般認(rèn)為，該系數(shù)主要由電極間的相互位置決定，其中α排列的電極系系數(shù)理論計(jì)算公式如下：

式中：K為電極系系數(shù)，單位為m；AM、AN、BM、BN為電極間距，單位為m。

如公式（1）所示，電極系系數(shù)K是一個(gè)僅僅與各電極之間的距離相關(guān)的數(shù)值，但當(dāng)電阻率測(cè)量裝置形式和極距確定，K值便可以通過公式進(jìn)行計(jì)算[3-4]。但是在實(shí)際使用過程中，所使用的電極材料和大小不同的電阻率剖面儀制造商不同和地層的深度是不同的，由于人為因素和環(huán)境因素，有時(shí)可能使用不同的供電方法或電極并非完全插入到地層[5]。這些都可能導(dǎo)致實(shí)際電極系系數(shù)與理論電極系系數(shù)之間存在差異，導(dǎo)致所計(jì)算出的視電阻率與真電阻率之間的誤差較大。

為了使計(jì)算得出的視電阻率與真電阻率之間的誤差變小，有必要對(duì)各種因素對(duì)實(shí)際電極系系數(shù)的影響開展研究，為校正影響奠定基礎(chǔ)。因此，提出了一種基于COMSOL的模擬計(jì)算方法[6-8]，利用有限元法建立一種電阻率法的三維正演模型對(duì)實(shí)際電極系系數(shù)進(jìn)行模擬計(jì)算，重點(diǎn)分析了不同電極半徑、電極插入地層深度和不同電極間距的條件下對(duì)實(shí)際電極系系數(shù)的影響，從而加深從業(yè)者對(duì)電極系系數(shù)的理解，對(duì)在生產(chǎn)用采用高密度電法及與之類似的其他電阻率測(cè)量方法時(shí)能夠提高探測(cè)精度，有較好的參考價(jià)值。

1 模型建立

文章從3個(gè)方面進(jìn)行了論述。第一，在保持電極材料、電極間距、電極埋入地層深度等因素不變的情況下，通過改變電極半徑來(lái)探討電極半徑對(duì)實(shí)際電極系系數(shù)的影響。第二，在保持電極材料、電極間距、電極半徑等各因素不變的情況下，只改變電極插入地層的深度，以探討電極插入地層深度對(duì)實(shí)際電極系系數(shù)的影響。第三，在保持電極材料、電極插入地層深度、電極半徑等各因素不變的情況下，通過調(diào)整電極間距來(lái)探討電極間距對(duì)實(shí)際電極系系數(shù)的影響。

在解決簡(jiǎn)單模型的模擬問題時(shí)，使用偏微分方程即可滿足需求，但是當(dāng)幾何結(jié)構(gòu)或者物理場(chǎng)復(fù)雜時(shí)，偏微分方程便無(wú)法取得解析解。將復(fù)雜模型進(jìn)行離散化從而構(gòu)建近似方程并獲取近似解以達(dá)到對(duì)復(fù)雜模型模擬的目的即是有限元法的本質(zhì)。COMSOL Multiphysics是一款基于有限元法的模擬軟件，近年來(lái)被各領(lǐng)域?qū)W者廣泛使用，取得了良好的效果，本文即采用該軟件開展上述研究。

1.1 理論基礎(chǔ)

在地球物理勘探中，經(jīng)常通過對(duì)目標(biāo)地質(zhì)體電阻率的測(cè)量來(lái)完成對(duì)其大小、形狀、礦物種類、含量等多方面性質(zhì)的判斷。其中，經(jīng)常用到的一種方法就是電阻率剖面法。電阻率剖面法是指A、M、N、B電極距保持不變，同時(shí)沿—定剖面方向逐點(diǎn)觀測(cè)視電阻率（ρs），研究剖面方向地下一定深度的巖、礦石電阻率變化的一組方法。

在地下介質(zhì)均勻各向同性的條件下，電阻率計(jì)算式：

式中：R為電阻率，單位為Ω·m；

U為電壓值，單位為V；

I為電流值，單位為A。

由公式（2）可知在模型中只要能夠獲取到除K以外的物理量則可求出實(shí)際的K值。

對(duì)于時(shí)變電場(chǎng)和電流，在磁效應(yīng)可以忽略不計(jì)的情況下，物理場(chǎng)應(yīng)遵循電流守恒方程：

式中：J為電流密度，單位A/m2；

ρ為電荷密度，單位C/m3；

t為時(shí)間，單位為s。

其中

式中：σ為電導(dǎo)率，單位為S/m；

V為電壓，單位為V（伏特）；

E為電場(chǎng)強(qiáng)度，單位為V/m。

1.2 模型參數(shù)

模型由地層和電極棒組成，如下圖1所示，其中正方體為地層，其長(zhǎng)寬高均為100 m，其電導(dǎo)率設(shè)定為1 S/m，即電阻率為1 Ω·m。其上4個(gè)小圓柱為銅電極，電極直徑初始0.004 m，電極初始間距2 m，自左起依次為A、M、N、B電極，其中A電極和B電極分別為正負(fù)供電電極，向地層中供直流電流，M電極和N電極為測(cè)量電極，測(cè)量所處位置的電壓。模型中設(shè)定A電極與B電極之間的電流恒定為1A，并通過探針的形式測(cè)量M點(diǎn)電壓及N點(diǎn)電壓。

圖1 模型示意圖

為滿足使用有限元法進(jìn)行模擬的精確度，在地層中所使用的網(wǎng)格最大為1 m，在電極上采用的網(wǎng)格最大為0.001 m，網(wǎng)格剖分后的結(jié)果如圖2所示。為保證模型計(jì)算精度的可靠，特采用了100 m尺寸的地層模型，保證地層的尺寸在研究范圍內(nèi)足夠大以減小電場(chǎng)邊界效應(yīng)對(duì)模擬結(jié)果的影響，因此，對(duì)模型的邊界未進(jìn)行虛擬域或其他邊界設(shè)置。

圖2 網(wǎng)格剖分結(jié)果

2 模擬結(jié)果及分析

初始狀態(tài)下的電場(chǎng)分布情況如圖3所示。由圖3可以看出，A電極電勢(shì)最大，B電極電勢(shì)最小，M電極和N電極電勢(shì)差別難以用肉眼觀察但軟件可通過探針進(jìn)行準(zhǔn)確探測(cè)。

圖3 電場(chǎng)分布圖

在此情況下理論電極系系數(shù)計(jì)算過程如下：

AM=2 m，AN=2 m，BM=2 m，BN=2 m代入公式（1）中，得出理論電極系系數(shù)K=12.56，單位為m。

實(shí)際電極系系數(shù)計(jì)算過程如下：

地層電阻率R為1 Ω·m，A電極與B電極之間的電流I為1 A，模擬結(jié)果顯示M電的電壓為1.8313 V，N點(diǎn)的電壓為1.754 7 V，因此M、N電極的電壓差U為0.076 6 V。將上述物理量帶入公式（2），可知此時(shí)的電極系系數(shù)為：

由上述計(jì)算過程可以看出，在初始情況下，實(shí)際電極系系數(shù)與理論電極系系數(shù)并不完全一致，存在由各種因素導(dǎo)致電極系系數(shù)有較大變化從而影響電阻率計(jì)算精度降低的可能性。

2.1 當(dāng)電極半徑改變時(shí)的模擬結(jié)果

在其他條件均不改變時(shí)，電極半徑從0.002 m逐步增加到0.007 m時(shí)，通過仿真計(jì)算得到的實(shí)際電極系系數(shù)的變化，并與由（1）式得到的理論電極系系數(shù)進(jìn)行比較，其結(jié)果見圖4。

圖4 電極半徑對(duì)電極系系數(shù)的影響變化模擬結(jié)果

從圖4中可以看出，實(shí)際電極系系數(shù)與理論電極系系數(shù)的差值隨著電極半徑的增大而增大。但是從變化的程度可以看出，電極的半徑變化對(duì)電極系系數(shù)的影響非常有限，因此在實(shí)際使用過程中，采用常用的電極基本不需要對(duì)電極系系數(shù)進(jìn)行半徑方面的校正。

2.2 當(dāng)電極插入地層深度改變時(shí)的模擬結(jié)果

當(dāng)電極插入地層深度逐漸由0.1 m逐漸變?yōu)?.5 m且其他條件均不改變時(shí)，得出的實(shí)際電極系系數(shù)的變化并與由公式（1）得出的理論電極系系數(shù)作對(duì)比如圖5所示。

圖5 電極插入地層深度對(duì)電極系系數(shù)的影響變化模擬結(jié)果

從圖5中可以看出，實(shí)際電極系系數(shù)隨著電極插入地層深度的增大而增大，且與理論電極系系數(shù)的差值越來(lái)越大，因此，對(duì)電極插入地層深度為0.45 m時(shí)的電場(chǎng)分布情況（如圖6所示）開展了相關(guān)研究。

圖6 插入深度為0.45 m時(shí)的電場(chǎng)分布圖

通過圖6可看出，A電極供電是電勢(shì)最大，B電極電勢(shì)最小，M電極和N電極電勢(shì)近乎相等，但與圖3未改變地層深度時(shí)的電場(chǎng)分布情況相比，電極附近的電場(chǎng)分布情況發(fā)生了明顯的改變，電場(chǎng)強(qiáng)度最高的地方與電極的深入程度直接相關(guān)，因此，隨著電極插入程度的加深，電場(chǎng)的整體分布發(fā)生了與理想電極系情況下的點(diǎn)電極電場(chǎng)分布有了很明顯的區(qū)別，這種電場(chǎng)分布的變化最終導(dǎo)致了實(shí)際電極系系數(shù)與理論電極系系數(shù)之間的差別隨著插入深度的變化而發(fā)生明顯變化。

2.3 當(dāng)電極間距改變時(shí)的模擬結(jié)果

在其他條件不變的情況下，在電極間距從2 m逐步增加到6 m時(shí)，得到了實(shí)際的電極系系數(shù)的變化，并將其與公式（1）中的理論電極系系數(shù)進(jìn)行比較如圖7所示。

圖7 電極間距對(duì)電極系系數(shù)的影響變化模擬結(jié)果

從圖7中可以看出，當(dāng)電極距增大時(shí)，實(shí)際電極系系數(shù)與理論電極系系數(shù)之間的差值逐漸減小，在達(dá)到一定的電極距之后二者基本趨于相同。這是由于在電極尺寸和插入地層深度不變的情況下，隨著電極距的增大，整個(gè)電極系的尺寸在不斷的增大，因此，電極的相對(duì)尺寸越來(lái)越小，即電極系的工作狀態(tài)越來(lái)越趨近于點(diǎn)電極時(shí)的工作狀態(tài)，從而導(dǎo)致實(shí)際電極系系數(shù)與理論電極系系數(shù)越來(lái)越接近。這也說明，在使用較大電極距時(shí)，電極系系數(shù)可以近似采用理論電極系系數(shù)，而在電極距較小時(shí)，則應(yīng)對(duì)電極系系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的校正以降低視電阻率的計(jì)算誤差。

3 結(jié)論

本文通過使用COMSOL Multiphysics有限元模擬軟件分析在不同電極半徑、電極插入地層深度和不同電極間距的條件下對(duì)實(shí)際電極系系數(shù)的影響及模擬計(jì)算，得出的結(jié)論如下：

（1）電極半徑對(duì)實(shí)際電極系系數(shù)的影響非常小，使用常用電極時(shí)無(wú)須對(duì)電極半徑進(jìn)行電極系系數(shù)的校正。

（2）隨著電極插入地層深度的增大，實(shí)際電極系系數(shù)與理論電極系系數(shù)之間的差值將明顯變大，體現(xiàn)出插入深度對(duì)實(shí)際電極系系數(shù)的影響較為明顯。因此，有必要在計(jì)算視電阻率的時(shí)候?qū)﹄姌O插入地層的深度進(jìn)行實(shí)際電極系系數(shù)的校正。

（3）隨著電極間距的增加實(shí)際電極系系數(shù)與理論電極系系數(shù)之間的差值將越來(lái)越小并逐漸趨于一致。當(dāng)電極插入深度不深且電極距較大時(shí)，可以直接采用理論電極系數(shù)而無(wú)須進(jìn)行校正。