ICME-14視域下中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐思考
——以“折紙與黃金矩形”為例

安愷凱 (江蘇省天一中學(xué) 214101)

沈丹丹 (江蘇省無(wú)錫市東北塘中學(xué) 214101)

1 引言

第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-14)于2021年7月在上海舉行，是全球數(shù)學(xué)教育界水平最高、規(guī)模最大的學(xué)術(shù)會(huì)議.ICME-14在設(shè)有常規(guī)的專題研究報(bào)告(簡(jiǎn)稱TSG)外，還特別增設(shè)了13場(chǎng)中國(guó)數(shù)學(xué)教育特色主題報(bào)告(簡(jiǎn)稱TA)，成為本屆的亮點(diǎn)之一.江蘇教育科學(xué)研究院的董林偉教授在此特色報(bào)告8(TA8)中，以“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：中國(guó)中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革”為主題，向全球數(shù)學(xué)教育學(xué)者展示江蘇數(shù)學(xué)教育者在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和研究成果.本文圍繞ICME-14的部分重要議題與文獻(xiàn)，結(jié)合筆者在江蘇省天一中學(xué)舉辦的第十一屆“全國(guó)聚焦課堂活動(dòng)”中開設(shè)的“折紙與黃金矩形”的具體課例，從中學(xué)一線教師的角度談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)整體實(shí)踐過(guò)程的若干思考.

2 課題來(lái)源

ICME-14中的專題研究報(bào)告41(TSG41)聚焦數(shù)學(xué)教科書及資源的研究與開發(fā)，關(guān)注不同國(guó)家的數(shù)學(xué)課堂有哪些教學(xué)資源，它們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)和評(píng)估中扮演著怎樣的角色，這些資源的使用和實(shí)施對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有什么影響[1].

在當(dāng)下中國(guó)中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)資源大多為教材與練習(xí)冊(cè)，缺少做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的必要工具資源，教材中單純的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)量又較少且缺乏系統(tǒng)性[2].鑒于以上情況，江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，精心設(shè)計(jì)編寫了《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》(以下簡(jiǎn)稱《手冊(cè)》)，其中包含了豐富的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和一系列實(shí)驗(yàn)素材.《手冊(cè)》一方面較好地扮演了將教材簡(jiǎn)單、概括的內(nèi)容直觀化、具體化、可操作化，便于教師課堂使用的工具角色；另一方面也扮演著幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“伙伴”角色.本節(jié)課的課題“折紙與黃金矩形”便選自《手冊(cè)(九年級(jí)全一冊(cè))》中的實(shí)驗(yàn)10，包含三個(gè)子實(shí)驗(yàn)，分別為用矩形紙條、正方形紙片、黃金矩形紙片折出黃金矩形.

3 實(shí)驗(yàn)工具

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)最先是從高校開始研究的，在高校中通常指依托編程類軟件(如Matlab等)，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的建?；顒?dòng).這導(dǎo)致部分教師對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)存在錯(cuò)誤理解，認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也需要依據(jù)先進(jìn)設(shè)備或?qū)I(yè)軟件才能展開.

TA8中指出：“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種符合中小學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和水平的學(xué)習(xí)策略.通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，無(wú)論是使用物質(zhì)材料還是技術(shù)軟件，學(xué)生都能參與到動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探索、實(shí)際應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)中.”[3]中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的工具應(yīng)具備易操作屬性，如紙片類物質(zhì)材料或Excel類技術(shù)軟件.本課需要的實(shí)驗(yàn)材料即為矩形紙條、正方形紙片、黃金矩形紙片若干(來(lái)自《手冊(cè)(九年級(jí)全一冊(cè))》的附錄4)、鉛筆、直尺以及剪刀.

4 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

4.1 實(shí)驗(yàn)1：用矩形紙條折出黃金矩形

ICME-14中的專題研究報(bào)告27(TSG27)聚焦數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的角色，并指出：“數(shù)學(xué)是人類智力事業(yè)，有著悠久的歷史和生動(dòng)的現(xiàn)狀.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅包括將數(shù)學(xué)活動(dòng)作為‘打磨過(guò)的產(chǎn)品’(polished productions)，還包括理解(隱含的)動(dòng)機(jī)、有意義的行為和數(shù)學(xué)家的反思過(guò)程.因此數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)提供學(xué)生‘做數(shù)學(xué)’的機(jī)會(huì)”.[4]

筆者對(duì)本節(jié)課的引入恰與TSG27中的觀點(diǎn)不謀而合.筆者在豐富的人類文明中擷取與課題相關(guān)的素材，讓課堂從悠久的歷史中走來(lái).

·教學(xué)片段1

圖1 圖2

師：首先請(qǐng)同學(xué)們用矩形紙條來(lái)折出黃金矩形.我們不妨假設(shè)矩形紙條的寬度為2，同學(xué)們覺(jué)得折出黃金矩形的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

師：如何折出？

師：非常好！現(xiàn)在請(qǐng)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，將腦中的思維轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)的作品.

由于在之前《實(shí)數(shù)》章節(jié)的學(xué)習(xí)中學(xué)生積累了在數(shù)軸上作出長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，故讓學(xué)生自主探究、合作交流，多個(gè)小組能夠獨(dú)立完成本實(shí)驗(yàn).知識(shí)的連貫性及適當(dāng)?shù)乃季S引導(dǎo)有效降低了課堂的起點(diǎn)，促使學(xué)生能夠快速融入課堂.

折法1按圖3～圖6操作，折出的矩形CDHG為黃金矩形.

圖3 圖4

圖5 圖6

折法2前兩步與折法1相同，再按圖7～圖9操作，折出的矩形BCIH為黃金矩形.

圖7 圖8

圖9

思考1數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具備操作性.

實(shí)驗(yàn)1體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課所應(yīng)具備的操作性，即學(xué)生在動(dòng)手操作的活動(dòng)過(guò)程中，能在實(shí)物直觀基礎(chǔ)上獲得對(duì)黃金矩形的數(shù)學(xué)理解，有效地將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)果.

思考2數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具備開放性.

4.2 實(shí)驗(yàn)2：用正方形紙片折出黃金矩形

ICME-14中的專題研究報(bào)告16(TSG16)聚焦于數(shù)學(xué)教育中的推理、論證和證明，其中表明國(guó)際上普遍認(rèn)可推理和證明在學(xué)生各學(xué)段和各方向中的重要性.推理、論證和證明是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心，在學(xué)習(xí)過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用[5].

許多研究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的文章都將“操作實(shí)驗(yàn)”與“推理論證”擺在相互對(duì)立的位置，筆者認(rèn)為這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的.正如TSG16中所指出的，“推理論證”是數(shù)學(xué)活動(dòng)的必不可少的核心環(huán)節(jié)，“推理論證”與“操作實(shí)驗(yàn)”兩者之間應(yīng)是相輔相成的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)2的設(shè)計(jì)致力于體現(xiàn)這一關(guān)系.

·教學(xué)片段2

師：在實(shí)驗(yàn)2中，請(qǐng)同學(xué)們嘗試?yán)谜叫渭埰瑏?lái)折出黃金矩形.

生：由于實(shí)驗(yàn)1中折法2在先折出正方形ABCD的基礎(chǔ)上，再在正方形ABCD內(nèi)部折出了黃金矩形BCIH，故實(shí)驗(yàn)2如法炮制即可.

師：很好，觀察力非常敏銳！還有其他折法嗎？

學(xué)生疑惑，沒(méi)有思路，課堂陷入短暫的沉默，原因主要有兩點(diǎn)：一是學(xué)生思維難以跳出實(shí)驗(yàn)1中折法2所帶來(lái)的慣性思維影響，二是《手冊(cè)》對(duì)實(shí)驗(yàn)2預(yù)設(shè)的折法(折法3)本身具有一定的隱蔽性.事實(shí)上，《手冊(cè)》對(duì)折法3的處理方式是直接展示，要求學(xué)生按圖折疊并說(shuō)明折得的四邊形為黃金矩形；但筆者以為這樣的設(shè)計(jì)將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)變?yōu)榱思兇獾臋C(jī)械操作，是一種虛假實(shí)驗(yàn)，不符合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課變“被動(dòng)接受”為“主動(dòng)探究”的本質(zhì)追求.關(guān)注到學(xué)生的思維障礙，筆者借鑒了中考中常見(jiàn)的類比探究性問(wèn)題的設(shè)置方式，合理設(shè)置相似問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生類比思考.

師：看來(lái)同學(xué)們對(duì)實(shí)驗(yàn)1中的折法2情有獨(dú)鐘，那我們就回到折法2中去尋找實(shí)驗(yàn)靈感，請(qǐng)思考如下問(wèn)題.

問(wèn)題請(qǐng)?jiān)趯?shí)驗(yàn)1中由折法2折得的黃金矩形BCIH中連接CH,CE，則∠BCH和∠ECH之間是否存在等量關(guān)系？若存在，請(qǐng)證明.

證明如圖10，作HM⊥CE于點(diǎn)M，不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2.

圖10

學(xué)生基于上述問(wèn)題與實(shí)驗(yàn)2中的相似成分展開聯(lián)想探究，將前者中的數(shù)學(xué)對(duì)象已知特性遷移到后者上，從而類比生成折法3.

折法3按圖11～圖14操作，折出的矩形BCIH為黃金矩形.

圖11 圖12 圖13

圖14 圖15

思考3數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具備實(shí)證性.

歷經(jīng)實(shí)驗(yàn)2，學(xué)生的思維從“實(shí)驗(yàn)幾何”向“論證幾何”過(guò)渡，對(duì)幾何圖形的認(rèn)知能力、演繹推理能力得到進(jìn)一步提高，真切感受到動(dòng)手的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與嚴(yán)密的推理論證是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的兩種缺一不可的、相輔相成的重要方式.實(shí)驗(yàn)2充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課所應(yīng)具有的實(shí)證性，即學(xué)生能通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，使物化的實(shí)驗(yàn)?zāi)苄蜗蟮胤从硵?shù)學(xué)的原理和觀念.

4.3 實(shí)驗(yàn)3：用黃金矩形紙片(矩形ABCD為黃金矩形)折出黃金矩形

較于實(shí)驗(yàn)2，實(shí)驗(yàn)3的操作難度有所回落，如圖16，只需在黃金矩形ABCD中折去正方形ABEF，從而留下的矩形CDEF即為黃金矩形.由于實(shí)驗(yàn)1中折法1的鋪墊，學(xué)生普遍能迅速完成本次實(shí)驗(yàn).故筆者在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)3時(shí)，重點(diǎn)不再停留在實(shí)驗(yàn)的操作面或?qū)嵶C面上，而是突出學(xué)生實(shí)驗(yàn)結(jié)果中蘊(yùn)含的探究?jī)r(jià)值.通過(guò)在學(xué)生親手制得的實(shí)驗(yàn)作品中設(shè)置探究活動(dòng)，引導(dǎo)其從具體背景中抽象出一般規(guī)律與結(jié)構(gòu)，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象層面的思維品質(zhì).

探究1類似于“勾股樹”，黃金矩形也能不斷“生長(zhǎng)”，請(qǐng)嘗試在圖16中繼續(xù)折出更多的黃金矩形，判斷這些黃金矩形是否相似.

圖16 圖17

(參考答案：仿照實(shí)驗(yàn)3的操作步驟，圖17中的矩形CGHF、矩形FHMN、矩形HMQP等都為黃金矩形且都相似.)

探究3在圖17中，EF將矩形ABCD分成的兩部分的面積之比也成黃金比，類比黃金分割點(diǎn)的定義，我們把這樣的直線稱為黃金分割線，請(qǐng)仔細(xì)觀察圖形，圖17中矩形ABCD是否還有其他的黃金分割線.(參考答案：直線AN)

三個(gè)探究活動(dòng)也為課堂容量提供了彈性空間，同時(shí)能激發(fā)起學(xué)生持久的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望.

思考4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具有探究性.

教師除了關(guān)注到實(shí)驗(yàn)本身的操作價(jià)值，也應(yīng)關(guān)注到實(shí)驗(yàn)成果中蘊(yùn)含的可持續(xù)的探究?jī)r(jià)值.基于學(xué)生的實(shí)驗(yàn)成果，設(shè)置適度的困難并展開探究，有利于學(xué)生深化對(duì)知識(shí)再認(rèn)識(shí)的同時(shí)，進(jìn)一步發(fā)展高階創(chuàng)新思維，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

思考5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具備文化性.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是理想的融入數(shù)學(xué)文化的有效載體.縱觀整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，學(xué)生在創(chuàng)造數(shù)學(xué)認(rèn)知的同時(shí)，體會(huì)到黃金矩形中蘊(yùn)藏著的豐富的美學(xué)價(jià)值和悠久的文化價(jià)值.正如TSG27中所倡導(dǎo)的，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)通過(guò)“做數(shù)學(xué)”將悠久的數(shù)學(xué)文化和生動(dòng)的教學(xué)現(xiàn)狀相互融合.

5 結(jié)束語(yǔ)

新課標(biāo)提出：“改變單一講授式教學(xué)方式，注重開展啟發(fā)式、探究式、參與式、互動(dòng)式等……綜合性教學(xué)活動(dòng).”[6]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為教學(xué)創(chuàng)新提供了全新平臺(tái)，有效豐富了教學(xué)方式.作為一線數(shù)學(xué)教育工作者，即要仰望星空，從全球數(shù)學(xué)教育的先進(jìn)理念和最新進(jìn)展中獲得啟示，不斷優(yōu)化課堂的頂層設(shè)計(jì)，亦要腳踏實(shí)地，在實(shí)踐中發(fā)揮好數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的窗口作用，驅(qū)動(dòng)思維創(chuàng)新，發(fā)展核心素養(yǎng).