新課標初中學段“數(shù)與代數(shù)”學習領域的新變化

趙琳 吳立寶 劉穎超

【摘 要】聚焦《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》與《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》初中學段“數(shù)與代數(shù)”學習領域，對其結構、內容、案例進行比較分析。通過分析比較，研究者發(fā)現(xiàn)：在整體結構上，新增了學業(yè)質量、核心素養(yǎng)、學業(yè)要求以及教學提示部分；在內容上，“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”三個主題沒有變化，部分內容順序發(fā)生變化，并更新相應知識內容；案例選擇方面，更加注重與現(xiàn)實情境、數(shù)學文化的結合。

【關鍵詞】義務教育數(shù)學課程標準；數(shù)與代數(shù)；初中學段；核心素養(yǎng)

一、引言

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）是在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《2011年版課標》）基礎上的修訂，凸顯了繼承與發(fā)展的特點，新提出核心素養(yǎng)及學業(yè)質量貫穿課程標準始終。準確把握課程標準的變化，深入剖析《2022年版課標》修訂理念，深刻理解新版課程標準的內容，有助于將《2022年版課標》的要求深入落實于一線教學，使立德樹人的根本任務落地生根。針對《2022年版課標》中第四學段“數(shù)與代數(shù)”學習領域中的內容，凸顯素養(yǎng)導向的意蘊，從結構、內容、案例方面與《2011年版課標》中的相應內容進行比較分析，以期優(yōu)化教學實踐。

二、從核心概念到核心素養(yǎng)、素養(yǎng)本位的學業(yè)質量

宏觀上，核心素養(yǎng)相關概念于21世紀初，由芬蘭、美國等國家提出，并迅速在國際社會上形成素養(yǎng)導向的熱潮，其理念滲透于課程改革、教學改革、教學評價方式優(yōu)化等各個方面。在此背景下，我國數(shù)學教育逐步從“雙基”轉向“四基”，從“雙能”轉向“四能”，進而綜合向素養(yǎng)導向的模式過渡發(fā)展。新增學業(yè)質量，以核心素養(yǎng)發(fā)展要求為依據(jù)，對學生在“數(shù)與代數(shù)”領域所應達到的學業(yè)成就表現(xiàn)特征進行刻畫，明確了學生對該領域知識“學到什么程度”。從《2011年版課標》到《2022年版課標》，從核心概念到核心素養(yǎng)的變化，新增核心素養(yǎng)的表述，統(tǒng)領核心概念［1］28-34。課程總目標中提出數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)包括三個方面的內容：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）?！?022年版課標》在《2011年版課標》的基礎上強調核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，例如在“數(shù)與代數(shù)”領域初中學段主要表現(xiàn)為抽象能力、推理能力、模型觀念等，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要體現(xiàn)出其內涵的一致性、表現(xiàn)的階段性和表述的整體性［2］92-96。在初中學段要求基于概念的理解，形成相對明確的觀念。

（一）在數(shù)到代數(shù)的認識發(fā)展中形成抽象意識

從內容指向來看，在“數(shù)與代數(shù)”領域關注數(shù)學的抽象性，就要特別關注數(shù)量與數(shù)量關系［2］92-96，感悟數(shù)是對數(shù)量的抽象，在職能上數(shù)與代數(shù)式具有功能的一致性，形成整體的視角看待數(shù)與代數(shù)的內在邏輯關系；從技能形成來看，學生能運用代數(shù)式表示具體問題中簡單的數(shù)量關系，體驗用數(shù)學符號表達數(shù)量關系的過程，經(jīng)歷用字母表示數(shù)和代數(shù)運算的過程，在函數(shù)部分找出變量之間的關系及變化規(guī)律；從數(shù)學思想方法來看，強調學生在完整經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出問題，分析與解決問題的過程中，逐步應用數(shù)學思想方法解決問題，如借助類比的思想，理解數(shù)與代數(shù)式在數(shù)量表達方面功能的一致性，借助歸納—演繹的思想，理解代數(shù)式表達數(shù)量關系更具一般性，并在解決現(xiàn)實數(shù)量關系相關問題中養(yǎng)成用代數(shù)式表達數(shù)量關系的習慣等；從數(shù)學思維的角度來看，能夠關注數(shù)量關系等數(shù)學本質方面的問題，形成用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的思維。

（二）在代數(shù)推理的理解學習中形成推理能力

針對以往義務教育階段數(shù)學課程對代數(shù)推理有所忽視的現(xiàn)象，《2022年版課標》初中學段“數(shù)與代數(shù)”學習領域從內容要求上明確提出了解代數(shù)推理，從技能形成上要求學生能夠運用公式進行簡單的計算和推理，能夠通過特殊結果推斷一般結論，進而能夠提高數(shù)學思維的嚴謹性，形成歸納、類比的數(shù)學思想。例如“例66 代數(shù)推理”從形成數(shù)學思維的角度讓學生在邏輯論證的過程中，逐漸形成推理意識、提升推理能力。在教學中，教師應重視算理、算法和規(guī)律的過程探究［1］28-34，培養(yǎng)學生有條理的思維習慣，進一步形成推理能力及實事求是的科學態(tài)度與理性精神，養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習慣，學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界。

（三）在方程函數(shù)的理解掌握中形成模型觀念

在方程的教學中，從內容上要求學生能夠正確理解方程的概念，突出建立模型、求解模型的過程，發(fā)展學生的模型觀念；解方程（組）有明確的方法步驟，有很強的操作性，因此這也是技能形成的主要組成部分，充分體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想。在“數(shù)與代數(shù)”函數(shù)主題中，要在現(xiàn)實問題中抽象出變量，通過對變量的分析建立兩者之間變化的依賴關系和變化規(guī)律，感悟函數(shù)的思想，即用動態(tài)、聯(lián)系的觀點看問題的數(shù)學思想，并能用函數(shù)表達現(xiàn)實事物的簡單規(guī)律，建立函數(shù)模型，例如新增案例71，在技能上要求學生能從實際問題中建立函數(shù)模型，最終能夠通過二次函數(shù)最大值的求法解決實際問題，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。

（四）由學業(yè)質量標準評價學生素養(yǎng)發(fā)展水平

通過設定學業(yè)質量標準，即學生應當達到的學業(yè)成就水平，來評價學生在完成某一階段數(shù)學課程學習后數(shù)學核心素養(yǎng)實際達到的水平，反映學生實際的學習效果，即學業(yè)質量［3］。素養(yǎng)本位的學業(yè)質量闡明了在每一部分學習中核心素養(yǎng)應當達到的水平、表現(xiàn)特征，以及基礎知識、基本技能、基本思想等。對應核心素養(yǎng)的表現(xiàn)要求從小學階段的意識上升到初中階段的觀念，學業(yè)質量標準在初中學段具體描述為“能從生活情境、數(shù)學情境中抽象概括出數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)的概念和規(guī)則，掌握相關的運算求解方法，合理解釋運算結果，形成一定的運算能力、推理能力和抽象能力”等內容［4］82，體現(xiàn)出學業(yè)質量標準也具有相應的進階性，并以結構化的數(shù)學知識為載體最終指向解決現(xiàn)實問題。

三、初中學段“數(shù)與代數(shù)”領域內容結構的變化

《2022年版課標》初中學段的“數(shù)與代數(shù)”領域主題結構與《2011年版課標》一致，仍為“數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)”三大主題，其變化主要體現(xiàn)在以下幾個方面：其一，縱向上強調學段關聯(lián)性，對學段的劃分進行了一定調整，從“學段+領域”到“領域+學段”，在內容呈現(xiàn)上的明顯變化是在數(shù)與代數(shù)內涵一致性基礎上強調進階發(fā)展性；其二，橫向上突出“教—學—評”協(xié)同發(fā)展，將課程內容分為三個方面來表達，即在內容要求的基礎上增加學業(yè)要求和教學建議，使內容表達更加清晰。

（一）調整學段劃分，延續(xù)“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”三大主題

《2011年版課標》首先將義務教育分為三個學段，在每個學段下再對不同知識領域進行介紹與闡述，即以“學段+領域”的形式呈現(xiàn)。而在《2022年版課標》中，首先將義務教育明確分為了小學階段與初中階段，進而在每一部分從四個領域呈現(xiàn)各學段的內容，即以“階段+領域+學段”的形式呈現(xiàn)［5］41-49?！半A段+領域+學段”這種知識呈現(xiàn)形式的變化使學段的劃分更加明確，且沒有忽略各學段之間的聯(lián)系，更加注重“數(shù)與代數(shù)”這一領域內知識的前后銜接，例如小學階段只要求掌握正有理數(shù)及用字母表示關系和規(guī)律，初中階段進一步拓展到負有理數(shù)、無理數(shù)及用字母表示代數(shù)式，逐級推進，層層深入，體現(xiàn)出不同學段知識的連續(xù)性和進階性［1］28-34，這樣的學段劃分更符合學生的年齡特征和認知發(fā)展規(guī)律。

在初中學段“數(shù)與代數(shù)”領域，《2022年版課標》與《2011年版課標》相比，“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”三大主題沒有改變，但將“負數(shù)”“方程”“反比例”內容從小學移到初中，由于其內容對于小學生而言學習起來較為困難，將這些內容移到初中，學生的認知水平有所提升，更符合學生的實際學習情況，也使教師的教學相對容易。初中主題與小學主題相互銜接，“數(shù)與式”是“數(shù)與運算”的延伸，“方程與不等式”“函數(shù)”主題是小學“數(shù)量關系”主題的延續(xù)和拓展［5］41-49。數(shù)量關系是數(shù)學研究的核心內容，是對現(xiàn)實生活中數(shù)量之間的規(guī)律和關系的表達。這樣的結構變化更加符合新的學段劃分以及當前學生的認知水平，使數(shù)與代數(shù)領域的內容層次更加清晰。

（二）綜合闡述統(tǒng)領，增加“學業(yè)要求”“教學提示”

《2022年版課標》在初中階段對“數(shù)與代數(shù)”領域的內容進行了綜合闡述，即在“內容要求”前說明了三個主題內容在數(shù)學學習中所扮演的重要角色及相應的作用，以及該領域內容所要發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。闡明數(shù)與代數(shù)作為數(shù)學知識體系基礎之一的重要性，并進一步分析“數(shù)與代數(shù)”領域中“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語言，“方程與不等式”揭示了數(shù)學中相等關系和不等關系兩種最基本的數(shù)量關系，“函數(shù)”則主要研究變量之間的關系［4］54。此外，《2022年版課標》對課程內容的呈現(xiàn)形式除“內容要求”外，還增加了“學業(yè)要求”“教學提示”，不僅從“學什么”“學到什么程度”“怎樣學”三個方面全面地表述課程內容，還讓教師明確了“教什么”“教到什么程度”“怎樣教”。這不僅體現(xiàn)了“教—學—評”的一致性，還增強了課程標準在教材編寫、教師教育教學以及課后教學評價中的操作性與指導性［6］?！皩W業(yè)要求”圍繞內容要求進一步明確學段結束時學習內容與相關核心素養(yǎng)所要達到的程度、對知識要求的呈現(xiàn)更加具體，與學業(yè)質量標準相對應，如圍繞“知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成”這一內容要求，學業(yè)要求中更加明確要求學生要“感悟數(shù)的擴充”。而“教學提示”主要針對知識內容的教學和達成相關核心素養(yǎng)提供了較為詳細的教學建議，如在數(shù)與式的教學過程中，要求教師應把握數(shù)與式的整體性，幫助學生進一步感悟數(shù)是對數(shù)量的抽象［4］61。又如針對內容要求“通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義”，學業(yè)要求則進一步描述“會通過分析實際問題的情境確定二次函數(shù)的表達式，體會二次函數(shù)的意義”，教學提示中對相關內容提出具體教學建議“要通過現(xiàn)實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數(shù)表達變化關系的實際意義”。這一部分的增加充分體現(xiàn)了課程標準是教材編寫、教師教學、考試評估的依據(jù)。

四、初中學段“數(shù)與代數(shù)”領域的知識內容比較分析

《2022年版課標》對于初中學段“數(shù)與代數(shù)”領域的知識內容進行了相應的增加、刪減以及知識呈現(xiàn)順序上的調整。增減內容詳見表1。

（一）新增知識內容，加強代數(shù)推理

《2022年版課標》在“數(shù)與代數(shù)”領域主要增加了推理要求，將其放在了重要位置；新增“了解代數(shù)推理”的知識內容，即能夠用乘法公式、字母進行推理。代數(shù)推理就是從一些數(shù)學事實、概念、定理、公式、法則、性質出發(fā)，依據(jù)邏輯順序進行定量的計算或說理，得到特定的目標結構（數(shù)值）或者說明某個結論的思維活動［7］，以及“能利用（乘法）公式進行簡單的計算和推理”的增加，有意識地讓學生進行推理，突出了代數(shù)推理的應用。這些內容的增加旨在強化代數(shù)推理，幫助學生體驗代數(shù)運算的特性并且提升推理能力［5］41-49。此外，還增加了“負數(shù)的意義”，對應在案例中新增“例64 負數(shù)的引入”，借助歷史資料說明最初負數(shù)引入的意義，體會古代數(shù)學家的貢獻；“知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成”，將與數(shù)軸一一對應的數(shù)系從有理數(shù)擴大到實數(shù)，感悟數(shù)系的擴充；新增“會進行簡單的近似計算”，新增的“例65 簡單近似計算”也正是對這一內容要求的補充；“知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對稱軸的關系”，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；新增“會求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題”，把握二次函數(shù)最大最小值的性質，能逆向求解自變量的值，與實際情況相聯(lián)系可以更好地運用情境教學。這些內容都更加明確地指向“數(shù)與代數(shù)”領域內容的學習，將知識與實際相聯(lián)系，增強知識的運用能力。

（二）刪減調整內容，增強其整體性

將“理解乘方的意義”單獨作為一條內容要求呈現(xiàn)，更加清晰地體現(xiàn)了“乘方”這一概念的引入，并把與實數(shù)相關的知識點提前，把與平方根相關知識點錯后，由淺入深，層次更加清晰；在方程與不等式主題中，由于“一元二次方程的根與系數(shù)的關系”是在高中需要使用的知識點，往往中考又不涉及相關內容，初中教師一般會忽略該知識點，使得新高一學生不知道、不會使用。因此，《2022年版課標》將“一元二次方程的根與系數(shù)的關系”作為必學內容，但僅限于了解該結論的程度。這一內容由選學變?yōu)楸貙W，增加了不同學段之間知識的銜接以及縱向上的整體性，通過新增“例67 一元二次方程的根與系數(shù)的關系”讓學生感悟符號表達對于數(shù)學發(fā)展的作用。在函數(shù)主題中，將“函數(shù)”標題改為“函數(shù)的概念”，凸顯概念教學在數(shù)學中的重要性；將特殊函數(shù)的順序由“一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)”改為“一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)”，順序上的調整更加符合學生的認知發(fā)展規(guī)律以及數(shù)學內容的發(fā)展進階性、知識之間的整體性。

此外，《2022年版課標》對部分知識內容進行整合，將“整式與分式”單元合并到“代數(shù)式”單元中；將“有理數(shù)的混合運算與運算律的運用”合并，混合運算與運算律的運用之間關系密切，邏輯上更加合理；新增“知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關系”，增加知識之間的聯(lián)系。這些均充分體現(xiàn)出知識內容整體性的增強，在教學過程中也強調通過對內容的整體分析，幫助學生建立結構化的數(shù)學知識體系［8］。

五、教學啟示

（一）在目標制訂中突出核心素養(yǎng)

《2022年版課標》中核心素養(yǎng)的深入是此次課程標準修訂較為重要的一部分，核心素養(yǎng)重組和完善了核心概念，充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的一致性、進階性與發(fā)展性，而在初中學段數(shù)與代數(shù)領域主要凸顯抽象意識、代數(shù)推理以及模型觀念。教師應重視學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，將其滲透到平時的課堂教學中，從培養(yǎng)推理能力、發(fā)展素養(yǎng)的角度出發(fā)引導學生學習這些知識。如在數(shù)與式的教學中，通過負數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)的認識，幫助學生感悟數(shù)是對數(shù)量的抽象，形成抽象意識；讓學生能夠用乘法公式、字母進行簡單的計算推理，加強對代數(shù)推理的滲透，形成推理能力；在函數(shù)教學中，讓學生能夠體會函數(shù)圖象與表達式的關系，增強幾何直觀，體會數(shù)形結合的思想，并能結合實際問題建立數(shù)學模型，形成模型觀念。這樣的課堂教學使學生的核心素養(yǎng)以及“四基”“四能”多維水平逐步達到學業(yè)質量標準。

（二）在內容結構化中凸顯代數(shù)思想

數(shù)與代數(shù)是數(shù)學知識體系的基礎，是義務教育階段數(shù)學教學的重要內容，是學生認知數(shù)量關系，進一步探索數(shù)學規(guī)律、建立數(shù)學模型的基石。因此，在教學中，教師應凸顯代數(shù)思維的統(tǒng)領意識，引導學生能夠借助數(shù)學思維從解決一個數(shù)與代數(shù)的問題向解決一類數(shù)與代數(shù)問題的方向進階發(fā)展。數(shù)與代數(shù)等領域的內容一直是傳統(tǒng)數(shù)學中的核心內容，而我們當下的教學也應做出一些適當?shù)母淖儊磉m應新的課程標準。因此，教師需要在進一步研讀《2022年版課標》的基礎上改進教學方式且有效提高教學質量，在講授知識中體現(xiàn)代數(shù)思想。如在方程的教學上，教師要讓學生感知學習方程的必要性，而不是單純講方程的概念。根與系數(shù)的關系調整為必學內容，要讓學生知道利用一元二次方程的根與系數(shù)關系可以解決一些簡單的問題。用配方法推導求根公式時，教師要把根與系數(shù)關系的來龍去脈講清楚，而不是強調復雜的計算練習［9］。

（三）在解決實際問題中融合跨學科知識

在方程和函數(shù)的教學中，需要從實際問題出發(fā)，構建模型。如在一元二次方程的教學中，首先要從實際問題中抽象出數(shù)量關系，列出關于未知量的一元二次方程，運用一元二次方程的解法求得其解，進而解決實際問題。因此，教師可引導學生自己在真實生活中尋找實例，組織開展實踐，再進一步通過數(shù)與代數(shù)的知識解決實際問題。又如在函數(shù)的教學中，教師可以通過豐富的實例來創(chuàng)設各種變化關系的問題情境，與綜合與實踐領域“體育與心率”項目式學習相結合，綜合數(shù)學、體育、生物學等知識，讓學生通過具體研究“運動類型、運動時間與心率的關系”體會變量之間的對應關系，建立函數(shù)模型。這樣的教學過程充分體現(xiàn)學生在教學中的主體地位，并融合了其他學科知識，進而體現(xiàn)《2022年版課標》的新要求。

參考文獻：

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［9］曹一鳴，廖輝輝.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的變化及教學啟示［J］.福建教育，2022（19）：21-24.

（責任編輯：陸順演）