例析求解二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)的常見(jiàn)策略

張 平

(廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

二項(xiàng)式定理是對(duì)初中完全平方公式與多項(xiàng)式乘法的拓展與延伸,既是排列組合知識(shí)的直接應(yīng)用,又與概率中的二項(xiàng)分布有著緊密的聯(lián)系,在高考中多以填空題或選擇題的形式呈現(xiàn),屬于基礎(chǔ)題,以考查二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識(shí)與方法的應(yīng)用為主,重點(diǎn)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,兼顧數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).本文結(jié)合題目進(jìn)行分類剖析,以提高解決此類問(wèn)題的能力.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

2 常用性質(zhì)

2.1 二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)性質(zhì)

1)二項(xiàng)式(a＋b)n展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的

2)二項(xiàng)式(a＋b)n展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等,即

2.2 賦值法求展開(kāi)式系數(shù)和

3 應(yīng)用舉例

3.1 求特定項(xiàng)系數(shù)

例1(2020年北京卷3)在的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)為( ).

A.－5 B.5 C.－10 D.10

方法3(x2＋4x－5)4表示4個(gè)(x2＋4x－5)的乘積,要得到x的一次項(xiàng),則必須在1 個(gè)(x2＋4x－5)中選擇4x,同時(shí)其余3個(gè)(x2＋4x－5)中均選擇(－5),由排列組合知識(shí)得展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)為

方法4易知(x2＋4x－5)4的展開(kāi)式中x的最高次數(shù)為8,最低次數(shù)為0,故可設(shè)(x2＋4x－5)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8,求x的一次項(xiàng)的系數(shù)即是求a1的值.將等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得4(x2＋4x－5)3(2x＋4)＝a1＋2a2x＋…＋8a8x7,令x＝0,得a1＝4×(－5)3×4＝－2000.

例4(2014年浙江卷理5)在(1＋x)6(1＋y)4的展開(kāi)式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( ).

A.45 B.60 C.120 D.210

故選C.

方法2(1＋x)6的展開(kāi)式通項(xiàng)為其中k＝0,1,2,…,6;同理,(1＋y)4的展開(kāi)式通項(xiàng)為,其中r＝0,1,2,3,4,則(1＋x)6(1＋y)4的展開(kāi)式通項(xiàng)為

其中k＝0,1,2,…,6,r＝0,1,2,3,4,從而f(m,n)＝,則

故選C.

3.2 求參數(shù)的值

例5(2017年山東卷理11)已知(1＋3x)n的展開(kāi)式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54,則n＝________.

方法2由排列組合知識(shí)知(1＋3x)n的展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)為54,得n2－n－12＝0,解得n＝4(負(fù)值舍去).

例6已知的展開(kāi)式中含有x2y4項(xiàng)的系數(shù)為80,則m的值為( ).

A.－2 B.2 C.－1 D.1

3.3 與最大系數(shù)相關(guān)

例7設(shè)m為正整數(shù),(x＋y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x＋y)2m＋1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a＝7b,則m＝( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

解得m＝6,故選B.

例8已知(ax＋1)9的展開(kāi)式中系數(shù)最大的是第3項(xiàng),且a∈N?,則a＝_________,展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第_________項(xiàng).解得,所以a＝3或4,展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第5項(xiàng)和第6項(xiàng).

3.4 求系數(shù)和

例9(2015年湖北卷理3)已知(1＋x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( ).

A.212B.211C.210D.29

例10(2022年北京卷8)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0,則a0＋a2＋a4＝( ).

A.40 B.41 C.－40 D.－41

方法2(2x－1)4的展開(kāi)式通項(xiàng)為

其中k＝0,1,2,3,4 則a0＋a2＋a4＝(－1)4＋,故選B.

方法3(2x－1)4表示4個(gè)(2x－1)的乘積,由排列組合可得,故選B.

例11(x＋2y－3z)5的展開(kāi)式中所有不含y的項(xiàng)的系數(shù)之和為( ).

A.－32 B.－16 C.10 D.64

(x＋2y－3z)5＝[(x－3z)＋2y]5,則其展開(kāi)式的通項(xiàng)為.若展開(kāi)式中的項(xiàng)不含y,則k＝0,此時(shí)符合條件的項(xiàng)為(x－3z)5的展開(kāi)式中的所有項(xiàng).令x＝z＝1可得這些項(xiàng)的系數(shù)之和為(－2)5＝－32,故選A.

3.5 綜合提升

(2)方法1(1－2x)7的展開(kāi)式通項(xiàng)為Tk＋1＝,其中k＝0,1,2,…,7,所以當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),ak＞0;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),ak＜0,則

方法2求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值,實(shí)質(zhì)是求(1＋2x)7的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和.令x＝1,得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.

(3)將(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

令x＝1,得a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＝－14.

(4)將－14(1－2x)6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋7a7x6兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

令x＝1,得2a2＋6a3＋12a4＋…＋42a7＝－168.

(5)由導(dǎo)數(shù)公式易知

二項(xiàng)式定理的相關(guān)問(wèn)題還是有“法”可依、有章可循的,因此我們應(yīng)牢牢抓住二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,結(jié)合題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征,靈活進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化,選擇合適方法進(jìn)行求解.

(完)