運算一致性的本質(zhì)理解與教學(xué)適應(yīng)的分析

田淑玲 田世忠

摘? ?要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》第一次提出運算教學(xué)要讓學(xué)生“感悟運算的一致性”的要求。教學(xué)中通過設(shè)計教學(xué)、復(fù)習(xí)舊知、探究算理、對比新舊四種方式讓學(xué)生感悟運算一致性的方法。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；運算一致性；教學(xué)方法

中圖分類號：G623.5? ?文獻標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2023）34-0050-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）優(yōu)化了課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，增強了內(nèi)容與育人目標(biāo)的聯(lián)系，比如將原來的“數(shù)的認(rèn)識”和“數(shù)的運算”兩部分組合成為“數(shù)與運算”主題，并在“課程內(nèi)容”中提出“數(shù)與運算，包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識及其四則運算……感悟數(shù)的運算與運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識。”在“教學(xué)提示”中提出“通過數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運算有機結(jié)合，感悟計數(shù)單位的意義，了解運算的一致性”和“通過整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運算，進一步感悟計數(shù)單位在運算中的作用，感悟運算的一致性” 對比2011年版《課標(biāo)》，不難發(fā)現(xiàn)“感悟運算的一致性”是2022年版《課標(biāo)》對運算教學(xué)提出的新要求。那么，“數(shù)的運算的一致性”的內(nèi)涵是什么？教學(xué)中如何讓學(xué)生“感悟數(shù)的運算的一致性？”下面結(jié)合具體例子，談一些粗淺的認(rèn)識。

一、“數(shù)的運算的一致性”的內(nèi)涵

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“數(shù)的運算”內(nèi)容分布廣泛，貫穿了一至六年級的十二本教材，由于跨度較大，所以在過去的教學(xué)中普遍存在碎片化，各管一段的做法。小學(xué)階段數(shù)的運算的對象是整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，都與數(shù)的計數(shù)單位相關(guān)。運算是指加、減、乘、除四則運算，雖然整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運算形式上不同，但從計數(shù)單位的角度分析，數(shù)的運算本質(zhì)上有共同之處。

首先解析四則運算之間的邏輯關(guān)系。加法是把兩個數(shù)或若干個數(shù)合并在一起的運算，乘法是計算相同加數(shù)的和的簡便運算，所以乘法和加法都是相同計數(shù)單位的累加；減法是已知兩個數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，所以減法是加法的逆運算；除法是已知兩個因數(shù)的積和其中的一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算，所以是乘法的逆運算，又因為除法計算的每一步都有減法參與，所以除法和減法一樣是相同計數(shù)單位個數(shù)的遞減。由此看來，加法是四則運算的基礎(chǔ)，加、減、乘、除都是通過加法衍生出來的，都是針對計數(shù)單位的運算。

（一）加法運算的一致性

計數(shù)單位是數(shù)的運算的核心概念，加法運算是計數(shù)單位的個數(shù)相加。首先看整數(shù)加法，如2+3，從計數(shù)單位的角度分析2+3表示2個一加3個一，結(jié)果是5個一，也就是5。較大數(shù)的加法如456+23也是如此，從計數(shù)單位相加的角度思考，即456+23=400+（50+20）+（6+3）=479，橫式反應(yīng)了豎式計算的算理，即相同計數(shù)單位的數(shù)相加，因此豎式計算時要相同數(shù)位對齊。由于小數(shù)和整數(shù)都是十進制，所以小數(shù)加法運算與整數(shù)加法運算一脈相承，如0.2+0.3，表示2個0.1加3個0.1是5個0.1，結(jié)果是0.5。較復(fù)雜的小數(shù)加法如0.25+0.12=（0.2+0.1）+（0.05+0.02）=0.37，橫式反應(yīng)了豎式計算的算理，揭示了小數(shù)點對齊的本質(zhì)是保證相同計數(shù)單位的數(shù)字相加。分?jǐn)?shù)加法，如+，是同分母分?jǐn)?shù)相加，分?jǐn)?shù)單位相同，把分子相加就是把計數(shù)單位的個數(shù)相加，即+==；異分母分?jǐn)?shù)加法如+，分母不同就是計數(shù)單位不同，所以要先通分，統(tǒng)一計數(shù)單位后再加，即+=+=。分?jǐn)?shù)的表達形式不是十進制，在計算方法上與整數(shù)、小數(shù)有明顯的差異，但算理相通，都是對計數(shù)單位的累加。

總之，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加法，雖然表面上看起來有明顯的差別，但實質(zhì)上有共同之處：相同計數(shù)單位的個數(shù)相加。

（二）減法運算的一致性

已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算是減法，所以減法是加法的逆運算，基于加法運算的一致性理解減法運算，減法就是相同計數(shù)單位個數(shù)相減。如8-5就是從8個一里去掉5個一，剩3個一，即差是3；1.6-0.7就是從16個0.1里去掉7個0.1，剩9個0.1，即差是0.9 ，正是基于這個道理，用豎式計算時個位不夠減時要從十位退一作十個一，與十分位上的6合成16個0.1再減。分?jǐn)?shù)減法分“同分母分?jǐn)?shù)減法”和“異分母分?jǐn)?shù)減法”，同分母代表分?jǐn)?shù)單位相同，此時分子就是計數(shù)單位的個數(shù)，所以計算時分母不變，直接把分子相減；而異分母代表分?jǐn)?shù)單位不同，不能直接相減，所以計算時要先通分，使得計數(shù)單位相同后再計算，如-=-=。

可見，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的減法運算的本質(zhì)是相同的，算理同樣具有一致性，即相同計數(shù)單位的個數(shù)相減。

（三）乘法運算的一致性

乘法是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算，所以乘法運算與加法運算有著密切的聯(lián)系。但乘法運算比加法運算要復(fù)雜得多，所以我們遵從數(shù)的構(gòu)成，從計數(shù)單位的角度將乘數(shù)進行分解，再研究乘法運算的本質(zhì)。

首先整數(shù)、小數(shù)都是十進制，因此整數(shù)乘法、小數(shù)乘法可以依據(jù)計數(shù)單位，通過分解乘數(shù)并使用運算律探究算理：如200×30=（2×100）×（3×10）=（2×3）×（100×10）=6×1000=6000；再如0.2×0.03=（2×0.1）×（3×0.01）=（2×3）×（0.1×0.01）=6×0.001=0.006. 還有12×3=（10+2）×3=（10×3）+（2×3）=30+6=36.

其次分?jǐn)?shù)乘法可以依據(jù)分?jǐn)?shù)的單位，對乘數(shù)進行分解探究算理：如×=（2×）×（3×）=（2×3）×（×）=6×=。

綜上分析發(fā)現(xiàn)，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法運算都可以先將乘數(shù)基于計數(shù)單位分解，再應(yīng)用運算律進行計算。由于使用了運算律，所以乘法運算歸結(jié)為兩步：計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘作新的計數(shù)單位，計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)相乘得到新的計數(shù)單位的個數(shù)，從算理上實現(xiàn)了乘法運算是計數(shù)單位個數(shù)累加的本質(zhì)。

（四）除法運算的一致性

已知兩個因數(shù)的積與其中的一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算，叫做除法。小學(xué)生學(xué)習(xí)除法是從平均分開始的，所以從計數(shù)單位的角度理解除法運算是對計數(shù)單位的細分，學(xué)生更容易理解。如整數(shù)除法768÷3，768是由7個百6個十和8個一組成的，所以用豎式計算時，先算7個百除以3，在商的百位寫2余1個百；再把余下的1個百轉(zhuǎn)化成10個十與6個十合起來是16個十，除以3在商的十位寫5余1個十；最后把余下的1個十轉(zhuǎn)化成10個一，與8個一合起來是18個一，除以3在商的個位寫6。所以768÷3=256。在計算的過程中計數(shù)單位被三次細分（當(dāng)高一級的單位不夠分時就轉(zhuǎn)化成低一級的單位再分），直到分完為止。

小數(shù)除法豎式計算是借助商不變的規(guī)律將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，然后按照整數(shù)除法的方法進行計算。如78.6÷0.3，依據(jù)商不變的規(guī)律計算，即78.6÷0.3=（78.6×10）÷（0.3×10）=786÷3=256，橫式對應(yīng)了豎式計算的算理：把除數(shù)和被除數(shù)同時乘10，商不變。實質(zhì)上小數(shù)除法也可以在統(tǒng)一計數(shù)單位的基礎(chǔ)上計算，如上例中0.3是3個0.1，所以78.6可以看作786個0.1，即78.6÷0.3=（786×0.1）÷（3×0.1）=（786÷3）×（0.1÷0.1）=256. 這樣看來，在小數(shù)除法中，把被除數(shù)和除數(shù)的計數(shù)單位統(tǒng)一后，就是把計數(shù)單位的個數(shù)相除，與整數(shù)除法中計數(shù)單位被細分的道理一致。

分?jǐn)?shù)除法運算，一般的計算方法是：除以一個數(shù)（0除外），等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。從計數(shù)單位的角度看分?jǐn)?shù)除法運算，可以這樣理解：當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的分?jǐn)?shù)單位相同時，如÷，被除數(shù)和除數(shù)的分?jǐn)?shù)單位都是，計算的本質(zhì)就是看4里面有幾個1，即÷=（4×）÷（1×）=（4÷1）×（÷）=4÷1=4. 當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的計數(shù)單位不同時，如4÷，我們可以把4轉(zhuǎn)化成用做單位的假分?jǐn)?shù)，那么4÷=÷=（20×）÷（1×）=（20÷1）×（÷）=20÷1=20；再如：÷，可以把被除數(shù)和除數(shù)轉(zhuǎn)化成用做單位的分?jǐn)?shù)計算，即÷=÷=（15×）÷（16×）=（15÷16）×（÷）=15÷16= 。整理幾個例子發(fā)現(xiàn)，在分?jǐn)?shù)除法運算中，把被除數(shù)和除數(shù)的計數(shù)單位統(tǒng)一后，仍然是把計數(shù)單位的個數(shù)相除，與整數(shù)除法中計數(shù)單位被細分的道理一致。

依據(jù)以上對整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)除法運算道理的分析，發(fā)現(xiàn)其一致性在于計數(shù)單位統(tǒng)一的前提下，計數(shù)單位的個數(shù)相除，即計數(shù)單位個數(shù)的細分。

二、教學(xué)要讓學(xué)生“感悟運算的一致性”

基于以上的分析，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)的運算的核心是“計數(shù)單位”，只要抓住這個核心，所有的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運算都可以整合?！墩n標(biāo)》給出“感悟”的含義是“在數(shù)學(xué)活動中，通過獨立思考或合作交流，獲得初步的理性認(rèn)識?！?那么，在教學(xué)中如何讓學(xué)生感悟運算一致性呢？下面以石家莊市長安區(qū)王曉陽老師的《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》的教學(xué)為例給大家諸多啟示。

（一）設(shè)計教學(xué)，要有目標(biāo)意識

《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》一課的學(xué)習(xí)目標(biāo)：

①結(jié)合具體情境及看圖列式，自主地了解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義（運算能力）；

②結(jié)合具體算式和線段圖，通過小組合作、交流展示，在教師引導(dǎo)下，理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理，感悟運算的一致性。（運算能力、推理意識、幾何直觀）；

③通過歸納總結(jié)、計算練習(xí)，自主地掌握分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計算方法（運算能力、推理意識、應(yīng)用意識）。

在做教學(xué)設(shè)計前，認(rèn)真研究《課標(biāo)》和學(xué)情，把運算一致性的要求融入目標(biāo)，保證教學(xué)既重視基礎(chǔ)知識和基本技能的獲得，又關(guān)注基本的數(shù)學(xué)思想的形成和相應(yīng)的核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（二）復(fù)習(xí)舊知，梳理整數(shù)、小數(shù)乘法運算與計數(shù)單位的關(guān)聯(lián)

課堂引入環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)購買奶糖情境：每袋奶糖重400克，3袋共重多少千克？計算過程中，引領(lǐng)學(xué)生回憶了整數(shù)和小數(shù)乘法的算理，即：400×3就是求4個百×3，結(jié)果是12個百；0.4×3就是4個0.1×3，結(jié)果是12個0.1。學(xué)生在以前學(xué)習(xí)整數(shù)和小數(shù)乘法運算時，已經(jīng)理解了乘法運算的算理，這些看似與分?jǐn)?shù)乘法無關(guān)，但在學(xué)習(xí)時會起到遷移的作用，為感悟運算一致性奠定了基礎(chǔ)。

（三）探究算理，感受分?jǐn)?shù)乘法運算與分?jǐn)?shù)單位的關(guān)聯(lián)

在探究算理環(huán)節(jié)給予學(xué)生充足的時間和空間，學(xué)生嘗試用畫圖、列算式或文字描述等方式表達分?jǐn)?shù)乘法的算理。課堂上有的學(xué)生轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加法，有的嘗試畫圖表示，還有一個學(xué)生說到里面有兩份，乘3就是翻了三番，一共是6份。

課堂上多元的表達方式呈現(xiàn)了學(xué)生的不同思路，但這些思路都指向了“分?jǐn)?shù)單位沒有變，只是分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)在增多”這樣一個事實。這時的學(xué)生已經(jīng)初步感受到運算一致性的含義了。

（四）對比新舊，打通知識和方法間的關(guān)聯(lián)，體會運算的本質(zhì)

理清分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理后，教師說“剛才同學(xué)們用了畫圖的方式，直觀解釋了表示2個，×3就是6個。是分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位，其實計算×3就是在計算有幾個這樣的分?jǐn)?shù)單位，這讓我想到了剛才我們在算三袋糖的重量時，用到了整數(shù)乘法、小數(shù)乘法，認(rèn)真觀察，在計算分?jǐn)?shù)乘法、整數(shù)乘法、小數(shù)乘法時，有什么相似的地方？”教師邊說邊用PPT出示了分?jǐn)?shù)、小數(shù)和整數(shù)乘法的計算過程，讓學(xué)生觀察并思考。

片刻后，三個學(xué)生回答“計算前和計算后，計數(shù)單位是不變的”“三種方法都是乘3”“只有計數(shù)單位的個數(shù)變了”。教師利用類比的方法引領(lǐng)學(xué)生建立起整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法之間的關(guān)聯(lián)，在理解了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理的同時感悟運算的一致性。

分析了上面的教學(xué)，聯(lián)想過去在運算教學(xué)中每節(jié)課都強調(diào)“理解算理、掌握算法”，但課與課之間，相同運算的不同課之間缺少了算理與算法的實質(zhì)性溝通，是碎片化的教學(xué)狀態(tài)。當(dāng)教學(xué)缺少了聯(lián)系的眼光的時候，學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)必然是重的，學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)運算或數(shù)學(xué)運算容易出錯也找到了根源。感悟運算的一致性就是要整體把握數(shù)與運算內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，抓住核心概念——計數(shù)單位，結(jié)合不同階段學(xué)生的基礎(chǔ)和心理特征，進行有針對性的、有問題情境支撐的、引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)設(shè)計。教學(xué)中還要重視學(xué)生的體驗活動，引導(dǎo)學(xué)生把已有的知識和方法遷移到新的知識中去，有目的地培養(yǎng)學(xué)生的歸納和類比的能力，提高運算能力，這才是《課標(biāo)》提出感悟運算一致性的真諦。