溫差條件下包含手征活性粒子的封閉圓環(huán)的輸運*

廖晶晶 康琦 羅飛 藺福軍

(江西理工大學(xué)理學(xué)院,贛州 341000)

在溫差條件下,由于二維周期通道的橫向溫度差引發(fā)的上下不對稱和活性粒子的手征性質(zhì)使得活性粒子在縱向發(fā)生定向運動,繼而驅(qū)動包裹粒子的封閉圓環(huán)定向輸運.圓環(huán)的運動方向由粒子的手征性決定.研究表明,圓環(huán)的運動速度是活性粒子的角速度、下壁溫度及溫度差的峰值函數(shù).圓環(huán)包含一個手征活性粒子與包含多個手征活性粒子的定向運動行為具有較大差異.特別是,圓環(huán)半徑對兩種情況下圓環(huán)的運動行為差異影響較大.當(dāng)封閉圓環(huán)只包含一個粒子且粒子做圓周運動的軌跡半徑較大(小)時,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)定向運動起促進(jìn)(抑制)作用,圓環(huán)速度隨圓環(huán)半徑增大而減小(增大);當(dāng)封閉圓環(huán)包含多個粒子時,粒子間的相互作用對圓環(huán)定向運動起抑制作用,圓環(huán)半徑越大,粒子間相互作用越弱,圓環(huán)速度越大.本文的研究結(jié)果為在微尺度上活性粒子流的操控提供了新的可能性.

1 引言

活性物質(zhì)是能將周圍環(huán)境中的能量轉(zhuǎn)化為自我驅(qū)動的一類重要的非平衡體系[1],近年來在物理、生物及化學(xué)領(lǐng)域,尤其是在現(xiàn)代納米科學(xué)和生命科學(xué)的應(yīng)用方面受到極大關(guān)注,相關(guān)研究取得了巨大進(jìn)展.不同于被動粒子,由于活性物質(zhì)具有自驅(qū)動、自適應(yīng)的特性,且可在無序中生有序產(chǎn)生群集運動,因此具有一系列熱力學(xué)平衡體系不具備的非平衡性質(zhì)且表現(xiàn)出新奇的現(xiàn)象[2?5].最近,一種新型活性物質(zhì)(手征活性物質(zhì))引起了研究者的極大興趣,該種物質(zhì)做環(huán)狀(或螺旋狀)運動而不是直線運動.自然界中存在多種手征活性物質(zhì),如在界面上順時針旋轉(zhuǎn)的大腸桿菌[6],在薄膜上順時針運動的FtsZ 蛋白[7].目前,研究手征活性粒子主要集中在三個方面:群集和相分離[2,8?16]、不同手征性的混合粒子分離[17?20]、手征活性粒子的整流[21?26].研究手征活性物質(zhì)的意義,一方面能從統(tǒng)計物理學(xué)的角度來揭示生命體系的運動和遷移,豐富非平衡統(tǒng)計物理的相關(guān)規(guī)律;另一方面在智能材料與微納米機器的設(shè)計、解決水資源及土壤污染等環(huán)境問題、靶向藥物輸運和癌癥檢測等精準(zhǔn)醫(yī)療領(lǐng)域有突出的應(yīng)用前景.

手征活性粒子與障礙物之間的相互作用已經(jīng)在理論、模擬及實驗方面進(jìn)行了很多研究.2007 年Galajda等[27]率先在實驗上驗證了大腸桿菌在放置了一組漏斗陣列的腔室中會發(fā)生整流現(xiàn)象.2014 年,Potiguar等[5]提出了在沒有外場作用的情況下,不對稱凸障礙物能誘導(dǎo)粒子的定向輸運.McDermott等[28]研究了準(zhǔn)一維不對稱襯底中活性粒子的集體棘輪效應(yīng)和流的反轉(zhuǎn).Ghosh 課題組[29]對Janus 粒子的棘輪輸運進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)其整流比普通熱勢棘輪強得多.此外,他們還研究了旋轉(zhuǎn)微泳物的定向輸運,發(fā)現(xiàn)在上下和左右都不對稱的通道能產(chǎn)生凈離子流[23].Sandor等[30]研究了在行波基片作用下,run-and-tumble 主動圓盤的輸運情況,發(fā)現(xiàn)在這種輸運過程中,圓盤與基片有一個明顯的過渡,即磁盤只與基片部分耦合,形成相分離的團(tuán)簇狀態(tài).Reichhardt 課題組[31?33]研究了隨機或周期性障礙陣列以及漏斗陣列中的活性粒子輸運行為.Schakenraad 研究組[34]證明了地形梯度引入了對粒子持續(xù)性的空間調(diào)節(jié),導(dǎo)致粒子向更高持久性區(qū)域的定向運動.Kaiser等[35]證明了在V 形障礙物中運動的細(xì)菌會發(fā)生集體捕獲現(xiàn)象,2019 年,Kumar等[36]從實驗上實現(xiàn)了這種捕獲.2020 年,Ribeiro 及其合作者[37]研究了不同噪聲大小的活性物質(zhì)在吸引的周期背景勢中的擴散機制和捕獲行為.近期,Borba等[38]發(fā)現(xiàn)活性物質(zhì)在由不對稱障礙物組成的無序晶格中會發(fā)生定向輸運.由于障礙物周圍容易捕獲粒子,造成活性粒子發(fā)生流反轉(zhuǎn).葉方富團(tuán)隊聯(lián)合陳科團(tuán)隊和鄭寧課題組[39]研究了手征活性流體的拓?fù)溥吔巛斶\,證明了在奇黏度增強的耗盡力作用下,粒子能穩(wěn)定地位于系統(tǒng)邊界,不受障礙物的影響沿邊界單向運動.陳康教授課題組[40]研究了活性布朗粒子在二維結(jié)構(gòu)中與刷毛表面的相互作用,結(jié)果發(fā)現(xiàn)在大自驅(qū)動力下,鏈?zhǔn)袷幇殡S著動態(tài)團(tuán)簇的形成和解體.艾保全教授課題組[41,42]研究了由行進(jìn)障礙陣列驅(qū)動的極性粒子的輸運和對齊相互作用粒子的俘獲行為.

目前,大多數(shù)的活性系統(tǒng)研究中,活性粒子和障礙物之間并未相互約束,而在實際系統(tǒng)中,共同約束在活性粒子的棘輪輸運中起重要作用.如施夏清課題組[43]研究了自驅(qū)動桿狀粒子在半柔性彈性環(huán)中的集體行為.結(jié)果顯示,不對稱的粒子分布對彈性環(huán)整體遷移有重要貢獻(xiàn).田文得課題組[44]研究了封閉圓環(huán)內(nèi)的活性粒子定向運動導(dǎo)致的柔軟圓環(huán)的反常形變.此外,以往對手征活性粒子的研究主要集中在恒溫方面,平動和轉(zhuǎn)動擴散系數(shù)被假定為不耦合.然而,溫差環(huán)境更接近于真實系統(tǒng).眾所周知,平動和轉(zhuǎn)動擴散耦合與溫度有關(guān).溫差對粒子輸運行為有重要影響.如艾保全教授課題組[45]研究了在不同邊界條件下,溫度差對手征活性粒子定向輸運的影響.盡管如此,溫差條件下包含手征活性粒子的封閉圓環(huán)的輸運尚未研究過,因此,本文研究了限制在被動環(huán)內(nèi)的手征活性粒子在溫差條件下會產(chǎn)生定向運動.重點研究了環(huán)的約束及手征活性粒子對環(huán)的驅(qū)動對整流的影響.

2 模型和方法

考慮n個半徑為r的手征活性粒子被半徑為R的封閉圓環(huán)包裹,在二維直通道(x方向為周期邊界,周期為Lx,y方向為受限邊界且滿足溫差條件,寬度為Ly)中運動,如圖1(a).設(shè)置y0(低通道壁)處溫度為T0,yLy(高通道壁)處溫度為T0+δT.y方向的溫度梯度可由方程(1)描述:

圖1 (a)手征活性粒子驅(qū)動圓環(huán)運動的模型.手征活性粒子驅(qū)動包裹它們的圓環(huán)在二維周期通道中運動,通道x方向為周期邊界,y 方向為受限邊界且滿足溫差條件.設(shè)置y=0處溫度為T0,y=Ly 處溫度為T0+δT .y 方向的溫度梯度可由方程(1)描述.(b)逆時針旋轉(zhuǎn)粒子(counterclockwise,CCW)漂移方向.當(dāng)t1>t2 時,粒子往右邊運動;當(dāng)t1t2 and the left fort1

其中 δT和ΔT分別是上通道壁與下通道壁的絕對溫差和相對溫差.平動擴散系數(shù)和轉(zhuǎn)動擴散系數(shù)分別由方程(2)和方程(3)描述[46]:

其中kB是玻爾茲曼常數(shù).平動遷移率μ和轉(zhuǎn)動遷移率μr相互獨立.

其中v0表示自驅(qū)動速度的振幅.Ωi表示角速度,它的符號決定了活性粒子i的手征性.當(dāng)Ωi＜0時,粒子順時針旋轉(zhuǎn)(clockwise,CW);當(dāng)Ωi＞0時,粒子逆時針旋轉(zhuǎn)(counterclockwise,CCW).和為高斯白噪聲.

活性粒子i和活性粒子j的相互作用力Fij以及活性粒子i和圓環(huán)的相互作用力Gic用線性彈性力來表示.如果rij＜2r,則Fijk1(2r-rij)er(否則,Fij0),其中rij是活性粒子i和j的距離.如果ric＜R-r,則Gick2(R-r-ric)er(否則,Gic0),其中ric是活性粒子i和圓環(huán)中心的距離.用大的k1和k2值來模擬硬粒子,以確保粒子出現(xiàn)重疊后很快分開.

其中γ為摩擦系數(shù).r(xc,yc)是圓環(huán)的質(zhì)心.Gci是Gic的反作用力.

使用二階Runge-Kutta 算法對方程(9)—(11)積分,得到所有量的動力學(xué)行為.因為y方向為有界,粒子輸運只發(fā)生在x方向,所以為了量化棘齒效應(yīng),只計算x方向的平均速度.經(jīng)過長時間計算,得到圓環(huán)在x方向的平均速度為

3 結(jié)果和討論

在模擬中,整個積分時間為 107,積分步長為10-3.計算結(jié)果是100 次模擬的平均值.無特別說明,其他參數(shù)設(shè)置為Lx30.0,Ly15.0,γ1.0,r0.5,k1k21.0,kB1.0,μ1.0及μr1.0.這里重點研究手征活性粒子驅(qū)動圓環(huán)的運動.當(dāng)粒子加上橫向不對稱時,粒子旋轉(zhuǎn)運動被破壞.以逆時針旋轉(zhuǎn)粒子(CCW)為例,其漂移方向如圖1(b)所示.粒子沿上(下)軌跡從B(A)運動到A(B)所需時間為t1(t2).當(dāng)t1＞t2時,粒子往右邊運動,Vx＞0;當(dāng)t1＜t2時,粒子往左邊運動,Vx＜0.改變Ω,T0,ΔT,R,v0及n,計算得到了被手征活性粒子驅(qū)動的圓環(huán)的平均速度.

圖2 給出了分別包含CCW 粒子和CW 粒子的圓環(huán)的平均速度Vc隨角速度|Ω|的變化.結(jié)果顯示,包含CCW 粒子的圓環(huán)速度為正,包含非手征粒子的圓環(huán)速度為0,包含CW 粒子的圓環(huán)速度為負(fù)數(shù).圓環(huán)的運動方向完全取決于所包含的粒子手征性.當(dāng)|Ω|→0時,手征性消失,定向運動消失,因此Vc趨于零;當(dāng)|Ω|→∞時,自驅(qū)動角度變化太快,以至于粒子將會經(jīng)歷零平均力,因此,Vc趨于零.所以存在一個最優(yōu)值|Ω|,使得Vc達(dá)到最大值.當(dāng)給定|Ω|值時,包含CCW 粒子的圓環(huán)速度Vc等于包含CW 粒子的圓環(huán)速度-Vc,所以以下討論中只考慮CCW 粒子.可以解釋如下:在自由均勻空間中,手征活性粒子做圓周運動且運動軌跡的半徑為v0/|Ω|.當(dāng)空間中存在溫差時,圓周運動軌跡被破壞.由于高溫導(dǎo)致運動的隨機性,靠近下通道壁的軌跡比靠近上通道壁的軌跡更具彈道性.運動軌跡的上半部分更隨機且更長,而下半部分更具方向性且更短.沿上壁運動時間大于沿下壁運動時間,因此包含CCW 粒子的圓環(huán)向右運動(Vc＞0).同理,包含CW 粒子的圓環(huán)向左運動(Vc＜0).圖2(a)為R3.0時,在不同手征活性粒子數(shù)n下的圓環(huán)速度隨角速度|Ω|的變化.結(jié)果顯示,圓環(huán)平均速度Vc隨手征活性粒子數(shù)增多而微量減小.圖2(b)和圖2(c)分別給出了n1和n4時,不同圓環(huán)半徑R下圓環(huán)速度隨角速度|Ω|的變化.結(jié)果表明,當(dāng)n1時,Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而減小;而當(dāng)n4時,Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而增大.這是由于當(dāng)圓環(huán)只包含一個粒子時,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)定向運動起促進(jìn)作用,圓環(huán)半徑越大,圓環(huán)質(zhì)心移動速度受手征活性粒子驅(qū)動越小,因而圓環(huán)速度越小.當(dāng)圓環(huán)包含多個粒子時,粒子間的相互作用對圓環(huán)定向運動起抑制作用,圓環(huán)半徑越大,粒子間相互作用越弱,對圓環(huán)定向運動的抑制越小,因而圓環(huán)速度越大.本文研究的所有輸運行為將有類似的結(jié)果(如圖3—圖9).圖2(d)給出了在n4且R6.0時,不同溫度差 ΔT下包含CCW 粒子的圓環(huán)速度隨角速度|Ω|的變化.結(jié)果顯示,Vc的峰值對應(yīng)的特征頻率來源于噪聲振動與角頻率之間的競爭,溫度差越大,特征頻率越大.

圖2 平均速度Vc 隨角速度|Ω|的變化(a)在不同手征活性粒子數(shù)n下,R=3.0且ΔT=5.0 ;(b)在不同圓環(huán)半徑R 下,n=1且ΔT=5.0 ;(c)在不同圓環(huán)半徑R 下,n=4且ΔT=5.0 ;(d)在不同ΔT 下,n=4且R=6.0.其他參數(shù)為v0=2.0及T0=0.001 Fig.2.Average velocityVc as a function of the angular velocity|Ω|:(a)For different particle number of chiral active particlesn atR=3.0and ΔT=5.0 ;(b)for different values of the ring radiusR atn=1and ΔT=5.0 ;(c)for different values of the ring radiusR atn=4and ΔT=5.0 ;(d)for different values of temperature difference ΔT atn=4andR=6.0 .The other parameters arev0=2.0andT0=0.001 .

圖3 所示為在不同手征活性粒子數(shù)n及不同圓環(huán)半徑R下,圓環(huán)速度Vc隨下通道壁溫度T0的變化.由圖可知,Vc是下壁溫度T0的峰值函數(shù).當(dāng)T0→0時,平動擴散系數(shù)DT、轉(zhuǎn)動擴散系數(shù)Dθ及平均溫度T0(1+ΔT/2)趨于零,手征活性粒子定向輸運消失,因此圓環(huán)速度Vc→0.當(dāng)T0→∞時,平均溫度T0(1+ΔT/2)非常高,粒子運動軌跡變得隨機,由于DT和Dθ分別遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于v0和Ω,粒子自驅(qū)動速度可以忽略,Vc趨于零.因此存在最優(yōu)值T0使得圓環(huán)速度Vc達(dá)到最大值.

圖3 平均速度Vc 隨下通道壁溫度T0 的變化(a)在不同手征活性粒子數(shù)n下,R=3.0;(b)在不同圓環(huán)半徑R下,n=1 ;(c)在不同圓環(huán)半徑R 下,n=4 .其他參數(shù)為v0=2.0,ΔT=10.0及Ω=0.01Fig.3.Average velocityVc vs.the temperatureT0 of the lower wall:(a)For different particle number of chiral active particlesnatR=3.0 ;(b)for different values of the ring radiusR atn=1 ;(c)for different values of the ring radiusR atn=4.The other parameters arev0=2.0,ΔT=10.0andΩ=0.01 .

圖4 給出了在不同手征活性粒子數(shù)n及不同圓環(huán)半徑R下,圓環(huán)速度Vc隨溫度差 ΔT的變化.結(jié)果表明,Vc是溫度差 ΔT的峰值函數(shù)(圖中未顯示 ΔT很大時的圖像).當(dāng) ΔT →0時,通道空間均勻,不具有不對稱性,因此手征活性粒子定向輸運消失,圓環(huán)速度Vc趨于零.當(dāng) ΔT →∞時,平均溫度T0(1+ΔT/2)非常高,自驅(qū)動速度和粒子手征性可以忽略(DT(y)?v0及Dθ(y)?Ω),隨機運動占主導(dǎo)地位,因此Vc趨于零.所以存在最優(yōu)值ΔT使得圓環(huán)速度達(dá)到最大值.

圖4 平均速度Vc 隨溫度差 ΔT 的變化(a)在不同手征活性粒子數(shù)n下,R=3.0;(b)在不同圓環(huán)半徑R 下,n=1 ;(c)在不同圓環(huán)半徑R 下,n=4.其他參數(shù)為v0=2.0,T0=0.001及Ω=0.01Fig.4.Average velocityVc vs.temperature difference ΔT :(a)For different values of chiral active particle numbern atR=3.0;(b)for different values of the ring radiusR atn=1 ;(c)for different values of the ring radiusR atn=4 .The other parameters arev0=2.0,T0=0.001 andΩ=0.01 .

圖5 是在不同角速度Ω下,平均速度Vc隨圓環(huán)半徑R的變化.可以看出,Ω1.0時,粒子自驅(qū)動角度變化太快,圓環(huán)速度Vc趨于零.這與圖2 結(jié)果一致.當(dāng)圓環(huán)包含一個粒子即n1(圖5(a)),且Ω0.01時,粒子做圓周運動的軌跡半徑v0/Ω較大,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)定向運動起促進(jìn)作用,圓環(huán)半徑R越大,粒子對圓環(huán)的驅(qū)動力越弱,因而Vc越小;而當(dāng)Ω0.1時,粒子做圓周運動的軌跡半徑v0/Ω較小,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)定向運動起抑制作用,圓環(huán)定向運動主要來自于Ω導(dǎo)致的上下部分軌跡的差異強度,圓環(huán)半徑R越大,圓環(huán)對粒子抑制作用越弱,所以Vc越大.當(dāng)圓環(huán)包含多個粒子,即n4時(圖5(b)),粒子間的相互作用變得重要,抑制了粒子的定向運動,從而抑制圓環(huán)的定向運動,隨圓環(huán)半徑增大,粒子間相互作用減弱,因而Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而增大.

圖5 在不同角速度Ω 下,平均速度Vc 隨圓環(huán)半徑R 的變化(a)n=1 ;(b)n=4.其他參數(shù)為v0=2.0,T0=0.001 及ΔT=20.0Fig.5.Average velocityVc vs.the ring radiusR for different angular velocityΩ :(a)n=1 ;(b)n=4 .The other parameters arev0=2.0,T0=0.001and ΔT=20.0 .

圖6 顯示了在不同下通道壁溫度T0下,平均速度Vc隨圓環(huán)半徑R的變化.結(jié)果顯示,當(dāng)圓環(huán)包含一個粒子,即n1時,Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而減小;當(dāng)圓環(huán)包含多個粒子,即n4時,Vc是圓環(huán)半徑R的峰值函數(shù),且峰值位置隨T0增大而往R減小方向移動.可以解釋如下:當(dāng)n1時,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)運動起促進(jìn)作用,圓環(huán)半徑越大,粒子在圓環(huán)內(nèi)運動的軌跡越長,粒子對圓環(huán)的驅(qū)動力越弱,因而Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而減小.當(dāng)n4時,圓環(huán)的運動由粒子的擴散和粒子間的相互作用共同決定,當(dāng)R較小時,粒子的相互作用起主導(dǎo)作用,抑制了圓環(huán)運動,所以隨圓環(huán)半徑R的增大,抑制作用減弱,Vc增大;而當(dāng)R較大時,粒子間相互作用逐漸減弱,粒子擴散作用增強,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)運動起促進(jìn)作用,因此Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而減小.值得注意的是,圓環(huán)速度是下壁溫度T0的峰值函數(shù),這與圖3 的結(jié)果一致.

圖6 在不同下通道壁溫度T0 下,平均速度Vc 隨圓環(huán)半徑R 的變化(a)n=1 ;(b)n=4.其他參數(shù)為v0=2.0,Ω=0.01及 ΔT=20.0Fig.6.Average velocityVc vs.the ring radiusR for different temperatureT0of the lower wall:(a)n=1 ;(b)n=4 .The other parameters arev0=2.0,Ω=0.01and ΔT=20.0 .

圖7 顯示了在不同溫度差 ΔT下,平均速度Vc隨圓環(huán)半徑R的變化.當(dāng)n1時,Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而減小;當(dāng)n4時,Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而增大.這是因為當(dāng)n1時,粒子與圓環(huán)的相互作用占主導(dǎo)地位,對圓環(huán)運動起促進(jìn)作用,因而Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而減小.當(dāng)n4時,手征活性粒子間的相互作用抑制了粒子的定向運動,從而抑制圓環(huán)的定向運動,圓環(huán)半徑越大,Vc越大.溫度差 ΔT越大,通道空間的不對稱性越強,圓環(huán)速度越大.這一結(jié)果與圖4 一致.

圖7 在不同溫度差ΔT 下,平均速度Vc 隨圓環(huán)半徑R 的變化(a)n=1 ;(b)n=4.其他參數(shù)為v0=2.0,T0=0.001及Ω=0.011Fig.7.Average velocityVc vs.the ring radiusR for different temperature difference ΔT :(a)n=1 ;(b)n=4 .The other parameters arev0=2.0,T0=0.001andΩ=0.01 .

圖8 描繪了在不同自驅(qū)動速度v0下,平均速度Vc隨圓環(huán)半徑R的變化.可以看出,當(dāng)n1且v0較小時,Vc是圓環(huán)半徑R的峰值函數(shù),峰值的位置隨v0增大而往R減小方向移動,這是因為v0較小時,粒子運動軌跡半徑v0/Ω較小,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)定向運動起抑制作用,隨著R的增大,圓環(huán)對粒子抑制作用變?nèi)?所以圓環(huán)速度增大;當(dāng)R繼續(xù)增大,粒子在圓環(huán)內(nèi)運動的軌跡增長,粒子與圓環(huán)的相互作用減弱,對粒子沿上半部分和下半部分的軌跡差異性影響越來越小,因而隨R增大圓環(huán)速度減小;由于v0的增加致使粒子運動軌跡半徑增大,粒子沿上半部分和下半部分的軌跡差異性增大,從而促進(jìn)圓環(huán)運動,所以峰值位置隨v0增大而往R減小方向移動.當(dāng)n1且v0較大時,Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而減小,這是由于v0較大,粒子運動軌跡半徑v0/Ω較大,圓環(huán)半徑R越大,粒子對圓環(huán)的驅(qū)動力越弱,因而Vc越小.當(dāng)n4時,粒子間相互作用抑制圓環(huán)速度,隨圓環(huán)半徑R增大抑制作用減弱,因而Vc增大.

圖8 在不同自驅(qū)動速度v0下,平均速度Vc 隨圓環(huán)半徑R 的變化(a)n=1 ;(b)n=4.其他參數(shù)為T0=0.001,Ω=0.01 及ΔT=20.0Fig.8.Average velocityVc vs.the ring radiusR for different self-propelled velocityv0:(a)n=1 ;(b)n=4 .The other parameters areT0=0.001,Ω=0.01and ΔT=20.0 .

圖9 給出了在不同手征活性粒子數(shù)n下,平均速度Vc隨圓環(huán)半徑R的變化.結(jié)果表明,當(dāng)圓環(huán)包含1 個粒子時,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)速度起促進(jìn)作用,且隨圓環(huán)半徑的增大而減小,因而Vc減小.而當(dāng)圓環(huán)包含多個粒子時,粒子間的相互作用起主導(dǎo)作用,對圓環(huán)速度起抑制作用,圓環(huán)半徑增大,抑制作用減弱,圓環(huán)速度增大.特別地,當(dāng)R ＜5.3時,圓環(huán)的限制作用較強,粒子數(shù)越多,圓環(huán)速度越小;而當(dāng)R＞5.3時,圓環(huán)的限制作用減弱,粒子數(shù)越多,粒子間相互作用促進(jìn)粒子的自驅(qū)動力,從而增大圓環(huán)速度,因而Vc越大.

圖9 在不同手征活性粒子數(shù)n 下,平均速度Vc 隨圓環(huán)半徑R 的變化.其他參數(shù)為T0=0.001,Ω=0.01及ΔT=20.0Fig.9.AveragevelocityVc vs.the ring radiusR for different particle number of chiral active particlesn .The other parameters areT0=0.001,Ω=0.01and ΔT=20.0 .

圖10 描繪了平均速度Vc隨自驅(qū)動速度v0的變化.v0的增加導(dǎo)致兩個結(jié)果:1)加速粒子運動,從而促進(jìn)圓環(huán)定向運動;2)增大粒子圓周運動的軌跡半徑(v0/Ω),使得粒子沿上通道和下通道的軌跡差異性增大,促進(jìn)圓環(huán)定向運動.因此,v0總是促進(jìn)圓環(huán)速度的增大.

圖10 平均速度Vc 隨自驅(qū)動速度v0 的變化(a)在不同手征活性粒子數(shù)n下,R=3.0;(b)在不同圓環(huán)半徑R下,n=1;(c)在不同圓環(huán)半徑R下,n=4.其他參數(shù)為ΔT=10.0,T0=0.001及Ω=0.01Fig.10.The average velocityVc as a function of the selfpropelled velocityv0 :(a)For different particle number of chiral active particlesnatR=3.0 ;(b)for different values of the ring radiusR atn=1 ;(c)for different values of the ring radiusR atn=4 .The other parameters are ΔT=10.0,T0=0.001andΩ=0.01 .

圖11給出了在不同圓環(huán)半徑R下,平均速度Vc隨手征活性粒子數(shù)n的變化.當(dāng)圓環(huán)半徑較小(R3.0)時,Vc隨粒子數(shù)的增多而減小.此時,圓環(huán)與粒子間的相互作用,即圓環(huán)的限制作用起主導(dǎo)地位,當(dāng)粒子數(shù)增多時,粒子間相互作用增強,圓環(huán)的限制作用增強,即粒子與圓環(huán)的碰撞次數(shù)增多,方向隨機,從而平均了圓環(huán)的定向運動,抑制圓環(huán)的運動速度,因此Vc隨粒子數(shù)的增多而減小.當(dāng)圓環(huán)半徑較大(R5.3及 7.0)時,Vc為粒子個數(shù)的峰值函數(shù).Vc先隨n的增大而增大,繼而達(dá)到最大值,再隨n的增大而減小.可以解釋如下:當(dāng)粒子數(shù)較少時,粒子間的相互作用促進(jìn)了圓環(huán)的運動,所以當(dāng)粒子個數(shù)增多時,圓環(huán)的速度增大;當(dāng)粒子數(shù)較多時,粒子間相互作用增強,圓環(huán)的限制作用增強,從而減弱了圓環(huán)速度.當(dāng)粒子個數(shù)充滿整個圓環(huán)時,粒子很擠導(dǎo)致無法運動,因而圓環(huán)速度Vc→0.特別地,當(dāng)圓環(huán)半徑很大(R7.0)時,粒子間相互作用相比圓環(huán)半徑較小時更弱,所以圓環(huán)速度隨粒子個數(shù)緩慢降低.此外,我們注意到,n1時,圓環(huán)半徑越大,Vc越小;而n＞1時,圓環(huán)半徑越大,Vc越大.這一結(jié)果與前面結(jié)果保持一致.

圖11 在不同圓環(huán)半徑R 下,平均速度Vc 隨手征活性粒子數(shù)n 的變化.其他參數(shù)取值為T0=0.001,Ω=0.01 及ΔT=10.0Fig.11.Average velocityVc vs.particle number of chiral active particlesn for different ring radiusR .The other parameters areT0=0.001,Ω=0.01and ΔT=10.0 .

最后來討論實現(xiàn)該模型可能的實驗裝置.在溫差條件下考慮枯草芽孢桿菌(直徑為1 μm)限制在一個由細(xì)菌邊界層構(gòu)成的封閉圓環(huán)中,該圓環(huán)被枯草芽孢桿菌驅(qū)動在周期性的二維通道中運動.通道周期Lx30.0 μm,通道寬度Ly15.0 μm.因為通道空間存在溫度差,手征活性粒子可以驅(qū)動圓環(huán)在縱向上定向運動.圓環(huán)的運動狀態(tài)可以由數(shù)字高分辨率顯微攝像機捕獲,并由此計算平均速度.

4 結(jié)論

本文數(shù)值計算了在溫差條件下,包含手征活性粒子的封閉圓環(huán)的輸運.由于周期通道的橫向溫度差引發(fā)的上下不對稱和手征活性粒子內(nèi)部可以打破熱平衡的手征性質(zhì)導(dǎo)致活性粒子在縱向發(fā)生定向運動,繼而驅(qū)動包裹粒子的封閉圓環(huán)定向輸運.圓環(huán)的運動方向由粒子的手征性決定.研究表明,圓環(huán)的運動速度Vc是活性粒子的角速度Ω、下壁溫度T0及溫度差 ΔT的峰值函數(shù).圓環(huán)包含一個手征活性粒子與包含多個手征活性粒子的定向運動行為具有較大差異.特別是,圓環(huán)半徑R對兩種情況下圓環(huán)的運動行為差異影響較大.當(dāng)封閉圓環(huán)只包含一個粒子且粒子做圓周運動的軌跡半徑v0/Ω較大時,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)定向運動起促進(jìn)作用,圓環(huán)半徑R越大,粒子對圓環(huán)的驅(qū)動力越弱,因而圓環(huán)速度Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而減小;當(dāng)粒子做圓周運動的軌跡半徑v0/Ω較小時,粒子與圓環(huán)的相互作用對圓環(huán)定向運動起抑制作用,圓環(huán)定向運動主要來自于Ω導(dǎo)致的上下部分軌跡的差異強度,圓環(huán)半徑R越大,圓環(huán)對粒子抑制作用越弱,所以Vc越大.當(dāng)封閉圓環(huán)包含多個粒子時,粒子間的相互作用變得重要,抑制了粒子的定向運動,從而抑制圓環(huán)的定向運動,隨著圓環(huán)半徑R的增大,粒子間相互作用減弱,因而Vc隨圓環(huán)半徑R的增大而增大.值得注意的是,當(dāng)圓環(huán)半徑較小(R3.0)時,Vc隨粒子數(shù)n的增多而減小;當(dāng)圓環(huán)半徑較大(R5.3,7.0)時,Vc為粒子個數(shù)n的峰值函數(shù).本文的結(jié)果可以應(yīng)用于通過細(xì)菌或人工微米粒子來驅(qū)動封閉障礙物或馬達(dá)運動,如混合微設(shè)備工程、藥物輸運、微流體及芯片技術(shù).