一道兩線段長(zhǎng)乘積為定值月考題的背景與性質(zhì)應(yīng)用

北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 劉剛

1.試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程及A點(diǎn)坐標(biāo);

(2) 設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)B,過點(diǎn)B的直線與橢圓C交于E,F兩點(diǎn),記A在x軸上的投影為G,T為BG的中點(diǎn),直線AE,AF與x軸分別交于M,N兩點(diǎn),試探究|TM|·|TN|是否為定值,若為定值,求出此定值;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定值問題,考查了方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想以及坐標(biāo)法的應(yīng)用,檢驗(yàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題平中見奇,內(nèi)涵豐富,符合新課標(biāo)理念.

2.試題解答

3.試題背景

為了揭示題1 的背景,下面先給出高等幾何中的幾個(gè)定義和性質(zhì).

(1)調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束

定義1一條直線上的四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D如果滿足,那么稱A,B,C,D為調(diào)和點(diǎn)列,亦稱B,D調(diào)和分割線段AC.過調(diào)和點(diǎn)列A,B,C,D所在直線外一點(diǎn)P,向A,B,C,D引四條線束,稱這四條線束PA,PB,PC,PD為調(diào)和線束.

性質(zhì)1如圖1,設(shè)直線l與調(diào)和線束PA,PB,PC,PD分別交于點(diǎn)A′,B′,C′,D′,則A′,B′,C′,D′為調(diào)和點(diǎn)列.

圖1

性質(zhì)2如圖2,如果PA,PB,PC,PD為調(diào)和線束,且PD//AC,則PB平分線段AC.

圖2

(2)極點(diǎn)與極線

定義2如圖3,若點(diǎn)P不在圓錐曲線Γ 上,過點(diǎn)P引兩條割線與Γ 依次交于E,F,G,H四點(diǎn),直線EH與FG交于點(diǎn)M,直線EG與FH交于點(diǎn)N,則直線MN為點(diǎn)P關(guān)于Γ 的極線,直線PM為點(diǎn)N關(guān)于Γ 的極線,直線PN為點(diǎn)M關(guān)于Γ 的極線.若點(diǎn)P在圓錐曲線Γ 上,則過點(diǎn)P的切線即為極線.

圖3

定義3已知有心圓錐曲線Γ:ax2+by2=1 (ab/=0),極點(diǎn)P(x0,y0),則點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ 的極線方程為ax0x+by0y=1,當(dāng)y0=0 時(shí),極線方程為ax0x=1.

若圓錐曲線Γ 是拋物線y2=2px(p ＞0),極點(diǎn)P(x0,y0),則點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ 的極線方程為y0y=p(x+x0),當(dāng)y0=0 時(shí),極線方程為x0+x=0.

性質(zhì)3如圖4,已知點(diǎn)P是圓錐曲線Γ 外一點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于Γ 的極線AB與Γ 相交于A,B兩點(diǎn),則PA、PB是Γ 的兩條切線;過點(diǎn)P的一條割線交Γ 及極線AB于點(diǎn)M,N,Q,則P,M,Q,N為調(diào)和點(diǎn)列.

圖4

圖5

本題經(jīng)過推廣,還可以得到更一般的結(jié)論.

定理如圖6,已知橢圓C:=1 (a ＞b ＞0),點(diǎn)B是橢圓C外一點(diǎn),過點(diǎn)B作橢圓C的兩條切線PA、PD,其中A、D是切點(diǎn),直線OB與直線AD交于點(diǎn)G,T為BG的中點(diǎn),過點(diǎn)B的直線與橢圓C交于E,F兩點(diǎn),直線AE,AF與直線OB分別交于M,N兩點(diǎn),則|TM|·|TN|為定值|TG|2.

圖6

圖7

4.性質(zhì)應(yīng)用

簡(jiǎn)解(1)橢圓C的方程為=1.

(2)如圖8,連接AB,設(shè)l與直線x=-2 交于點(diǎn)D,因?yàn)锽(-4,0),所以點(diǎn)B關(guān)于橢圓C的極線方程是x=-2,于是點(diǎn)B,M,D,N是調(diào)和點(diǎn)列,即AB,AM,AD,AN是調(diào)和線束.因?yàn)镻Q//AD,所以AB平分線段PQ,故

圖8

題目4(2018 年高考北京卷理科第19 題)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.

(1) 求直線l的斜率的取值范圍;(2) 設(shè)O為原點(diǎn),為定值.

簡(jiǎn)解(1) 略,直線l的斜率的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).

(2) 如圖9,連接PQ,OP,設(shè)l與OP交于點(diǎn)D,不妨設(shè)M在線段OQ上,N在線段OQ的延長(zhǎng)線上,即λ ＞0,μ ＜0.由已知可得直線PQ的方程為y=x+1,與拋物線C的方程y2=4x聯(lián)立,得x2-2x+1=0,此時(shí)Δ=0,所以直線PQ是拋物線C的切線,P是切點(diǎn).又y軸也是拋物線C的切線,O是切點(diǎn),所以點(diǎn)Q關(guān)于拋物線C的極線是OP,所以Q,A,D,B是調(diào)和點(diǎn)列,于是PQ,PA,PD,PB是調(diào)和線束,由此得Q,M,O,N是調(diào)和點(diǎn)列,所以,即,整理得=2,即為定值.

圖9