活用變式理論 強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想*
——關(guān)于一類圓錐曲線中心弦與準(zhǔn)線問題的探討

惠州市惠陽中山中學(xué)(516211) 朱天輝

惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(516007) 王海青

1 基于變式理論的習(xí)題課教學(xué)結(jié)構(gòu)

變式教學(xué)理論是中國數(shù)學(xué)教育的特色與智慧結(jié)晶,最早由顧泠沅教授帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)基于“青浦實(shí)驗(yàn)”數(shù)學(xué)教學(xué)改革成果的凝練[1-6].變式是指教師在教學(xué)中有目的有計(jì)劃地變換材料的形式,對(duì)命題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臈l件或結(jié)論轉(zhuǎn)化,在變換過程中探究不變的規(guī)律和性質(zhì),從而掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.變式教學(xué)分為概念性變式和過程性變式兩類,其中過程性變式主要聚焦于問題解決,有層次地推進(jìn)問題解決的過程中構(gòu)建聯(lián)系緊密富有邏輯的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

習(xí)題課的有效開展有助于促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí),它是對(duì)概念和原理的進(jìn)一步鞏固和深化,是在問題解決的過程中引導(dǎo)學(xué)生探究,使之掌握相應(yīng)的知識(shí)與思想方法并學(xué)會(huì)思考.基于已有的變式教學(xué)理論,研究對(duì)過程性變式的結(jié)構(gòu)和策略進(jìn)一步細(xì)化,構(gòu)建形成數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的基本結(jié)構(gòu),如圖1.該結(jié)構(gòu)表明,習(xí)題課的教學(xué)過程可以大致分為兩部分.首先是提出一個(gè)有代表性或典型性的問題,為了解決這個(gè)問題可能需要通過類比與特殊化的思想將問題變得更為簡單和容易求解,在解決特殊問題的過程中獲得一些特殊的結(jié)論與方法,從而為解決原問題找到方向或思路.原問題得到全面解決后,再運(yùn)用類比和一般化的思想將之進(jìn)行拓展推廣,得到變式1、變式2 等問題,為了解決這些新的問題通常又需要經(jīng)過一般到特殊、化未知為已知、化繁為簡的化歸變式不斷向已知的、熟悉的問題靠攏,最后得到一般性的結(jié)論與方法.

圖1

2 對(duì)一類圓錐曲線中心弦與準(zhǔn)線問題的探討

下面結(jié)合數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的基本結(jié)構(gòu),以一道關(guān)于橢圓中心弦與準(zhǔn)線的最值問題為例展開習(xí)題課的探究教學(xué),最后得到一類圓錐曲線中心弦與準(zhǔn)線問題的解決方法以及一般性結(jié)論,在整個(gè)教學(xué)探究過程中一直注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透與強(qiáng)化.

問題1如圖2,橢圓=1 中,A,B分別橢圓的左右頂點(diǎn),l是橢圓的右準(zhǔn)線,點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),直線AP、BP分別交l于M,N兩點(diǎn),求線段MN的最小值.

圖2

(1)常規(guī)思路,順勢求解

分析本題考查圓錐曲線的動(dòng)點(diǎn)與最值問題,根據(jù)題目的條件學(xué)生常會(huì)想到以下兩個(gè)思路.思路1:直接設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo),再利用直線AP、BP的方程與直線l相交求出M,N兩點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式及年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克試題,文獻(xiàn)基本不等式求出線段MN的最小值;思路2:設(shè)M,N兩點(diǎn)坐標(biāo),利用直線MA、NB的交點(diǎn)為P且P在橢圓上的條件進(jìn)行求解.這兩個(gè)思路比較簡單直接但計(jì)算較為繁瑣,具體解答如下.

(2)反思過程,優(yōu)化解法

直接從題目的條件看,似乎沒有什么特別隱含的信息.如果將問題條件特殊化,把“橢圓”變?yōu)椤皥A”,其它條件不變,此時(shí)AB則變?yōu)閳A的直徑,點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn).

顯然,由直徑所對(duì)的圓周角是直角這一結(jié)論容易得到,直線AP,BP的斜率之積為一定值-1.于是猜想:如果是橢圓,直線AP,BP的斜率之積也為某一定值.不難證明這個(gè)結(jié)論,具體過程如下.

運(yùn)用這個(gè)結(jié)論,上述兩個(gè)解法將大大簡化解答過程和減少運(yùn)算量.

優(yōu)化解法1解題思路與解答過程如下,

優(yōu)化解法2解題思路與解答過程如下,

(3)歸納升華,提煉性質(zhì)

如圖2,點(diǎn)P為橢圓上異于長軸兩端點(diǎn)A,B的動(dòng)點(diǎn),則直線AP,BP的斜率之積為一定值.如果線段AB為過橢圓中心的任一條弦,稱之為橢圓的中心弦,如圖3.此時(shí),直線AP,BP的斜率之積是否為一定值? 不難證明,其斜率之積仍為定值.

圖3

性質(zhì)1橢圓=1 中,過橢圓中心的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),P為橢圓上異于A,B的一動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)直線AP,BP斜率存在時(shí),斜率之積為-1+e2.

在歷年的高考數(shù)學(xué)中,也有不少考題將橢圓的中心弦融入其中,比如下面這道題.

高考鏈接(2011 年高考江蘇卷第18 題)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M,N分別是橢圓=1 的頂點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn),其中P在第一象限.過P作x軸的垂線,垂足為C.連接AC,并延長交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線PA的斜率為k.對(duì)任意k ＞0,求證:PA⊥PB.

圖4

根據(jù)前面的探究和性質(zhì)1,可以對(duì)問題1 的條件進(jìn)行弱化,得到如下更一般的問題2.

問題2如圖5,橢圓=1 中,過橢圓中心的直線l1交橢圓于A,B兩點(diǎn),l是橢圓的右準(zhǔn)線,點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),直線AP、BP分別交l于M,N兩點(diǎn),求線段MN的最小值.

圖5

(4)拓展延伸,變式提升

自然地會(huì)提出這樣一個(gè)問題,關(guān)于橢圓中心弦的性質(zhì)及其與準(zhǔn)線相關(guān)的最值問題,是否也可以類比到雙曲線上? 通過類似的方法探究,同樣可以得到類似的結(jié)論和問題.

性質(zhì)3雙曲線=1 中,過雙曲線中心的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),P為雙曲線上異于A,B的一動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)直線AP,BP斜率存在時(shí),斜率之積為-1+e2.

3 小結(jié)

習(xí)題課的教學(xué)應(yīng)重視圍繞一個(gè)問題展開多角度多層次的探討,在一題多解中深入理解問題的本質(zhì).進(jìn)而通過變式拓展將問題一般化,在這個(gè)過程中突出通性通法的講解,得出一般性的方法與結(jié)論,最終引領(lǐng)學(xué)生形成整體的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.特別地,習(xí)題課的教學(xué)應(yīng)重視解題思路的剖析,將數(shù)學(xué)思想方法貫穿始終,關(guān)注數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),通過教學(xué)教會(huì)學(xué)生思考發(fā)展核心素養(yǎng).當(dāng)然,在拓展延伸的過程中應(yīng)注意結(jié)合學(xué)生的實(shí)際把握適當(dāng)?shù)膹V度、深度和難度,比如前面的問題2,一般性的問題對(duì)于大部分學(xué)生還是有一定困難.但教師應(yīng)該能站在更高的角度看待這類問題,具備更完善豐富的知識(shí),以便能根據(jù)學(xué)生情況高屋建瓴地對(duì)問題的條件和結(jié)論進(jìn)行靈活處理.