注重關(guān)聯(lián)和比較

賀艷

摘? 要：

教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊《認(rèn)識面積》一課，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)并比較周長和面積，從而對面積建立正確的“第一印象”。具體包括：基于描述性定義、基于度量本質(zhì)以及在數(shù)量關(guān)系視角下，比較周長和面積。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；面積；周長；比較

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“小學(xué)數(shù)學(xué)教師單元整體教學(xué)能力提升的實踐研究”（編號：JC/2021/16）、江蘇省南京市中小學(xué)教學(xué)研究第十四期重點(diǎn)課題“指向深度理解的小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)研究”（編號：2021NJJK14Z32）的階段性研究成果。

一、教前思考

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊第六單元《長方形和正方形的面積》，安排了兩部分內(nèi)容：一部分是“面積的概念、面積的比較和測量以及面積單位”，即例1—例3；另一部分是“長方形和正方形的面積計算以及面積單位之間的進(jìn)率”，即例4—例7。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗，如果按照教材編寫的內(nèi)容和順序組織教學(xué)，學(xué)生學(xué)完新課后，遇到面積、周長的綜合題（如第二部分后的練習(xí)九和整個單元后的復(fù)習(xí)題中的一些習(xí)題）時，常常會將面積和周長混淆，具體表現(xiàn)在面積和周長的判斷、面積單位和長度單位的使用、面積計算方法和周長計算方法的使用等方面，典型錯誤如圖1所示。

究其原因，從內(nèi)容的角度看，周長和面積都是平面圖形的屬性，前者是封閉圖形周圍邊線的長度，后者是封閉圖形內(nèi)部區(qū)域的大??；對于同一個平面圖形而言，常常是“周內(nèi)有面，面外有周”。因此，周長和面積是緊密聯(lián)系的兩個概念，學(xué)習(xí)時自然容易混淆。從教學(xué)的角度看，根據(jù)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的安排，學(xué)生在三年級上冊（第三單元《長方形和正方形》）學(xué)習(xí)周長的內(nèi)容，在三年級下冊學(xué)習(xí)面積的內(nèi)容；而學(xué)習(xí)面積內(nèi)容時，在新授課中基本不涉及周長內(nèi)容（只在例3中類比長度單位引入面積單位，以及在例3后的“想想做做”第2題中要求比較1厘米和1平方厘米）。因此，周長和面積獨(dú)立教學(xué)，缺少關(guān)聯(lián)和比較，學(xué)生自然容易混淆。于是，我嘗試在《認(rèn)識面積》

一課（三年級下冊第六單元第一課，新授課），調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)并比較周長和面積，從而對面積建立正確的“第一印象”，避免從一維的周長到二維的面積的負(fù)遷移。

二、教學(xué)過程

（一）基于描述性定義，比較周長和面積

根據(jù)教材例1，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、觸摸黑板面、數(shù)學(xué)書的封面、課桌面、數(shù)學(xué)本的封面、文具盒面、直尺面等，感受、比較它們的大小，從而基于感性認(rèn)識——面有大小，得出面積的描述性定義：面的大小。

然后，教師播放兩個視頻——一個是用手摸凳子的一周，一個是用手摸凳子的表面（分別如圖2、圖3所示），引導(dǎo)學(xué)生比較：都是在用手摸凳子，有什么不同？學(xué)生回答：一個摸的是凳子一周的長度，是凳子的周長；一個摸的是凳子表面的大小，是凳子的面積。教師讓學(xué)生再找一些物體，摸它的一周和表面，并說一說它的周長和面積分別在哪里。由此，讓學(xué)生基于描述性定義，明確周長和面積的聯(lián)系和區(qū)別：都是封閉圖形的屬性，一個表示周圍邊線的長度，另一個表示內(nèi)部區(qū)域的大小。

（二）基于度量本質(zhì)，比較周長和面積

根據(jù)教材例2，教師引導(dǎo)學(xué)生思考比較無法通過觀察、觸摸以及重疊比較大小的兩個面大小的方法，從而引出數(shù)方格這一先度量（對統(tǒng)一的“面積單位”進(jìn)行計數(shù)）后比較的方法，讓學(xué)生認(rèn)識到：作為面的固有屬性，面積是（更小的、基本的）面的積累，不比較大小時，也是可以度量多少的。

然后，教師出示圖4，讓學(xué)生說出其中圖形的周長和面積。學(xué)生通過數(shù)線段和數(shù)方格的方法得到：周長為16，面積為12。教師追問：16個什么？12個什么？也就是說，它們的單位分別是什么？學(xué)生交流得到：16個小方格邊長，12個小方格面積。由此，引導(dǎo)學(xué)生基于度量本質(zhì)，感悟周長和面積的聯(lián)系和區(qū)別：周長和面積都可以通過度量得到，都表示度量單位的累加；周長是長度單位的累加，面積是面積單位的累加。

（三）在數(shù)量關(guān)系視角下，比較周長和面積

師? 既然周長和面積緊密聯(lián)系——對于同一個平面圖形

來說，“周內(nèi)有面，面外有周”，那么，它們之間會有怎樣的數(shù)量關(guān)系？猜一猜：對于同一個平面圖形來說，周長越大，面積越怎么樣？面積越大，周長越怎么樣？

生? 我覺得，周長越大，面積越大；面積越大，周長也越大。

師? 是這樣嗎？我們來驗證一下。根據(jù)這個猜想，如果面積不變，那么，周長也應(yīng)該不變。請同學(xué)們拿出方格紙，畫出一個面積是12個小方格大小的圖形，并求出它的周長。

（學(xué)生畫圖。）

師? （展示學(xué)生作品，如圖5所示）這三個圖形的面積都是12個小方格大小嗎？它們的周長相等嗎？

生? 三個圖形的面積都是12個小方格大小，但是，它們的周長不相等，分別是16個小方格邊長，14個小方格邊長，18個小方格邊長。

師? 你有什么發(fā)現(xiàn)？

生? 我發(fā)現(xiàn)，面積相等的圖形，周長不一定相等。

師? 換句話說，“周長越大，面積越大”并不成立。再來看周長不變時面積變不變。請同學(xué)們畫出一個周長是20個小方格邊長的圖形，并求出它的面積。

（學(xué)生畫圖。）

師? （展示學(xué)生作品，如圖6所示）這四個圖形的周長都是20個小方格邊長嗎？它們的面積相等嗎？

生? 四個圖形的周長都是20個小方格邊長，但是，它們的面積不相等，分別是16個小方格大小，24個小方格大小，25個小方格大小，21個小方格大小。

師? 你有什么發(fā)現(xiàn)？

生? 我發(fā)現(xiàn)，“面積越大，周長越大”也不成立。

師? 由此看來，周長和面積之間沒有明確的數(shù)量關(guān)系。是不是與我們猜想的不一樣？

生? 我還發(fā)現(xiàn)，圍成正方形的面積最大。

師? 很有價值的發(fā)現(xiàn)！實際上，面積一定時，周長有最小的情況，沒有最大的情況；周長一定時，面積有最大的情況，沒有

最小的情況。這是數(shù)學(xué)中很重要的結(jié)論。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，同學(xué)們會逐漸深刻地認(rèn)識這個結(jié)論。

在前兩個角度的比較下，學(xué)生能認(rèn)識到周長和面積是緊密聯(lián)系的兩個概念。本環(huán)節(jié)考察周長和面積的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：面積不變時周長可變，周長不變時面積也可變。從而在進(jìn)一步的比較中，對周長和面積的概念有了深刻理解，同時體會到“變與不變”（控制變量）的數(shù)學(xué)思想（科學(xué)方法）。