帶線性記憶的Berger方程時(shí)間依賴全局吸引子的存在性

劉生清，姜金平，任麗宇，魏 佳

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

本文考慮具有線性記憶的非線性Berger方程：

其中，Ω是RN(N≥3)中具有光滑邊界?Ω的有界開區(qū)域，ε(t)是關(guān)于t的函數(shù)，α＞0是黏性阻尼系數(shù)，f(u)為非線性項(xiàng)。

本文引入下面變量：

對應(yīng)邊界條件為

u=Δu=0；ηt=Δηt=0；x∈?Ω。

初值條件為

假設(shè)非線性函數(shù)f(x)、ε(t)和函數(shù)M(·)滿足以下假設(shè)：

1）ε(t)∈C1(R)是單調(diào)遞減的正函數(shù)，并且滿足

特別地，存在L＞0，使得

2）設(shè)M：R+→R+是C1(R)上的增函數(shù)，且

3）設(shè)非線性項(xiàng)f∈C1(R)滿足增長性條件

滿足耗散性條件

當(dāng)N≥3 時(shí)其中λ1是Δ2在D(A)中的第一特征值。

4）在該方程中記憶項(xiàng)的作用通過函數(shù)Δ2u(·)和記憶核μ(·)的線性時(shí)間卷積起作用。

其中，ε是一個正常數(shù)，顯然由式（8）可得，對?s≥s0≥0有

方程（1）主要描述的是一類非線性振動現(xiàn)象及能量耗散過程［1-8］。2021 年張娟娟等［9-10］研究了帶有非線性阻尼的Berger 方程和Timoshenko 方程解的長時(shí)間行為；2013 年MONICA 等［11-12］首次在時(shí)間依賴空間中證明了波方程的時(shí)間依賴吸引子的存在性，為后面研究時(shí)間依賴吸引子問題奠定了理論基礎(chǔ)；劉亭亭等［13-14］運(yùn)用先驗(yàn)估計(jì)和算子分解的方法分別得到了Plate 方程和記憶型無阻尼抽象發(fā)展方程時(shí)間依賴全局吸引子的存在性；汪璇等［15-19］運(yùn)用收縮函數(shù)的方法驗(yàn)證方程解過程的漸近緊性，研究了帶有強(qiáng)阻尼和非線性擾動的Kirchhoff 波方程解的長時(shí)間行為，得到了時(shí)間依賴全局吸引子的存在性。因此，受文獻(xiàn)［8-19］的啟發(fā)，本文將對帶線性記憶的弱阻尼Berger方程時(shí)間依賴全局吸引子的存在性進(jìn)行研究。

1 預(yù)備知識

本文簡記：

定義1［11］設(shè){Xt}t∈R是一族賦范空間，雙參數(shù)算子族{U(t，τ)：Xτ→Xt，t≥τ，τ∈R}滿足如下性質(zhì)：

1）對任意的τ∈R，U(τ，τ)=Id是Xτ上的恒等算子；

2）對任意的σ∈R 和任意的t≥τ≥σ，U(t，τ)U(τ，σ)=U(t，σ)，則稱U(t，τ)是一個過程。

定義2［11］如果對每個t∈R，均存在一個常數(shù)R＞0，使得，則稱有界集Ct?Xt的集合族C={Ct}t∈R是一致有界的。

定義3［11］如果對任意的R＞0，存在常數(shù)t0(t，R)≤t，使得τ≤t-t0?U(t，τ)Bτ(R)?Bt，則稱一致有界集族B={Bt}t∈R是過程U(t，τ)的時(shí)間依賴吸收集。

定義4［11］過程U(t，τ)的時(shí)間依賴吸引子是滿足如下性質(zhì)的最小集族

1）在Ht中的每個At都是緊的；

定理3［11］（Banach-Alaoglu 定理）設(shè)X是一個自反的Banach 空間。若B?X是有界的，則B在弱拓?fù)淇臻gX中是相對緊的。

引理1［14］對?t＞τ，若記憶核函數(shù)μ(s)滿足式（8）和式（9），那么對任意的

2 有界吸收集的存在性

方程（2）的解可通過標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin 方法證明，得到其存在性和唯一性。

定理4設(shè)z(t)=U(t，τ)zτ是方程（2）關(guān)于初值zτ的解。如果對于任意初值條件成立，則存在正常數(shù)R0，使得方程（2）的過程U(t，τ)存在時(shí)間依賴吸收集，即族B={Bt(R0)}t∈R。

證明方程（2）與ut作內(nèi)積并且在Ω上積分，可得

結(jié)合條件（5）和引理1可得

由ε(t)的遞減性，有

將式（16）在[τ，t]上積分可得

E0(t) ≤E0(τ)，?t≥τ。

由條件（6）及Sobolev 嵌入，可得到存在常數(shù)c0，C0以及遞增函數(shù)C(s)，使得

設(shè)0 ＜ρ＜1，方程（2）與ut+ρu作內(nèi)積并在Ω上積分可得

3 時(shí)間依賴全局吸引子的存在性

3.1 漸近先驗(yàn)估計(jì)

由ε(t)是遞減函數(shù)的性質(zhì)知ε'(t) ＜0，結(jié)合式（4），對任意的γ＞0，存在一個Cγ＞0，使得

2）將方程（33）與w(t)作內(nèi)積，并在[τ，t]×Ω上積分，結(jié)合下列不等式

3.2 漸近緊性

由T是固定的，利用Lebesgue控制收斂定理，對每個T有

定理7在條件（3）～（9）的假設(shè)下，方程（2）對應(yīng)的過程U(t，τ)：Hτ→Ht存在時(shí)間依賴全局吸引子

證明由定理4、定理5 以及定理6 的證明，可得存在唯一的時(shí)間依賴全局吸引子，且該吸引子A是不變的。證畢。