大高差區(qū)域最優(yōu)GNSS高程異常擬合模型的確定

李圣明，史俊波，李 林，董新瑩

（1.中交第二公路勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖北 武漢 430050；2.武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079）

經(jīng)典GNSS高程擬合基于“移去—擬合—恢復(fù)”的思想[1]，引入EGM2008地球重力場(chǎng)模型和DEM格網(wǎng)數(shù)據(jù)，分別確定長(zhǎng)波項(xiàng)和短波項(xiàng)，最后選擇合適的擬合模型計(jì)算高程異常殘余項(xiàng)。多項(xiàng)式擬合法是最常用的高程擬合模型之一，構(gòu)建多項(xiàng)式擬合模型后，利用已知點(diǎn)真值，基于最小二乘準(zhǔn)則確定未知參數(shù)，外推得到未知點(diǎn)的高程異常大小。唐詩(shī)華[2]等系統(tǒng)地研究了不同估計(jì)方法的原理和特點(diǎn)，得出最小二乘估計(jì)在高程擬合中精度最高的結(jié)論；陳安平[3]等比較分析了二次曲線(xiàn)擬合法和三次曲線(xiàn)擬合法等模型的適用性和可靠性；王雪林[4]和楊坤[5]等通過(guò)實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)證明了多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合法可滿(mǎn)足四等水準(zhǔn)測(cè)量要求，但涉及的測(cè)區(qū)均處于地勢(shì)平坦的區(qū)域，相對(duì)高差較小。多項(xiàng)式擬合法模型簡(jiǎn)單、應(yīng)用廣泛，但不適用于起伏較大的測(cè)區(qū)。因此，針對(duì)大高差區(qū)域，本文利用反距離加權(quán)法和支持向量機(jī)（SVM）模型進(jìn)行高程異常殘余項(xiàng)的擬合；再通過(guò)實(shí)際算例，比較分析了不同模型的擬合效果，給出大高差區(qū)域最優(yōu)GNSS高程異常擬合模型的建議。

1 研究原理與方法

1.1 多項(xiàng)式擬合模型

多項(xiàng)式擬合模型是將呈帶狀分布的聯(lián)測(cè)點(diǎn)視為一個(gè)曲面，認(rèn)為曲面上各控制點(diǎn)的高程異常與其坐標(biāo)xi（或yi）之間存在函數(shù)關(guān)系。本文以xi為自變量，高程異常模型可表示為：

式中，a0,a1,…,a m為待定系數(shù)。

對(duì)于每個(gè)(xi,yi,ζi)，聯(lián)立上述方程進(jìn)行擬合后，再利用最小二乘法求解式（1）中的各項(xiàng)系數(shù)并代回，即可求出曲面上任意一點(diǎn)的高程異常值。

1.2 反距離加權(quán)模型

反距離加權(quán)法[6]常見(jiàn)于散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值應(yīng)用中，適用于散點(diǎn)分布較均勻的情況。待求點(diǎn)P處的高程異常插值結(jié)果ζP，即為測(cè)區(qū)內(nèi)所有已知點(diǎn)高程異常值ζi(i=1,2,…,n)的加權(quán)和。

式中，di為第i個(gè)已知點(diǎn)到待求點(diǎn)P距離；u決定距離增加時(shí)權(quán)重減小程度。

1.3 SVM模型

SVM[7]模型，即某區(qū)域的N個(gè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)可表示為{(xk,y k)|k=1,2,…,N}，其中xk∈Rn為n維兩列輸入向量，兩列分別為坐標(biāo)x和y；y k∈R為n維1列輸出向量，代表已知點(diǎn)的高程異常殘余項(xiàng)。利用非線(xiàn)性映射φ(x k):Rn→Rnk將輸入空間的非線(xiàn)性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)換為高維特征空間中的線(xiàn)性回歸問(wèn)題，可表示為求解以下約束優(yōu)化問(wèn)題：

式中，w∈Rnk為權(quán)向量；γ為調(diào)整參數(shù)；b為偏差量；e k∈R為誤差變量。

2 研究結(jié)果與分析

本文選取兩個(gè)算例驗(yàn)證上述高程異常擬合模型。算例1：數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在東西5.35 km、南北15.19 km的范圍內(nèi)，最高最低海拔差距約為445.9 m，將其中9個(gè)聯(lián)測(cè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，28個(gè)聯(lián)測(cè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。算例2：數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在東西20.22 km、南北12.95 km的范圍內(nèi)，最高最低海拔差距約為705.4 m，將其中9個(gè)聯(lián)測(cè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，38個(gè)聯(lián)測(cè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。算例點(diǎn)位分布情況如圖1所示。

圖1 算例1和算例2的點(diǎn)位分布

根據(jù)參與建模的已知點(diǎn)的高程異常真值ζi和計(jì)算得到的高程異常值ζiY，求得殘差Vi Y=ζi-ζiY，作為內(nèi)符合精度。根據(jù)參與檢核的各點(diǎn)高程異常真值ζi和計(jì)算得到的高程異常值ζiC，求得殘差Vi C=ζi-ζiC，作為外符合精度。利用多項(xiàng)式擬合法對(duì)算例1和算例2的9個(gè)已知點(diǎn)進(jìn)行高程異常殘余項(xiàng)建模，并統(tǒng)計(jì)內(nèi)符合殘差，如圖2、3所示。

圖2 算例1多項(xiàng)式擬合法建模內(nèi)符合殘差

圖3 算例2多項(xiàng)式擬合法建模內(nèi)符合殘差

利用多項(xiàng)式擬合法、反距離加權(quán)法和SVM模型對(duì)算例1的28個(gè)檢核點(diǎn)和算例2的38個(gè)檢核點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)計(jì)算，外符合殘差對(duì)比如圖4、5所示。

圖5 3種模型外符合殘差對(duì)比（算例2）

兩個(gè)算例的區(qū)域特征以及檢核點(diǎn)采用3種模型計(jì)算得到的外符合殘差平均值如表1所示，繪出的對(duì)比圖如圖6所示，可以看出，多項(xiàng)式擬合法總體上能達(dá)到高程擬合的精度要求，但精度略差于另外兩種模型；反距離加權(quán)法和SVM模型體現(xiàn)出良好的適用性，外符合殘差的差距分別為0.52 cm和0.27 cm；綜合兩個(gè)算例結(jié)果判斷，在地勢(shì)起伏比較大的崎嶇地區(qū)，SVM模型精度優(yōu)于反距離加權(quán)法。

圖6 3種模型精度對(duì)比圖

表1 高程擬合算例綜合分析

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)高程轉(zhuǎn)換時(shí)常用的多項(xiàng)式擬合法在大高差區(qū)域適用性較差的問(wèn)題，本文將反距離加權(quán)法和SVM模型替代了多項(xiàng)式擬合法；并通過(guò)兩個(gè)最大高差分別為445.9 m和705.4 m的實(shí)際算例比較分析了3種模型在大高差區(qū)域?qū)τ诟叱坍惓埐铐?xiàng)的擬合效果。結(jié)果表明，利用SVM模型的外符合精度分別為1.73 cm和1.13 cm，優(yōu)于反距離加權(quán)法的2.25 cm和1.40 cm和多項(xiàng)式擬合法的3.17 cm和2.18 cm。因此，SVM模型可作為大高差區(qū)域GNSS高程異常擬合模型的最優(yōu)選擇。