“豐實”學習過程，“扎實”模型構建
——淺談“乘法分配律”教學中的幾點思考

江蘇省常州市武進區(qū)牛塘中心小學 周小蘇

運算律是小學數(shù)學最為重要的一部分內(nèi)容，學習運算律是為了讓計算變得更為簡便。然而，現(xiàn)實狀況卻是學生缺乏自主進行簡便計算的意識和良好的計算品質(zhì)，教師對簡算的本質(zhì)理解也有失偏頗，以至于師生都普遍認為簡算不簡單，所以，運算律的實際教學效果往往不盡如人意。乘法分配律是運算律教學中形式最多、結構最復雜、應用最廣泛、教學難度最大的內(nèi)容。在實際教學中，教師常會局限于引導學生總結記憶法則，學生在教師的要求下簡單機械地重復操練相關習題，對其實際內(nèi)涵卻所知甚少，一旦遇到外形較為特殊的變式就暈頭轉(zhuǎn)向。因此，原本簡便計算的方法，卻讓學生在做題時頻頻出錯，成為一大負擔，學生學習的積極性和主動運用簡算方法的意識也始終難以養(yǎng)成。造成如此現(xiàn)狀的原因是多方面的，但筆者認為，最主要的原因是教學中學生對乘法分配律算理理解、本質(zhì)體會、變式辨析、模型構建的不充分。因此，本文試圖從以下幾個方面尋找突破的方法，“豐實”學生的學習過程，“扎實”乘法分配律的模型構建。

一、情理相生，在情境中理解算理

乘法分配律的教學需要讓學生經(jīng)歷模型構建的完整過程，好的問題情境能引導學生主動觀察、發(fā)現(xiàn)、解釋、建模，實現(xiàn)學生生活經(jīng)驗與數(shù)學世界的溝通聯(lián)結，讓乘法分配律的模型從學生現(xiàn)有的知識結構上“長”出來。創(chuàng)設情境時要從學生學習的邏輯和現(xiàn)實起點出發(fā)，要同時考慮學生現(xiàn)有的知識基礎和生活經(jīng)驗，最大限度地貼近學生的生活經(jīng)驗，使情境不僅能給學生帶來豐富的感性體驗，激發(fā)學習興趣，還能夠引發(fā)充分的理性思考，從而真正理解算理。

（一）由情入理

蘇教版數(shù)學教材中提供的“領跳繩”的例題情境就是與學生生活經(jīng)驗非常貼近的。在明確問題信息、學生自主列式后可以引導學生分別說一說兩種不同列式的意義：（6+4）×24表示先求出四、五年級一共的班級數(shù)，再用總班級數(shù)乘每班領跳繩的根數(shù)就可以求出兩個年級一共領跳繩的根數(shù)。6×24+4×24表示先分別求出四、五兩個年級各領跳繩的根數(shù)，再把兩個年級領的根數(shù)加起來求出一共的根數(shù)。學生在表述的過程中體會到不同的列式表示的意義不同，但最后的結果是相同的。以上過程看似簡單，但學生卻借助形象的情境感知理解了抽象算式的算理，為乘法分配律的模型構建做好了初步準備。

（二）由理生情

一般來說，教師在引導學生經(jīng)歷了上面“由情入理”的環(huán)節(jié)后就會讓學生去觀察，發(fā)現(xiàn)算式的特點，在用自己的語言簡單表述之后就開始猜想驗證。其實，此處大可不必操之過急，不妨帶著學生來一場“由理生情”的編題體驗。

出示算式：（8+12）×7、8×7+12×7，要求學生根據(jù)這兩道算式進行編題。此時，學生的思維熱情被點燃，個個躍躍欲試，編出的題目也是各不相同。教師展示其中一個：一本筆記本8元，一支鋼筆12元，買7本筆記本和7支鋼筆，一共要多少元？教師提問：這題是根據(jù)哪道算式編的？說說你的理由。學生各抒己見，在交流和思維碰撞中明確根據(jù)兩道算式都可以編出這道題。教師又展示：7個班級參加跳繩比賽，各班分別派出8名女生和12名男生，一共派出多少名學生？學生再次思考并說明理由。教師明確：兩道算式雖然外形不同，但都可以解決同一個問題，計算的結果是相同的。

“由理生情”需要的是學生對算理的準確理解。在編題和判斷的過程中，學生經(jīng)歷了對兩道算式結構的反復揣摩和思考，非常深入地感受到了“一式可編多題”“兩式能解一題”，對乘法分配律的模型感悟比之前深入不少。

二、直觀感悟，在形象處體會本質(zhì)

四年級學生的思維正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，但這種抽象邏輯思維的形成仍然是建立在大量直觀、感性經(jīng)驗的基礎之上的。積累正確、豐富、直觀的表象能讓學生在形象處體會乘法分配律的本質(zhì)，經(jīng)歷從直觀到抽象、模糊到清晰的模型構建過程。因此，在乘法分配律的教學中，教師要根據(jù)教學內(nèi)容向?qū)W生提供直觀形象的學習材料，引導學生充分利用畫圖等直觀手段來理解本質(zhì)。

（一）數(shù)形結合

用“數(shù)形結合”的方法支撐乘法分配律的學習能幫助學生有效領會“分配”的意義，感受“公有的因數(shù)”的結構特點。以（8+12）×7和8×7+12×7兩道算式為例，巧用幾何直觀，通過用不同的方法計算圖形的面積讓學生體會到無論是看成一個整體進行計算，還是分成兩部分計算，結果都是相同的。更為重要的是，幾何直觀能幫助學生在頭腦中形成深刻的圖形表象，不用刻意、機械地記憶，也能深入理解乘法分配律的本質(zhì)意義。

如果改動圖1中的數(shù)據(jù)，并出示圖2、圖3，學生就會順利得出（9+14）×8=9×8+14×8，（13+17）×10=13×10+17×10符合乘法分配律特征的等式。繼續(xù)延伸，并將圖上的數(shù)據(jù)分別換成字母a、b、c（見圖4），此刻，不用教師追問，學生也會將（a+b）×c=a×c+b×c的等式很快說出來。

以上過程，借助豐富直觀的圖形表象，讓學生經(jīng)歷了知識的形成過程，順利地在形象處體會了乘法分配律的算理本質(zhì)，建立了抽象的數(shù)學模型，成功歸納出了字母公式。

（二）畫線段圖

用畫線段圖的方法分析行程問題的數(shù)量關系也是幫助學生直觀感悟乘法分配律意義的好方法。如小明和小華同時從兩地出發(fā)，相對而行，小明每分鐘行65米，小華每分鐘行60米，3分鐘后兩人相遇，兩地相距多少米？ 這是一道簡單的相遇問題，列出（65+60）×3和65×3+60×3兩道算式并解釋其中的算理對于學生來說并非難事，但如能結合問題繪制出體現(xiàn)兩種不同算法的線段圖則更能促進乘法分配律模型結構的建立。

三、變式辨析，在轉(zhuǎn)化中明晰方法

乘法分配律往往給學生“亂花漸欲迷人眼”的感覺，因為許多算式“長”的樣子并不符合（a+b）×c或a×c+b×c的標準結構形式，學生一旦接觸到多樣的變式形態(tài)就陷入一片混沌，所以會覺得乘法分配律越學越難、越做越難。在日常教學中，遇到這樣的情況，教師往往是通過反復練習來強化學生對各種變式的記憶，但效果極不理想。要想認識事物的本質(zhì)就要撥開其表面的神秘面紗，對于這些“長”得不一樣的算式如何通過辨析找到其與標準的結構形式的聯(lián)系，并進行有效的轉(zhuǎn)化讓其“回歸正常”才是關鍵所在。所以在教學中，教師要引導學生經(jīng)歷對各種變式結構及數(shù)據(jù)的充分觀察、比較、思考，將變式轉(zhuǎn)化成（a+b）×c和a×c+b×c兩種標準結構中的一種，這樣不僅能化難為易，解決各類較隱秘復雜的題型，還能在這種變式的辨析轉(zhuǎn)化的過程中，讓乘法分配律的模型更為清晰。

（一）變式一：一個數(shù)乘接近整百的數(shù)

如103×28，分析這樣的變式可以先引導學生觀察，初步明確它更接近兩種標準結構中的哪一種。是否可以通過轉(zhuǎn)化將其變成標準形式？學生在觀察比較后會發(fā)現(xiàn)可以將其轉(zhuǎn)變?yōu)椤埃╝+b）×c”的形式，也就是（100+3）×28。隨之，教師可以讓學生嘗試從意義的角度進行解釋：算103個28是多少，先將103轉(zhuǎn)化成100加3的和，然后分別算出100個28和3個28的結果，再將它們相加。最后總結：一個數(shù)乘接近整百的數(shù)，可以將接近整百的那個數(shù)轉(zhuǎn)化成整百數(shù)加（減）另一個數(shù)的形式，從而變成乘法分配律的標準結構。

（二）變式二：積加（減）一個數(shù)

如99×52+52、101×48－48，這樣的題型也是學生較容易出錯的，教學時常用的方法是從意義上進行分析：99個52加上1個52也就是100個52，所以99×52+52=100×52；101個48減去1個48也就是100個48，所以101×48－48=100×48。盡管教師強調(diào)得很辛苦，但是學生依然錯誤頻出，而且似乎覺得這樣的題與乘法分配律沒什么必要聯(lián)系。外在結構的隱秘性讓學生無法將其順利納入已知的模型結構，所以轉(zhuǎn)化就顯得尤為重要。其實，仔細觀察后，學生不難發(fā)現(xiàn)這種類型的題與“a×c+b×c”的結構是較為接近的，可以得到99×52+1×52和101×48-1×48的標準結構形式，簡算也就順理成章。萬變不離其宗，無論是以上兩種常見的變式，還是其他形式的變式，只要通過辨析，將其轉(zhuǎn)化成乘法分配律的標準結構，就能明晰解題的方法，學生頭腦中的模型結構也在這個過程中得以不斷強化。

四、實際應用，在練習中強化模型

模型的鞏固強化離不開實際應用。如何讓學生在應用中擺脫單純模仿和機械重復的訓練，充分調(diào)動學習的積極性并讓學生感受到數(shù)學在生活中的應用價值，是首先要思考的問題。學習了乘法分配律之后進行靈活多變的自編題練習和經(jīng)歷解決生活問題時的算法優(yōu)化的體驗能強化數(shù)學模型，也能培養(yǎng)學生的簡算意識。

（一）靈活自編

在乘法分配律的練習課上，教師可以在學生進行了一些基礎練習之后，適當將一些標準結構的題改編成58×63+□×□的形式，并提問：想一想，怎樣填寫才能使這道題可以簡算？學生一開始可能會填寫成如58×63+25×63的形式，說明只關注到了“其中一個因數(shù)相同”，而沒有關注到“另外兩個數(shù)加減之后要能夠湊整”。繼續(xù)思考，學生不難得出：58×63+42×63或58×63+58×37。開放的練習形式對學生的思維更有挑戰(zhàn)性，也更能激發(fā)學生的學習興趣，在擺脫枯燥、乏味的同時強化了乘法分配律的模型。

（二）優(yōu)化算法

在日常學習中，許多學生只有在題目明確要求用簡便方法計算的情況下才會簡算，這個與學生習慣筆算的思維定式有關，也說明學生對簡算模型的實際應用還沒有到非常自覺的程度。數(shù)學學習從生活出發(fā)，最終也必須回歸生活。因此在練習中，教師應給學生提供鮮活的生活問題，引導學生養(yǎng)成分析數(shù)據(jù)特征的習慣，優(yōu)化計算方法，將簡算的思想貫穿數(shù)學學習的始終。如四年級學生回收廢紙，一班回收了165千克，二班回收了235千克，如果每千克廢紙可以賣0.6元，那么兩班回收的廢紙一共可以賣多少元？本題的數(shù)據(jù)有特點，稍加思考，學生不難發(fā)現(xiàn)可以簡算，從而意識到：不僅僅純計算的題可以簡算，在解決生活中的實際問題時也常常要思考是否可以用簡算的方法使計算更簡便，從而實現(xiàn)數(shù)學在生活中的應用價值。

劉加霞教授曾說，把握數(shù)學的本質(zhì)是一切教學法的根。乘法分配律的教學雖然是小學數(shù)學教學中的一大難點，但只要客觀分析問題形成的原因，注重情理相生、直觀感悟、變式辨析、實際應用，把教學真正落實到學生的困難處，就一定能把握其本質(zhì)，做到“豐實”學習過程，“扎實”模型構建。