基于最小均方和遞歸最小二乘的自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)

劉耀文

江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000

引言

由于現(xiàn)代芯片的工藝提高，現(xiàn)如今計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度獲得了空前的提高[1]。本文使用自適應(yīng)數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)語音信號(hào)的降噪處理，濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器總的來說可以分兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器，經(jīng)典濾波器需要事先提取信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性[2]，例如經(jīng)典的維納濾波器以及經(jīng)過改良的卡爾曼濾波器，對(duì)于已知統(tǒng)計(jì)特性的語音信號(hào)和噪聲信號(hào)可以做到不錯(cuò)的濾波性能，但是由于信道和噪聲的統(tǒng)計(jì)特征往往是較難于已知的，或者是復(fù)雜多變的，因此，針對(duì)某些變參數(shù)信道，經(jīng)典濾波器的穩(wěn)定性就會(huì)大幅降低，為克服這一困難，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)濾波器。自適應(yīng)濾波器能夠根據(jù)信道的統(tǒng)計(jì)特征自我學(xué)習(xí)，通過自適應(yīng)方法自主的改變?yōu)V波器的權(quán)重系數(shù)[3]，從而獲得最佳的信道濾波性能，并實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)和噪聲特征的跟蹤，從而能夠滿足各種信道條件，因此自適應(yīng)濾波器具備了強(qiáng)大的選擇性能，以及跟蹤能力。

1 自適應(yīng)濾波器的基本原理與結(jié)構(gòu)

1.1 LMS最小均方誤差自適應(yīng)濾波算法

本文采用定步長LMS算法。本文中采用的濾波器為橫向有限沖擊響應(yīng)的維納自適應(yīng)濾波器，假設(shè)輸入信號(hào)與期望信號(hào)均為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其誤差函數(shù)為橫向?yàn)V波器的二次函數(shù)，也即其函數(shù)圖像是一條向中間下凹的拋物面線，故必具有誤差較小值的點(diǎn)，該點(diǎn)為最小均方誤差的最優(yōu)解[4]。

若對(duì)其求梯度，可以得出其梯度函數(shù)為：

當(dāng)梯度等于零的時(shí)候，可以解出最小均方、差的最優(yōu)濾波器參數(shù)解為w*=R-1P。

雖然在理論推導(dǎo)中可以知道最小均方誤差算法存在理論最優(yōu)解，但是這個(gè)理論算法是難以實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)檩斎胄盘?hào)的自相關(guān)矩陣是難以求得的，即使可以通過自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行求解，而且其矩陣計(jì)算量過大，所以如果采用公式求解，對(duì)于信號(hào)的濾波是無法做到實(shí)時(shí)處理的，目前最廣泛的應(yīng)用為梯度下降法，利用梯度下降法的思想，對(duì)均方誤差求解梯度，再根據(jù)梯度的反方向進(jìn)行權(quán)重更新，以求解均方誤差的最小點(diǎn)，其更新公式為[5]：

其中需要計(jì)算自相關(guān)矩陣的特征值，為了避免計(jì)算特征值，一般采用計(jì)算自相關(guān)矩陣的跡來表示特征值，最小均方誤差存在以下幾種缺點(diǎn)，由于計(jì)算量大，迭代次數(shù)多，所以其收斂速度較慢。二是要求不同時(shí)刻的輸入信號(hào)是線性無關(guān)的，如果其統(tǒng)計(jì)特性存在相關(guān)性，則前一次迭代產(chǎn)生的噪聲將影響到下一次迭代，造成誤差的反復(fù)傳播，收斂速度進(jìn)一步減緩[6]。

1.2 RLS遞歸最小二乘法自適應(yīng)濾波算法

最小二乘算法則采用了確定性思想，該算法主要探討如何通過有限個(gè)觀測數(shù)據(jù)來尋求濾波器的最優(yōu)解，即求橫向?yàn)V波器的最優(yōu)權(quán)重，首先介紹遞歸運(yùn)算算法求解思想，該算法將誤差函數(shù)的均方達(dá)到最小值[7]。

遞歸最小二乘法思想是使用了開始到目前為止所有誤差的加權(quán)均方誤差，所以對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)也有不錯(cuò)的降噪效果，同時(shí)具備快速的收斂速度，同時(shí)最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。但是最小二乘有個(gè)問題，就是前面計(jì)算出最優(yōu)估計(jì)量后，當(dāng)有新的數(shù)據(jù)進(jìn)來時(shí)候，又要重新計(jì)算最優(yōu)估計(jì)量。數(shù)據(jù)量比較大的時(shí)候，計(jì)算量會(huì)變得特別大。

1.3 語音評(píng)價(jià)方法

客觀評(píng)價(jià)是指用語音信號(hào)某個(gè)參數(shù)系統(tǒng)的去表征語音通過降噪系統(tǒng)后的失真程度，用此來評(píng)估降噪系統(tǒng)的性能指標(biāo)。

1.3.1 信噪比。信噪比是指信號(hào)功率和噪聲功率占比的一種度量方式，對(duì)于總體來說可以初步判斷一個(gè)語音信號(hào)的質(zhì)量問題，信噪比越高說明一個(gè)語音信號(hào)的信號(hào)功率占比越高，主觀表現(xiàn)就是有用信號(hào)功率越高，其語音的可懂性也就越高，一般來說一個(gè)安靜環(huán)境下的錄音信噪比大概在40-80dB左右。

1.3.2 感知語音質(zhì)量評(píng)估測度。感知語音質(zhì)量評(píng)估測度常用于語音質(zhì)量的評(píng)估，由于其具備良好的普適性，很多場景都會(huì)使用，首先將原始信號(hào)和含有噪聲的失真語音信號(hào)經(jīng)過預(yù)處理，將其歸一化處理后在時(shí)域上進(jìn)行對(duì)齊，消除時(shí)延帶來的誤差，對(duì)齊后經(jīng)過聽覺變換獲得信號(hào)的幅值大小一同輸入到差分器中進(jìn)行擾動(dòng)處理，計(jì)算出語音信號(hào)在時(shí)域和頻域上的MOS分?jǐn)?shù)。

由于存在各種不同的語音評(píng)價(jià)方式，對(duì)于一個(gè)語音信號(hào)要結(jié)合多種語音評(píng)價(jià)方法進(jìn)行質(zhì)量評(píng)估，對(duì)于感知語音質(zhì)量評(píng)估測度來說可以有效地體現(xiàn)出語音信號(hào)的實(shí)際聽感，在考慮到信噪比的情況下可以評(píng)估出實(shí)際信號(hào)的主觀感受，下文試驗(yàn)也可以證明對(duì)于一個(gè)信號(hào)來說信噪比和PESQ分?jǐn)?shù)并不是處于正比關(guān)系，所以對(duì)于一個(gè)自適應(yīng)濾波器來說要綜合考慮信噪比和PESQ分?jǐn)?shù)來考量一個(gè)濾波器。

2 MATLAB仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 實(shí)驗(yàn)分析思路

首先設(shè)計(jì)好的通用LMS和RLS算法的自適應(yīng)維納濾波器，改變?yōu)V波器階數(shù)，步長，噪聲類別來尋找降性能最佳的濾波器參數(shù)（濾波器階數(shù)，步長）。通過最大似然比距離、信噪比、PESQ語音測評(píng)、收斂速度來評(píng)價(jià)降噪性能[8]。再設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證學(xué)習(xí)好某一噪聲的最佳濾波器參數(shù)對(duì)其他噪聲的適應(yīng)能力。

2.2 對(duì)高斯噪聲的降噪性能分析

原始語音信號(hào)受到高斯噪聲的污染之后再通過LMS算法實(shí)現(xiàn)的自適應(yīng)濾波器，經(jīng)過降噪后其輸出信噪比、PESQ評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)、最大似然比距離如表1所示，經(jīng)過自適應(yīng)LMS濾波器后噪聲基本被濾除，輸出信噪比為19.9871，已經(jīng)滿足了清晰噪聲的信噪比要求，并且其PESQ評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)近4.0分，已經(jīng)可以做到輸出噪聲語音質(zhì)量很好的要求，也可以說明LMS自適應(yīng)濾波器對(duì)高斯噪聲污染的語音信號(hào)的降噪效果優(yōu)于椒鹽噪聲污染的語音信號(hào)的降噪效果。

表1 加高斯噪聲語音信號(hào)的濾波效果

如表2所示，雖然LMS算法實(shí)現(xiàn)的自適應(yīng)濾波器對(duì)一般噪聲有著不錯(cuò)的降噪性能，但是LMS濾波的收斂速度不夠快，導(dǎo)致語音聽感沒有那么好，在主觀聽感上表現(xiàn)開始的刺耳聲，導(dǎo)致無法提供一個(gè)很好的降噪效果，本文采用的收斂速度檢測是用一段平均剩余噪聲小于某一閾值時(shí)的最小迭代次數(shù)決定的，現(xiàn)在通過實(shí)驗(yàn)可以知道LMS對(duì)六種噪聲的收斂速度對(duì)比表格如表2表3所示，RLS的收斂速度則有明顯的提高[9]。

表2 LMS對(duì)六種噪聲的收斂速度對(duì)比

表3 RLS對(duì)六種噪聲的收斂速度對(duì)比

為了定性的對(duì)兩側(cè)的濾波性能做出比較，設(shè)計(jì)以下實(shí)驗(yàn)：使用同一噪聲（高斯噪聲）下，濾波器階數(shù)均為7，濾波器步長均為0.008，驗(yàn)證兩者的濾波性能對(duì)比如下表4所示，可以看出RLS算法下的自適應(yīng)濾波器不僅在收斂速度由于LMS算法下的自適應(yīng)濾波器，而且其濾波效果也好于LMS算法，經(jīng)過RLS算法的降噪濾波，其PESQ接近4.5分的高分，已經(jīng)基本還原了原始語音信號(hào)。

表4 兩種算法對(duì)高斯噪聲的性能分析

2.3 對(duì)小信噪比信號(hào)的追蹤效果

上文主要討論了歸一化信號(hào)序列和噪聲序列一比一幅值比（功率比）下的對(duì)比實(shí)現(xiàn)，但是當(dāng)信號(hào)通過遠(yuǎn)距離的傳輸，往往輸入到自適應(yīng)濾波器的原始輸入信號(hào)的信噪比非常的小，這個(gè)時(shí)候的信號(hào)可以稱為小功率信號(hào)。經(jīng)過預(yù)加重和功率放大其信噪比依然不高，那么上面論證的性能表現(xiàn)無法完全適應(yīng)于小信噪比情況，下面將討論小信噪比下濾波器參數(shù)選擇問題，主要使用輸出信噪比作為參考，對(duì)比常規(guī)信噪比和小信噪比之間的最佳參數(shù)（濾波器階數(shù)和濾波器步長），首先需要確定信噪比和主觀聽感之間的關(guān)系，定義噪聲幅值是語音信號(hào)幅值10倍以上稱為小信噪比信號(hào)。

首先在常規(guī)信噪比得到的最佳濾波器階數(shù)（7）、最佳濾波器步長（0.008）條件下對(duì)小信噪比的濾波效果如下表5所示，當(dāng)噪聲功率的逐漸提高，輸出信噪比逐漸下降，PESQ分?jǐn)?shù)逐漸下降，最大似然比距離逐漸增大，說明當(dāng)噪聲功率較大時(shí)，上文中的濾波器不能做到有效的濾波，根據(jù)香農(nóng)定理可知，信道容量的大小隨著信噪比的下降而降低，當(dāng)噪聲功率太大時(shí)，輸入信號(hào)所攜帶的信息將逐漸降低。

表5 常規(guī)信噪比參數(shù)對(duì)小信噪比的適應(yīng)情況

在小信噪比下，隨著自適應(yīng)濾波器階數(shù)的增加濾波效果顯著提高，到20左右達(dá)到濾波效果閾值。

2.3 根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)提出的參數(shù)追尋方法

根據(jù)上文的實(shí)驗(yàn)分析，經(jīng)過自適應(yīng)濾波器后的輸出信號(hào)的信噪比呈現(xiàn)先增長后降低的趨勢，也就是說起信噪比和濾波器階數(shù)之間的關(guān)系存在唯一最大值，那么濾波器階數(shù)沒有多極值情況下的虛假最佳參數(shù)，根據(jù)這一特性可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)自適應(yīng)濾波器最佳階數(shù)的主動(dòng)探尋算法，這是非常有意義的，因?yàn)檎Z音信號(hào)所受噪聲的不同其最佳濾波性能所對(duì)應(yīng)的濾波器階數(shù)也是不同的，所以對(duì)于濾波器的階數(shù)選擇尤為重要，如果可以根據(jù)噪聲的不同而自動(dòng)匹配不同的濾波器階數(shù)，則更加具有使用價(jià)值。

首先本算法是根據(jù)信噪比為度量進(jìn)行參數(shù)反饋隨著迭代次數(shù)的增加，信噪比逐漸提高，在濾波器階數(shù)為15左右開始趨于平穩(wěn)，也就是說高斯噪聲在LMS自適應(yīng)濾波器條件下的最佳濾波器階數(shù)為15，進(jìn)過實(shí)驗(yàn)得出，6種噪聲在自適應(yīng)迭代得到的最佳濾波器階數(shù)如表6所示，可以看出，通過對(duì)不同噪聲進(jìn)行最佳濾波器階數(shù)的探尋可以看出，在相同的濾波效果下，指數(shù)噪聲需要的濾波器階數(shù)最小，只有高斯噪聲的1/4，也可以說明此方法可以找到不同噪聲污染下的語音信號(hào)所需要的最佳濾波器階數(shù)。

表6 不同噪聲的最佳濾波器參數(shù)迭代結(jié)果

3 結(jié)束語

本文主要就自適應(yīng)維納濾波器的濾波原理和兩種實(shí)現(xiàn)算法，即LMS最小均方誤差算法和RLS遞歸最小二乘法，利用歸一化噪聲和語音信號(hào)定量進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)。

自適應(yīng)濾波器在信號(hào)增強(qiáng)領(lǐng)域有著積極廣泛的作用，可以實(shí)現(xiàn)未知環(huán)境下對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)濾波或者增強(qiáng)，相比于傳統(tǒng)的濾波器有著更為強(qiáng)大的濾波效果和適應(yīng)性，所以成為如今自適應(yīng)信號(hào)處理的熱門研究問題，加上如今計(jì)算機(jī)計(jì)算力的指數(shù)提高，研究自適應(yīng)濾波器的成為一個(gè)極其具有使用價(jià)值的課題[10]。

本文在參閱了大量數(shù)字濾波器的基礎(chǔ)知識(shí)情況下，首先介紹了自適應(yīng)濾波器和卡曼濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)，進(jìn)一步對(duì)LMS和RLS算法實(shí)現(xiàn)的自適應(yīng)濾波器作了深入研究，著重對(duì)6種常用噪聲的濾波效果和最佳濾波參數(shù)做出實(shí)驗(yàn)探討，針對(duì)自適應(yīng)最佳濾波器階數(shù)和自適應(yīng)最佳濾波器步長進(jìn)行了研究，經(jīng)過LMS自適應(yīng)濾波器后的語音信號(hào)在濾波器階數(shù)為N=7-10，濾波器步長在0.008時(shí)達(dá)到最佳效果，其信噪比普遍可以達(dá)到20dB以上，基本可以滿足語音信號(hào)的降噪性能指標(biāo)。

最后，本文根據(jù)上面的實(shí)驗(yàn)結(jié)論得出一個(gè)適用于本文評(píng)價(jià)系統(tǒng)的結(jié)論，隨著自適應(yīng)濾波器的階數(shù)增加和自適應(yīng)濾波器步長的縮減，其濾波效果呈現(xiàn)先增長后降低的趨勢，也就是說存在唯一極大值，根據(jù)這個(gè)結(jié)論我們可以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器最佳階數(shù)和自適應(yīng)濾波器的最佳步長進(jìn)行迭代，實(shí)現(xiàn)橫向?yàn)V波器參數(shù)和濾波器步長以及濾波器階數(shù)的自動(dòng)尋找，結(jié)果表明，經(jīng)過設(shè)計(jì)的濾波器可以有效地追蹤好各種噪聲的各類最佳參數(shù)。