課程思政背景下微積分基本公式教學(xué)設(shè)計(jì)

董 瑩 王書臣 蘇詩雯

（1.大連民族大學(xué) 理學(xué)院預(yù)科教育學(xué)院 遼寧大連 116605；2.東北大學(xué) 馬克思主義學(xué)院 遼寧沈陽 110167）

《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》明確指出：“要在課程教學(xué)中把馬克思主義立場觀點(diǎn)方法的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)結(jié)合起來，提高學(xué)生正確認(rèn)識(shí)問題、分析問題和解決問題的能力。理學(xué)類專業(yè)課程，要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感[1]?！蔽⒎e分的課程思政包括認(rèn)識(shí)論與辯證法、數(shù)學(xué)文化與人文素質(zhì)、愛國主義教育與人格完善[2]。在課程思政背景下，講授微積分的教師應(yīng)從這三個(gè)方面認(rèn)真挖掘每一課節(jié)中的思政元素，設(shè)計(jì)好課堂思政目標(biāo)和相應(yīng)的教學(xué)策略，才能把課程思政落實(shí)到每一節(jié)課。

微積分中充滿著辯證法，恩格斯指出：微積分“本質(zhì)上不外乎是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用”[3]。微分學(xué)解決的基本問題是非均勻量的變化率問題，而積分學(xué)解決的基本問題是連續(xù)變化過程中的非均勻量的總和問題，二者表面上關(guān)聯(lián)不大。微分作為微分學(xué)的基本概念，在導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，成功地解決了直與曲的矛盾（微分的實(shí)質(zhì)就是用曲線的切線研究曲線的性質(zhì)），解決了直與曲的矛盾之后，定積分的概念自然生成了。所以，微分是溝通微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁和紐帶。此外，從微積分基本公式的外在形式來看，左端是定積分，是個(gè)極限值，而右端是某個(gè)函數(shù)的函數(shù)值之差，這也從一個(gè)角度反映了無限與有限之間的對(duì)立統(tǒng)一，矛盾著對(duì)立著的雙方，無不在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化，這正是辯證唯物主義的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律。

中國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)和沈括的會(huì)圓術(shù)最早地使用了“以直代曲”和極限的思想。這也是微積分的萌芽思想，“近似替代”和“取極限”是定積分概念中的關(guān)鍵兩步，本節(jié)課是上節(jié)課的延續(xù)，還應(yīng)該繼續(xù)重復(fù)一下，加強(qiáng)對(duì)中國傳統(tǒng)文化的認(rèn)知，提升民族文化的自信和愛國主義情愫[4]。

微積分學(xué)基本公式就是微積分課程中非常特色及典型的一部分內(nèi)容。它不僅提供了計(jì)算定積分的一種簡捷有效方法，更重要的是它揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而揭示了微分與定積分的互逆關(guān)系，從此，微分學(xué)和積分學(xué)形成了一個(gè)有機(jī)整體。下面我們就在課程思政的背景下對(duì)該部分內(nèi)容的教學(xué)作以全面的設(shè)計(jì)。

一、教材分析

微積分學(xué)基本公式就是微積分課程中非常特色及典型的一部分內(nèi)容。它不僅提供了計(jì)算定積分的一種簡捷有效方法，更重要的是它揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而揭示了微分與定積分的互逆關(guān)系，從此，微分學(xué)和積分學(xué)形成了一個(gè)有機(jī)整體。從學(xué)習(xí)的角度看，為后面的學(xué)習(xí)（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）奠定了基礎(chǔ)。因此，它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)目標(biāo)】了解積分上限函數(shù)以及其性質(zhì)，熟練掌握和應(yīng)用微積分學(xué)基本公式。

【能力目標(biāo)】培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和解決實(shí)際問題的能力。

【思政目標(biāo)】了解微積分基本公式的數(shù)學(xué)文化發(fā)展歷史，學(xué)會(huì)用聯(lián)系和辯證的觀點(diǎn)看問題，體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力。培養(yǎng)積極探索、堅(jiān)持不懈的科學(xué)精神。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】認(rèn)識(shí)積分上限函數(shù)。熟練運(yùn)用微積分學(xué)基本公式計(jì)算定積分。

【難點(diǎn)】會(huì)利用原函數(shù)存在定理的思想計(jì)算相關(guān)例題，本節(jié)定理及公式的證明。

四、教法與學(xué)法

【教法】培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維，掌握科學(xué)探索的基本方法也是高等數(shù)學(xué)課程思政的基本任務(wù)之一。因此，本節(jié)課采用引導(dǎo)啟發(fā)式教學(xué)法，在教師與學(xué)生的互動(dòng)中構(gòu)建新知識(shí)，掌握新方法。

【學(xué)法】“授之以魚，不如授之以漁”，注重發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。

【教學(xué)手段】黑板教學(xué)和多媒體輔助教學(xué)相結(jié)合。

五、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)提問設(shè)題引入

其含義是：

英文中求和一詞是Sum，將S拉長變成了∫，就記成了積分符號(hào)。顯然，該符號(hào)從外形到含義均表達(dá)了“求和”的含義，堪稱“形意兼?zhèn)洹薄?/p>

則積分就可以歸結(jié)為求極限的問題。

當(dāng)時(shí)我們是利用定義采取分割、代替、求和、取極限這四個(gè)步驟求得的這個(gè)結(jié)果。（設(shè)計(jì)意圖：特別強(qiáng)調(diào)近似替代中的“以直代曲”思想在劉徽的割圓術(shù)和沈括的會(huì)圓術(shù)中早已有之。）通過上節(jié)課的計(jì)算大家都有這樣的體會(huì)：這樣的計(jì)算，還是比較麻煩的。能不能有一種更簡潔的方法解決定積分的計(jì)算的問題呢？

【引例】：思考一個(gè)蘋果作自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過程，設(shè)速度v=v（t）是時(shí)間間隔[T1，T2]上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S（t）。求下落的蘋果在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的位移？

由上節(jié)課我們的引例“求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程”知：物體在時(shí)間間隔[T1，T2]內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為：

另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S(t) 在[T1，T2]上的增量S(T1) -S(T2)來表達(dá)，即

由于S′(t)=v(t)，所以我們觀察

（設(shè)計(jì)意圖：這種方法引入可激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲望。這個(gè)問題的解決將為歸納出微積分基本公式作鋪墊。）

2.探索新知充分準(zhǔn)備

上面這個(gè)問題啟發(fā)我們猜想：對(duì)于任意一個(gè)一般函數(shù)f(x)，設(shè)F′(x) =f(x)，是否也有

要說明這一問題，我們就要討探討一下對(duì)于任意一個(gè)給定的一般函數(shù)，與它所對(duì)應(yīng)的原函數(shù)之間具有什么樣的關(guān)系呢?（設(shè)計(jì)意圖：由引例歸納概括出公式能使學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)升華到理性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知方法。）

從形式上看，如果我們能夠得到這個(gè)結(jié)論，那我們求定積分的問題就歸結(jié)為找原函數(shù)的問題。那么給定一個(gè)連續(xù)函數(shù)如何找它的原函數(shù)F(x) 呢？

這一特殊形式的積分有兩點(diǎn)應(yīng)該注意：

因f(x)在[a,x]連續(xù)，該定積分存在。此時(shí)，為了明確起見，將積分變量x改用其他符號(hào)如t來表示，這是因?yàn)槎ǚe分與積分變量的選取無關(guān)。

（設(shè)計(jì)意圖：講述難點(diǎn)、引出一類特殊的函數(shù)。）

重要結(jié)論:

（原函數(shù)存在定理）函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，

課上展開證明

定理的重要意義：

（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的。

（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。使得定積分的計(jì)算有可能通過原函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。

3.分析探究給出公式

接下來我們就證明并給出微積分學(xué)基本公式。

（利用上面的工具推導(dǎo)出微積分學(xué)基本公式。）

微積分學(xué)基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）：

f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)則

該公式是由牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立提出的，所以我們稱它為牛頓萊布尼茲公式，同時(shí)這個(gè)公式是溝通微分學(xué)和積分學(xué)之間的橋梁，因此我們也稱它為微積分學(xué)基本公式。

這樣我們就找到了用f(x)的原函數(shù)（即滿足F′(x) =f(x)）的數(shù)值差F(b) -F(a)來計(jì)算f(x)在[a,b]上的定積分的方法。（設(shè)計(jì)意圖：利用前面的準(zhǔn)備知識(shí)證明出微積分學(xué)基本公式。）

4.動(dòng)手實(shí)踐強(qiáng)化提高

運(yùn)用微積分基本公式這個(gè)問題用幾秒鐘的時(shí)間很快就被解決了，事實(shí)上，歷史上人類利用了一千多年的時(shí)間才完成了這個(gè)問題的計(jì)算。（設(shè)計(jì)意圖：熟悉公式、學(xué)以致用。對(duì)課前提出的問題加以解決。）

例2.汽車以每小時(shí)36公里的速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度a=-5米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？

解:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時(shí)間。

當(dāng)t=0時(shí)，汽車速度v0=36公里/小時(shí)=米/秒=10米/秒，剎車后汽車減速行駛，其速度為v（t）=v0+at=10-5t。

當(dāng)汽車停住時(shí)，速度v（t）=0，故從v（t）=10-5t=0解得t=2秒。

于是在這段時(shí)間內(nèi)，汽車所走過的距離是：

即在剎車后，汽車需走過10米才能停住。（設(shè)計(jì)意圖：生活中蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)又能解決生活中的問題。該例題與生活密切聯(lián)系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用。）

5.課堂小結(jié)

我們簡單回顧一下這節(jié)課整體的學(xué)習(xí)思路，我們首先用一個(gè)極其簡單的例子推導(dǎo)出一個(gè)基本的形式，猜想出是否一般函數(shù)都有這個(gè)性質(zhì)。在猜想的啟發(fā)下采取分析的思想構(gòu)造出積分上限函數(shù)并證明了它是連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)，從而進(jìn)一步證明出了牛頓萊布尼茲公式。積分上限函數(shù)地給出就是為了證明微積分基本公式給出的一個(gè)全新的函數(shù)，給出這個(gè)函數(shù)就是一個(gè)重要的創(chuàng)新過程。整個(gè)推導(dǎo)微積分學(xué)基本公式的過程中我們可以看到是一個(gè)非常嚴(yán)密、完美的過程，我們不僅要接受數(shù)學(xué)的知識(shí)，還要接受數(shù)學(xué)的思想方法，更要學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)的美。它就像一幅美麗的畫卷展現(xiàn)在我們眼前，讓我們充分體會(huì)到了數(shù)學(xué)是美的。（設(shè)計(jì)意圖：小結(jié)除了注重知識(shí)，還注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題思路和方法的總結(jié)，切實(shí)提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，并讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和習(xí)慣。）

本節(jié)主要內(nèi)容：一個(gè)定義，一個(gè)定理，一個(gè)公式。

讓學(xué)生知道理解概念是關(guān)鍵，掌握公式是前提，實(shí)際應(yīng)用是深化。

6.課后探究

由于積分上限函數(shù)在本節(jié)內(nèi)容起了至關(guān)重要的作用，所以希望大家在課后探討一些有關(guān)它的習(xí)題。（設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步強(qiáng)化難點(diǎn)、為下一節(jié)課內(nèi)容埋下伏筆。）

六、教學(xué)反思及探索方向

【反思】注重學(xué)生的表情變化、學(xué)生的討論形勢(shì)還比較單一。

【探索方向】教學(xué)過度環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)要細(xì)致、教學(xué)期間為學(xué)生介紹數(shù)學(xué)史的知識(shí)。