數(shù)學(xué)文化在中考試題中的滲透及其教學(xué)啟示

陳 琦

（寧波市海曙區(qū)儲能學(xué)校，浙江 寧波 315010）

“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！盵1]近年來，有關(guān)數(shù)學(xué)文化的試題頻繁滲透在各地中考試題中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科育人的基本理念。

一、研究數(shù)學(xué)文化類試題的價值和意義

（一）數(shù)學(xué)文化對教師專業(yè)發(fā)展、轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念具有引領(lǐng)作用

優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師不但要具備學(xué)科素養(yǎng)，更應(yīng)該有精湛的教學(xué)藝術(shù)。數(shù)學(xué)文化在中考試題中的滲透，促使數(shù)學(xué)教師具備更廣闊的數(shù)學(xué)視野和更深厚的人文情懷，以強烈的責(zé)任感和使命感去了解數(shù)學(xué)文化。所謂要給學(xué)生一杯水，教師首先要有一桶水，這桶水就是數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素養(yǎng)，不僅僅是數(shù)學(xué)知識和能力，更應(yīng)具備深厚的數(shù)學(xué)文化情懷。浙教版教材中有很多有關(guān)數(shù)學(xué)文化的素材，但是由于部分數(shù)學(xué)教師不夠重視，往往不能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人價值。近年來數(shù)學(xué)文化在中考試題中的不斷滲透，促使廣大教師轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，有意識地將數(shù)學(xué)文化融入課堂，主動成為數(shù)學(xué)文化的傳播者。

（二）數(shù)學(xué)文化提升學(xué)生文化素養(yǎng)，對理解數(shù)學(xué)具有啟迪作用

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)[1]。所謂數(shù)學(xué)素養(yǎng)，通俗理解，就是忘掉已學(xué)的數(shù)學(xué)知識后還剩下的東西。對大多數(shù)人而言，將來的工作和生活不會再去研究數(shù)學(xué)，那么，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是什么？是為了將來面對工作生活領(lǐng)域中困惑時能夠用數(shù)學(xué)的理性進行思考，用數(shù)學(xué)的思維去解決問題。這就特別需要我們培養(yǎng)出具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生。遺憾的是在目前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些學(xué)生在不斷地刷題、考試中，失去了對數(shù)學(xué)的興趣，認為數(shù)學(xué)是枯燥的代名詞。這不得不說是數(shù)學(xué)的悲哀。事實上數(shù)學(xué)文化中蘊含的生動有趣的游戲、賞心悅目的構(gòu)圖、穿越時空的歷史故事等，對拓寬學(xué)生的視野，激發(fā)他們的民族自豪感有很大的作用。這些有趣的數(shù)學(xué)故事和游戲既具備數(shù)學(xué)的理性，又充滿了數(shù)學(xué)的美感，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)也具有啟迪作用。數(shù)學(xué)文化對提升人的素養(yǎng)也有積極的作用。學(xué)生要解決數(shù)學(xué)問題時，首先要閱讀理解素材，其次要提煉相關(guān)信息，最后建立數(shù)學(xué)模型解答問題，正是這些過程，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)據(jù)分析六大核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)。同時也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)溫厚的文化情懷和深刻的理性精神。

二、2022年全國各地滲透數(shù)學(xué)文化的中考試題分析

（一）方程類的數(shù)學(xué)文化題型

筆者研究了上百份2022年的全國各地中考試題，發(fā)現(xiàn)滲透數(shù)學(xué)文化題型出現(xiàn)最多的是方程類的題型。如：山東泰安卷《四元玉鑒》中“買椽多少”問題，浙江紹興卷《算學(xué)啟蒙》中“良馬追及”問題，四川成都卷《算法統(tǒng)宗》買果問題，湖南岳陽卷的《孫子算經(jīng)》中的“百鹿入城”問題，廣東深圳卷《九章算術(shù)》“盈不足”問題，等等。對方程類數(shù)學(xué)文化試題的探究，有助于培養(yǎng)學(xué)生人文素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。

例1（2022浙江寧波卷）：我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“粟米之法：粟率五十；糲米三十，今有米在十斗桶中，不知其數(shù)，滿中添粟而春之，得米七斗，問故米幾何？”意思為：50斗谷子能出30斗米，即出米率為。今有米在容量為10斗的桶中，但不知道數(shù)量是多少。再向桶中加滿谷子，再舂成米，共得米7斗。問原來有米多少斗？如果設(shè)原來有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程組為（ ）。

背景賞析：《九章算術(shù)》是我國古代西漢時期一本重要的算學(xué)著作，它總結(jié)了秦漢以前我國在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的重要成就，對中國產(chǎn)生了深遠的影響，是一部數(shù)學(xué)百科書式的大著作[2]。教學(xué)建議：題目中已有對文言文的解釋，所以只需指導(dǎo)學(xué)生把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，確定已知量與未知量，明確兩個等量關(guān)系：原來的米+向桶中加的谷子＝10，原來的米+桶中的谷子舂成米＝7。最后據(jù)此構(gòu)建方程組。此題考查兩元一次方程組，命題的價值在于培養(yǎng)了學(xué)生的閱讀理解能力，數(shù)學(xué)建模構(gòu)造方程解決問題的能力。

（二）勾股類的數(shù)學(xué)文化題型

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，勾股定理有著舉足輕重的地位與價值，可以說是初中數(shù)學(xué)最重要的定理之一。對勾股定理的應(yīng)用和證明，一直是歷年中考題的熱點問題。如：2022年湖北黃岡卷求勾股數(shù)的弦長問題，四川遂寧卷勾股樹中正方形的個數(shù)問題，四川宜賓卷求“弦圖”中大正方形面積，等等。

例2（2022湖南湘潭卷）：中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如圖1），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”.若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個銳角，則tanα＝（ ）。

圖1

背景賞析：《周髀算經(jīng)》可以說是中國國粹之一，據(jù)史書記載，《周髀算經(jīng)》并未直接給出勾股定理的證明方法，而是漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖對此進行了證明。弦圖精妙地展現(xiàn)了幾何圖形的截、割、拼、補，其構(gòu)思精巧，富有創(chuàng)意，既表達著邏輯的嚴謹，又呈現(xiàn)了幾何的直觀，是數(shù)形結(jié)合的典范[3]。教學(xué)建議：教師先簡單介紹《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹并證明了勾股定理。在背景賞析的基礎(chǔ)上，可以讓優(yōu)秀學(xué)生上臺來展示其解題思路和過程，學(xué)生根據(jù)弦圖的截、割、拼、補的圖形特點，尋求直角邊之間的關(guān)系。得出大正方形的面積為5，然后設(shè)小直角三角形的兩條直角邊，再根據(jù)勾股定理和三角形面積建立兩直角邊關(guān)系的二元方程，教師適當(dāng)點撥學(xué)生靈活使用完全平方公式簡化計算，求得直角三角形的兩條直角邊的長，即可求得tanα的值。師生共同合作，展示過程中運用了勾股定理、方程、三角函數(shù)等知識點，充分體現(xiàn)幾何的直觀和數(shù)形結(jié)合的完美。

（三）游戲類、故事類的數(shù)學(xué)文化題型

游戲類、故事類的數(shù)學(xué)中考試題不僅發(fā)展了學(xué)生的思維，而且極大提升了數(shù)學(xué)試題的內(nèi)涵，使數(shù)學(xué)中考試題不再是枯燥的演練，而是充滿童趣，生機盎然。2022年各地中考試題也涌現(xiàn)出一批游戲類和故事類的中考數(shù)學(xué)題，如：江蘇連云港卷“石頭、剪子、布”游戲猜贏的概率問題，河北卷“曹沖稱象”的故事，湖北武漢卷中的幻方——九宮格問題，寧夏卷中利用七巧板“滾小球游戲”求概率，等等。

例3（2022江西卷）：沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖2所示），則長方形的對角線長為（）。

圖2

背景賞析：七巧板是一種兒童益智類玩具，由我國古代勞動人民發(fā)明并流傳至今。它是由一塊正方形、五塊等腰直角三角形和一塊平行四邊形組成，這七塊板可拼成1600種以上豐富多樣的圖案，因此也叫“東方魔板”。教學(xué)建議：本題教學(xué)適合四人小組合作學(xué)習(xí)。課前準備好一個對角線長為2的正方形硬紙板，并在紙板上畫出7個如圖2的圖形，課堂里小組成員剪下7個圖形，重新組成長方形，一起分析這些小圖形邊之間的數(shù)量關(guān)系，最后由一個代表匯報正方形和長方形之間邊之間的關(guān)系，長方形的長是正方形的對角線長為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，教師提問本題運用了四邊形的哪些性質(zhì)，考察學(xué)生的觀察識圖能力和知識遷移能力。

為深化義務(wù)教育課程改革，2022年各地中考數(shù)學(xué)試卷中積極地滲透數(shù)學(xué)文化試題，很大程度上為數(shù)學(xué)文化教育融入課堂指引了方向，但“如何讓數(shù)學(xué)文化教育真正融入學(xué)生的內(nèi)心，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)”還是一個急需解決的問題。2022年各地中考題中的數(shù)學(xué)文化題型幾乎都是選擇題和填空題為主，形式比較單一?？梢試L試一些探究性的大題，這些題型可以深入了解學(xué)生的思維過程，使學(xué)生真正去理解數(shù)學(xué)。同時，各地中考題中與數(shù)學(xué)文化結(jié)合的試題內(nèi)容比較單薄，主要集中出現(xiàn)的還是勾股定理，如趙爽弦圖、七巧板、古代算法等題材。因此數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)中考試題的融合還需要進行一些創(chuàng)造性的變革，使文化內(nèi)容更加新穎。2022年河北卷“曹沖稱象”的數(shù)學(xué)文化故事、山東濟南卷利用我國古代的計時工具漏刻刻畫函數(shù)問題等，使數(shù)學(xué)文化在中考題中的滲透變得耳目一新，值得提倡。

三、滲透數(shù)學(xué)文化試題的教學(xué)啟示

（一）挖掘教材中的文化素材，欣賞數(shù)學(xué)之美

各個版本的數(shù)學(xué)教材，都滲透著數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容。以浙教版為例，如教材中的“引葭赴岸”中的勾股定理、“丟番圖的墓志銘”中的方程問題、“蒙娜麗莎笑臉”中的黃金分割問題、還有七巧板中的拼圖問題，都蘊含著幾何的定理、方程的思想，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。作為教師，在平時的課堂教學(xué)中要重視挖掘教材中文化素材，幫助學(xué)生深刻理解教材，拓寬知識面，感受數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)核心素養(yǎng)。教材中的閱讀材料能讓學(xué)生深切體會到數(shù)學(xué)文化的博大精深，欣賞到數(shù)學(xué)的理性之美。

（二）研究滲透數(shù)學(xué)文化的試題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)文化頻繁地出現(xiàn)在中考試題中，啟示教師重視研究滲透數(shù)學(xué)文化的試題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)試題中的數(shù)學(xué)文化，總結(jié)歸類各種數(shù)學(xué)文化題型的解題方法和思路，幫助學(xué)生消除對此類試題的陌生感和恐懼感。對于經(jīng)典名題，教師可以向?qū)W生介紹文化背景，充分挖掘題目中的數(shù)學(xué)知識，明確試題考查的知識點和數(shù)學(xué)思想方法，實現(xiàn)會一題、通一類。這些試題的解答需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、理解、建模等思維過程。而教師在課堂教學(xué)中深入賞析這些數(shù)學(xué)文化試題的背景，可以激發(fā)學(xué)生進一步探究數(shù)學(xué)的興趣?！爱?dāng)我們真正把數(shù)學(xué)文化的魅力滲入教材、達到課堂、融入教學(xué)時，數(shù)學(xué)就會更加平易近人，讓大家通過文化層面易于理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)?！盵4]

（三）組織數(shù)學(xué)文化活動，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣

著名數(shù)學(xué)家陳省身教授勉勵青少年：數(shù)學(xué)好玩。但在目前的數(shù)學(xué)教育下，學(xué)生面臨大量的數(shù)學(xué)刷題，無法體會到數(shù)學(xué)的好玩?！芭d趣是最好的老師”，作為教師，有責(zé)任喚醒學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，給他們提供有趣的數(shù)學(xué)游戲、智力題、魔術(shù)等等。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化游戲如數(shù)獨游戲、24點游戲、七巧板的拼圖游戲等，既蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識，也有很強的趣味性，能夠激發(fā)學(xué)生主動去探究數(shù)學(xué)問題。有意義的數(shù)學(xué)文化活動，不僅僅是游戲，也可以推薦學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，如《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《算法統(tǒng)宗》等，通過某個數(shù)學(xué)名題、趣題，或者是數(shù)學(xué)某個定理發(fā)現(xiàn)歷程，再有目的地指導(dǎo)學(xué)生閱讀這些經(jīng)典名著，從這些名著中了解數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)史的興趣。數(shù)學(xué)文化活動也包括開辟數(shù)學(xué)文化興趣課，進行項目化學(xué)習(xí)。筆者曾組織九年級學(xué)生進行黃金分割的項目化的學(xué)習(xí)活動，通過讓學(xué)生動手制作黃金分割的建筑模型，拍攝具有黃金分割美感的照片，講解黃金分割的“前世”和“今生”，手抄報呈現(xiàn)“黃金分割”在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，使他們真正走進并接受數(shù)學(xué)文化，體驗數(shù)學(xué)文化的精髓，促進學(xué)生人文素養(yǎng)的提升，體現(xiàn)教育“立德樹人，文化育人”的價值。