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    2016年中科大自主招生不等式試題的證明、變式及推廣

    2023-01-24 05:49:04劉遠桃陳明萬唐明坤
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:證法代數(shù)式式子

    劉遠桃 陳明萬 唐明坤

    (貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 550025)

    1 試題呈現(xiàn)

    分析 此題是一道分式不等式證明題,每個分式項的分子都是一個二次單項式,分母都是二項式,由整式和根式組成,各分式項結(jié)構(gòu)對稱.由此入手,想到將根式化為整式,再利用基本不等式、權(quán)方和不等式等進行證明.

    2 試題證明

    證法1由基本不等式和權(quán)方和不等式得

    評注此證法利用基本不等式將式子中各項的分母代數(shù)式有理化,再利用權(quán)方和不等式進行放縮,湊出(a+b+c)項,將條件式a+b+c=3代入得到證明.

    證法2由柯西不等式得

    評注此證法利用柯西不等式將原不等式進行轉(zhuǎn)化,得到一個新的放縮不等式,再利用三元基本不等式求出放縮值的最小值,從而得到證明.

    評注此證法利用基本不等式將式子中各項的分母代數(shù)式有理化,結(jié)合條件式a+b+c=3將原不等式進行放縮,再利用函數(shù)凹凸性和琴生不等式求出放縮后的最小值,從而得到證明.

    評注此證法利用基本不等式將式子中各項的分母代數(shù)式有理化,結(jié)合條件式a+b+c=3將原不等式進行放縮,再利用切線不等式求出放縮后的最小值,從而得到證明.

    3 試題變式

    分析變式1與變式2是將試題中不等式的分母代數(shù)式進行整體輪換得到的,其證明方法與試題的證明完全一致.此外,還可以對試題中不等式的分母代數(shù)式進行部分輪換,得到其他的輪換不等式.

    4 試題改編

    評注此證法利用基本不等式的推廣,結(jié)合條件式(a+b)(b+c)(c+a)=1,求出a+b+c的最小值,再利用基本不等式和權(quán)方和不等式將原不等式放縮,湊出(a+b+c)項,從而得到證明.

    5 試題推廣

    推廣1 已知a,b,c,d>0,滿足a+b+c+d=3,求證:

    分析將試題中的三元推廣到四元,推廣形式不變.

    推廣2 已知a,b,c,d>0,滿足a+b+c+d=3,求證:

    分析將試題中的三元推廣到四元,同時將分母代數(shù)式變成二元形式得到.注意,后面的推廣仍然可以將分母代數(shù)式保持在二元形式,下面不再贅述.

    分析將試題中的三元推廣到n元,推廣形式不變.

    分析將試題中的三元推廣到n元,條件式的結(jié)果從3推廣到t,推廣形式不變.

    分析將試題中的三元推廣到n元,各項式子中分子的指數(shù)從2推廣到m,條件式的結(jié)果從3推廣到t.

    推廣1~推廣5的證明方法是一樣的,下面給出推廣5的證明,推廣1~推廣4的證明過程不再贅述.

    由n元基本不等式和權(quán)方和不等式,待證不等式左邊

    推廣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)發(fā)展的重要手段和途徑.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,推廣可以加強對觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發(fā)現(xiàn)能力以及創(chuàng)新意識等的培養(yǎng);在數(shù)學(xué)研究中,推廣可以加深對問題本身的認識和理解,可以產(chǎn)生新問題和新方法;在數(shù)學(xué)發(fā)展中,推廣可以引導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),可以產(chǎn)生新定理和新理論[1].

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